Theorem trivnsgd 13008

Description: The only normal subgroup of a trivial group is itself. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
trivnsgd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
trivnsgd.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
trivnsgd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
trivnsgd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 = { 0 })

Assertion

Ref	Expression
trivnsgd	⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) = {𝐵})

Proof of Theorem trivnsgd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsgsubg 12996	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
3	2	ssrdv 3161	. . 3 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ⊆ (SubGrp‘𝐺))
4		trivnsgd.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		trivnsgd.2	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6		trivnsgd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
7		trivnsgd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = { 0 })
8	4, 5, 6, 7	trivsubgsnd 12992	. . 3 ⊢ (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) = {𝐵})
9	3, 8	sseqtrd 3193	. 2 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ⊆ {𝐵})
10	4	nsgid 13006	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
11	6, 10	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
12	11	snssd 3737	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ⊆ (NrmSGrp‘𝐺))
13	9, 12	eqssd 3172	1 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) = {𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {csn 3592  ‘cfv 5215  Basecbs 12454  0_gc0g 12693  Grpcgrp 12809  SubGrpcsubg 12958  NrmSGrpcnsg 12959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltadd 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-ltxr 7993  df-inn 8916  df-2 8974  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-sets 12461  df-iress 12462  df-plusg 12541  df-0g 12695  df-mgm 12707  df-sgrp 12740  df-mnd 12750  df-grp 12812  df-minusg 12813  df-sbg 12814  df-subg 12961  df-nsg 12962

This theorem is referenced by:  triv1nsgd  13009