Theorem islssmd 14331

Description: Properties that determine a subspace of a left module or left vector space. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islssd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝑊))
islssd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐹))
islssd.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑊))
islssd.p	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝑊))
islssd.t	⊢ (𝜑 → · = ( ·𝑠 ‘𝑊))
islssd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
islssd.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
islssmd.m	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈)
islssd.c	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)
islssmd.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
islssmd	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑥,𝜑   𝑈,𝑎,𝑏,𝑥   𝑊,𝑎,𝑏,𝑥   𝐵,𝑎,𝑏   𝑈,𝑗,𝑎,𝑏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐵(𝑥,𝑗)   + (𝑥,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑥,𝑗,𝑎,𝑏)   · (𝑥,𝑗,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑥,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑥,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗)   𝑋(𝑥,𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem islssmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islssd.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
2		islssd.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑊))
3	1, 2	sseqtrd 3262	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
4		islssmd.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈)
5		islssd.c	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)
6	5	3exp2 1249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑎 ∈ 𝑈 → (𝑏 ∈ 𝑈 → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))))
7	6	imp43 355	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)
8	7	ralrimivva 2612	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)
9	8	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 → ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
10		islssd.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐹))
11		islssd.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝑊))
12	11	fveq2d 5633	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
13	10, 12	eqtrd 2262	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
14	13	eleq2d 2299	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
15		islssd.p	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝑊))
16	15	oveqd 6024	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) = ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑊)𝑏))
17		islssd.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → · = ( ·𝑠 ‘𝑊))
18	17	oveqd 6024	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 · 𝑎) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎))
19	18	oveq1d 6022	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏))
20	16, 19	eqtrd 2262	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏))
21	20	eleq1d 2298	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
22	21	2ralbidv 2554	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
23	9, 14, 22	3imtr3d 202	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
24	23	ralrimiv 2602	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈)
25		islssmd.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
26		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
27		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
28		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
29		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
30		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
31		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
32	26, 27, 28, 29, 30, 31	islssmg 14330	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈)))
33	25, 32	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈)))
34	3, 4, 24, 33	mpbir3and 1204	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
35		islssd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
36	34, 35	eleqtrrd 2309	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   ⊆ wss 3197  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  Basecbs 13040  +_gcplusg 13118  Scalarcsca 13121   ·_𝑠 cvsca 13122  LSubSpclss 14324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1re 8101  ax-addrcl 8104

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-ov 6010  df-inn 9119  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-lssm 14325

This theorem is referenced by:  lss1  14334  lsssn0  14342  islss3  14351  lss1d  14355  lssintclm  14356