ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  trivnsgd GIF version

Theorem trivnsgd 13008
Description: The only normal subgroup of a trivial group is itself. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
trivnsgd.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
trivnsgd.2 0 = (0g𝐺)
trivnsgd.3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
trivnsgd.4 (𝜑𝐵 = { 0 })
Assertion
Ref Expression
trivnsgd (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) = {𝐵})

Proof of Theorem trivnsgd
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nsgsubg 12996 . . . . 5 (𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺))
21a1i 9 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
32ssrdv 3161 . . 3 (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ⊆ (SubGrp‘𝐺))
4 trivnsgd.1 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
5 trivnsgd.2 . . . 4 0 = (0g𝐺)
6 trivnsgd.3 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
7 trivnsgd.4 . . . 4 (𝜑𝐵 = { 0 })
84, 5, 6, 7trivsubgsnd 12992 . . 3 (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) = {𝐵})
93, 8sseqtrd 3193 . 2 (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ⊆ {𝐵})
104nsgid 13006 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
116, 10syl 14 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
1211snssd 3737 . 2 (𝜑 → {𝐵} ⊆ (NrmSGrp‘𝐺))
139, 12eqssd 3172 1 (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) = {𝐵})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1353  wcel 2148  {csn 3592  cfv 5215  Basecbs 12454  0gc0g 12693  Grpcgrp 12809  SubGrpcsubg 12958  NrmSGrpcnsg 12959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltadd 7924
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-ltxr 7993  df-inn 8916  df-2 8974  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-sets 12461  df-iress 12462  df-plusg 12541  df-0g 12695  df-mgm 12707  df-sgrp 12740  df-mnd 12750  df-grp 12812  df-minusg 12813  df-sbg 12814  df-subg 12961  df-nsg 12962
This theorem is referenced by:  triv1nsgd  13009
  Copyright terms: Public domain W3C validator