Theorem islssmd 13543

Description: Properties that determine a subspace of a left module or left vector space. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islssd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝑊))
islssd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐹))
islssd.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑊))
islssd.p	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝑊))
islssd.t	⊢ (𝜑 → · = ( ·𝑠 ‘𝑊))
islssd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
islssd.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
islssmd.m	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈)
islssd.c	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)
islssmd.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
islssmd	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑥,𝜑   𝑈,𝑎,𝑏,𝑥   𝑊,𝑎,𝑏,𝑥   𝐵,𝑎,𝑏   𝑈,𝑗,𝑎,𝑏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐵(𝑥,𝑗)   + (𝑥,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑥,𝑗,𝑎,𝑏)   · (𝑥,𝑗,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑥,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑥,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗)   𝑋(𝑥,𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem islssmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islssd.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
2		islssd.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑊))
3	1, 2	sseqtrd 3205	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
4		islssmd.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈)
5		islssd.c	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)
6	5	3exp2 1226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑎 ∈ 𝑈 → (𝑏 ∈ 𝑈 → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))))
7	6	imp43 355	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)
8	7	ralrimivva 2569	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)
9	8	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 → ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
10		islssd.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐹))
11		islssd.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝑊))
12	11	fveq2d 5531	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
13	10, 12	eqtrd 2220	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
14	13	eleq2d 2257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
15		islssd.p	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝑊))
16	15	oveqd 5905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) = ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑊)𝑏))
17		islssd.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → · = ( ·𝑠 ‘𝑊))
18	17	oveqd 5905	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 · 𝑎) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎))
19	18	oveq1d 5903	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏))
20	16, 19	eqtrd 2220	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏))
21	20	eleq1d 2256	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
22	21	2ralbidv 2511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
23	9, 14, 22	3imtr3d 202	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
24	23	ralrimiv 2559	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈)
25		islssmd.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
26		eqid 2187	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
27		eqid 2187	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
28		eqid 2187	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
29		eqid 2187	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
30		eqid 2187	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
31		eqid 2187	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
32	26, 27, 28, 29, 30, 31	islssmg 13542	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈)))
33	25, 32	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈)))
34	3, 4, 24, 33	mpbir3and 1181	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
35		islssd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
36	34, 35	eleqtrrd 2267	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 979   = wceq 1363  ∃wex 1502   ∈ wcel 2158  ∀wral 2465   ⊆ wss 3141  ‘cfv 5228  (class class class)co 5888  Basecbs 12475  +_gcplusg 12550  Scalarcsca 12553   ·_𝑠 cvsca 12554  LSubSpclss 13536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1re 7918  ax-addrcl 7921

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-fv 5236  df-ov 5891  df-inn 8933  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-lssm 13537

This theorem is referenced by:  lss1  13546  lsssn0  13554  islss3  13563  lss1d  13567  lssintclm  13568