Theorem trivnsgd 13749

Description: The only normal subgroup of a trivial group is itself. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
trivnsgd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
trivnsgd.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
trivnsgd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
trivnsgd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 = { 0 })

Assertion

Ref	Expression
trivnsgd	⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) = {𝐵})

Proof of Theorem trivnsgd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsgsubg 13737	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
3	2	ssrdv 3230	. . 3 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ⊆ (SubGrp‘𝐺))
4		trivnsgd.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		trivnsgd.2	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6		trivnsgd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
7		trivnsgd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = { 0 })
8	4, 5, 6, 7	trivsubgsnd 13733	. . 3 ⊢ (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) = {𝐵})
9	3, 8	sseqtrd 3262	. 2 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ⊆ {𝐵})
10	4	nsgid 13747	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
11	6, 10	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
12	11	snssd 3812	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ⊆ (NrmSGrp‘𝐺))
13	9, 12	eqssd 3241	1 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) = {𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {csn 3666  ‘cfv 5317  Basecbs 13027  0_gc0g 13284  Grpcgrp 13528  SubGrpcsubg 13699  NrmSGrpcnsg 13700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-ltxr 8182  df-inn 9107  df-2 9165  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-sets 13034  df-iress 13035  df-plusg 13118  df-0g 13286  df-mgm 13384  df-sgrp 13430  df-mnd 13445  df-grp 13531  df-minusg 13532  df-sbg 13533  df-subg 13702  df-nsg 13703

This theorem is referenced by:  triv1nsgd  13750