ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnmpt2res GIF version
Theorem cnmpt2res 13800
Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt1res.2 𝐾 = (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
cnmpt1res.3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
cnmpt1res.5 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
cnmpt2res.7 𝑁 = (𝑀 β†Ύt π‘Š)
cnmpt2res.8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (TopOnβ€˜π‘))
cnmpt2res.9 (πœ‘ β†’ π‘Š βŠ† 𝑍)
cnmpt2res.10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝑀) Cn 𝐿))
Assertion
Ref Expression
cnmpt2res (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ π‘Œ, 𝑦 ∈ π‘Š ↦ 𝐴) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝑁) Cn 𝐿))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,π‘Š   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦   π‘₯,𝑍,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦)   𝐴(π‘₯,𝑦)   𝐽(π‘₯,𝑦)   𝐾(π‘₯,𝑦)   𝐿(π‘₯,𝑦)   𝑀(π‘₯,𝑦)   𝑁(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem cnmpt2res
StepHypRef Expression
1 cnmpt2res.10 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝑀) Cn 𝐿))
2 cnmpt1res.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
3 cnmpt2res.9 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š βŠ† 𝑍)
4 xpss12 4734 . . . . 5 ((π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ π‘Š βŠ† 𝑍) β†’ (π‘Œ Γ— π‘Š) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑍))
52, 3, 4syl2anc 411 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Γ— π‘Š) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑍))
6 cnmpt1res.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
7 cnmpt2res.8 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (TopOnβ€˜π‘))
8 txtopon 13765 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ (TopOnβ€˜π‘)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝑀) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— 𝑍)))
96, 7, 8syl2anc 411 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐽 Γ—t 𝑀) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— 𝑍)))
10 toponuni 13518 . . . . 5 ((𝐽 Γ—t 𝑀) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— 𝑍)) β†’ (𝑋 Γ— 𝑍) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝑀))
119, 10syl 14 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 Γ— 𝑍) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝑀))
125, 11sseqtrd 3194 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Γ— π‘Š) βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝑀))
13 eqid 2177 . . . 4 βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝑀) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝑀)
1413cnrest 13738 . . 3 (((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝑀) Cn 𝐿) ∧ (π‘Œ Γ— π‘Š) βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝑀)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Š)) ∈ (((𝐽 Γ—t 𝑀) β†Ύt (π‘Œ Γ— π‘Š)) Cn 𝐿))
151, 12, 14syl2anc 411 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Š)) ∈ (((𝐽 Γ—t 𝑀) β†Ύt (π‘Œ Γ— π‘Š)) Cn 𝐿))
16 resmpo 5973 . . 3 ((π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ π‘Š βŠ† 𝑍) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Š)) = (π‘₯ ∈ π‘Œ, 𝑦 ∈ π‘Š ↦ 𝐴))
172, 3, 16syl2anc 411 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Š)) = (π‘₯ ∈ π‘Œ, 𝑦 ∈ π‘Š ↦ 𝐴))
18 topontop 13517 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
196, 18syl 14 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
20 topontop 13517 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (TopOnβ€˜π‘) β†’ 𝑀 ∈ Top)
217, 20syl 14 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Top)
22 toponmax 13528 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
236, 22syl 14 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
2423, 2ssexd 4144 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ V)
25 toponmax 13528 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (TopOnβ€˜π‘) β†’ 𝑍 ∈ 𝑀)
267, 25syl 14 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑀)
2726, 3ssexd 4144 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ V)
28 txrest 13779 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑀 ∈ Top) ∧ (π‘Œ ∈ V ∧ π‘Š ∈ V)) β†’ ((𝐽 Γ—t 𝑀) β†Ύt (π‘Œ Γ— π‘Š)) = ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Γ—t (𝑀 β†Ύt π‘Š)))
2919, 21, 24, 27, 28syl22anc 1239 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐽 Γ—t 𝑀) β†Ύt (π‘Œ Γ— π‘Š)) = ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Γ—t (𝑀 β†Ύt π‘Š)))
30 cnmpt1res.2 . . . . 5 𝐾 = (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
31 cnmpt2res.7 . . . . 5 𝑁 = (𝑀 β†Ύt π‘Š)
3230, 31oveq12i 5887 . . . 4 (𝐾 Γ—t 𝑁) = ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Γ—t (𝑀 β†Ύt π‘Š))
3329, 32eqtr4di 2228 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐽 Γ—t 𝑀) β†Ύt (π‘Œ Γ— π‘Š)) = (𝐾 Γ—t 𝑁))
3433oveq1d 5890 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐽 Γ—t 𝑀) β†Ύt (π‘Œ Γ— π‘Š)) Cn 𝐿) = ((𝐾 Γ—t 𝑁) Cn 𝐿))
3515, 17, 343eltr3d 2260 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ π‘Œ, 𝑦 ∈ π‘Š ↦ 𝐴) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝑁) Cn 𝐿))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2738   βŠ† wss 3130  βˆͺ cuni 3810   Γ— cxp 4625   β†Ύ cres 4629  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875   ∈ cmpo 5877   β†Ύt crest 12688  Topctop 13500  TopOnctopon 13513   Cn ccn 13688   Γ—t ctx 13755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-map 6650  df-rest 12690  df-topgen 12709  df-top 13501  df-topon 13514  df-bases 13546  df-cn 13691  df-tx 13756
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator