ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  neitx GIF version

Theorem neitx 12447
Description: The Cartesian product of two neighborhoods is a neighborhood in the product topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
neitx.x 𝑋 = 𝐽
neitx.y 𝑌 = 𝐾
Assertion
Ref Expression
neitx (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝐶) ∧ 𝐵 ∈ ((nei‘𝐾)‘𝐷))) → (𝐴 × 𝐵) ∈ ((nei‘(𝐽 ×t 𝐾))‘(𝐶 × 𝐷)))

Proof of Theorem neitx
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neitx.x . . . . . 6 𝑋 = 𝐽
21neii1 12326 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝐶)) → 𝐴𝑋)
32ad2ant2r 500 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝐶) ∧ 𝐵 ∈ ((nei‘𝐾)‘𝐷))) → 𝐴𝑋)
4 neitx.y . . . . . 6 𝑌 = 𝐾
54neii1 12326 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐵 ∈ ((nei‘𝐾)‘𝐷)) → 𝐵𝑌)
65ad2ant2l 499 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝐶) ∧ 𝐵 ∈ ((nei‘𝐾)‘𝐷))) → 𝐵𝑌)
7 xpss12 4646 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐵𝑌) → (𝐴 × 𝐵) ⊆ (𝑋 × 𝑌))
83, 6, 7syl2anc 408 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝐶) ∧ 𝐵 ∈ ((nei‘𝐾)‘𝐷))) → (𝐴 × 𝐵) ⊆ (𝑋 × 𝑌))
91, 4txuni 12442 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝑋 × 𝑌) = (𝐽 ×t 𝐾))
109adantr 274 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝐶) ∧ 𝐵 ∈ ((nei‘𝐾)‘𝐷))) → (𝑋 × 𝑌) = (𝐽 ×t 𝐾))
118, 10sseqtrd 3135 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝐶) ∧ 𝐵 ∈ ((nei‘𝐾)‘𝐷))) → (𝐴 × 𝐵) ⊆ (𝐽 ×t 𝐾))
12 simp-5l 532 . . . . . 6 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝐶) ∧ 𝐵 ∈ ((nei‘𝐾)‘𝐷))) ∧ 𝑎𝐽) ∧ (𝐶𝑎𝑎𝐴)) ∧ 𝑏𝐾) ∧ (𝐷𝑏𝑏𝐵)) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
13 simp-4r 531 . . . . . 6 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝐶) ∧ 𝐵 ∈ ((nei‘𝐾)‘𝐷))) ∧ 𝑎𝐽) ∧ (𝐶𝑎𝑎𝐴)) ∧ 𝑏𝐾) ∧ (𝐷𝑏𝑏𝐵)) → 𝑎𝐽)
14 simplr 519 . . . . . 6 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝐶) ∧ 𝐵 ∈ ((nei‘𝐾)‘𝐷))) ∧ 𝑎𝐽) ∧ (𝐶𝑎𝑎𝐴)) ∧ 𝑏𝐾) ∧ (𝐷𝑏𝑏𝐵)) → 𝑏𝐾)
15 txopn 12444 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑎𝐽𝑏𝐾)) → (𝑎 × 𝑏) ∈ (𝐽 ×t 𝐾))
1612, 13, 14, 15syl12anc 1214 . . . . 5 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝐶) ∧ 𝐵 ∈ ((nei‘𝐾)‘𝐷))) ∧ 𝑎𝐽) ∧ (𝐶𝑎𝑎𝐴)) ∧ 𝑏𝐾) ∧ (𝐷𝑏𝑏𝐵)) → (𝑎 × 𝑏) ∈ (𝐽 ×t 𝐾))
17 simpr1l 1038 . . . . . . 7 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝐶) ∧ 𝐵 ∈ ((nei‘𝐾)‘𝐷))) ∧ 𝑎𝐽) ∧ ((𝐶𝑎𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐾 ∧ (𝐷𝑏𝑏𝐵))) → 𝐶𝑎)
18173anassrs 1207 . . . . . 6 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝐶) ∧ 𝐵 ∈ ((nei‘𝐾)‘𝐷))) ∧ 𝑎𝐽) ∧ (𝐶𝑎𝑎𝐴)) ∧ 𝑏𝐾) ∧ (𝐷𝑏𝑏𝐵)) → 𝐶𝑎)
19 simprl 520 . . . . . 6 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝐶) ∧ 𝐵 ∈ ((nei‘𝐾)‘𝐷))) ∧ 𝑎𝐽) ∧ (𝐶𝑎𝑎𝐴)) ∧ 𝑏𝐾) ∧ (𝐷𝑏𝑏𝐵)) → 𝐷𝑏)
20 xpss12 4646 . . . . . 6 ((𝐶𝑎𝐷𝑏) → (𝐶 × 𝐷) ⊆ (𝑎 × 𝑏))
2118, 19, 20syl2anc 408 . . . . 5 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝐶) ∧ 𝐵 ∈ ((nei‘𝐾)‘𝐷))) ∧ 𝑎𝐽) ∧ (𝐶𝑎𝑎𝐴)) ∧ 𝑏𝐾) ∧ (𝐷𝑏𝑏𝐵)) → (𝐶 × 𝐷) ⊆ (𝑎 × 𝑏))
22 simpr1r 1039 . . . . . . 7 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝐶) ∧ 𝐵 ∈ ((nei‘𝐾)‘𝐷))) ∧ 𝑎𝐽) ∧ ((𝐶𝑎𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐾 ∧ (𝐷𝑏𝑏𝐵))) → 𝑎𝐴)
23223anassrs 1207 . . . . . 6 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝐶) ∧ 𝐵 ∈ ((nei‘𝐾)‘𝐷))) ∧ 𝑎𝐽) ∧ (𝐶𝑎𝑎𝐴)) ∧ 𝑏𝐾) ∧ (𝐷𝑏𝑏𝐵)) → 𝑎𝐴)
24 simprr 521 . . . . . 6 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝐶) ∧ 𝐵 ∈ ((nei‘𝐾)‘𝐷))) ∧ 𝑎𝐽) ∧ (𝐶𝑎𝑎𝐴)) ∧ 𝑏𝐾) ∧ (𝐷𝑏𝑏𝐵)) → 𝑏𝐵)
25 xpss12 4646 . . . . . 6 ((𝑎𝐴𝑏𝐵) → (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐴 × 𝐵))
2623, 24, 25syl2anc 408 . . . . 5 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝐶) ∧ 𝐵 ∈ ((nei‘𝐾)‘𝐷))) ∧ 𝑎𝐽) ∧ (𝐶𝑎𝑎𝐴)) ∧ 𝑏𝐾) ∧ (𝐷𝑏𝑏𝐵)) → (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐴 × 𝐵))
27 sseq2 3121 . . . . . . 7 (𝑐 = (𝑎 × 𝑏) → ((𝐶 × 𝐷) ⊆ 𝑐 ↔ (𝐶 × 𝐷) ⊆ (𝑎 × 𝑏)))
28 sseq1 3120 . . . . . . 7 (𝑐 = (𝑎 × 𝑏) → (𝑐 ⊆ (𝐴 × 𝐵) ↔ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐴 × 𝐵)))
2927, 28anbi12d 464 . . . . . 6 (𝑐 = (𝑎 × 𝑏) → (((𝐶 × 𝐷) ⊆ 𝑐𝑐 ⊆ (𝐴 × 𝐵)) ↔ ((𝐶 × 𝐷) ⊆ (𝑎 × 𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐴 × 𝐵))))
3029rspcev 2789 . . . . 5 (((𝑎 × 𝑏) ∈ (𝐽 ×t 𝐾) ∧ ((𝐶 × 𝐷) ⊆ (𝑎 × 𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐴 × 𝐵))) → ∃𝑐 ∈ (𝐽 ×t 𝐾)((𝐶 × 𝐷) ⊆ 𝑐𝑐 ⊆ (𝐴 × 𝐵)))
3116, 21, 26, 30syl12anc 1214 . . . 4 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝐶) ∧ 𝐵 ∈ ((nei‘𝐾)‘𝐷))) ∧ 𝑎𝐽) ∧ (𝐶𝑎𝑎𝐴)) ∧ 𝑏𝐾) ∧ (𝐷𝑏𝑏𝐵)) → ∃𝑐 ∈ (𝐽 ×t 𝐾)((𝐶 × 𝐷) ⊆ 𝑐𝑐 ⊆ (𝐴 × 𝐵)))
32 neii2 12328 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐵 ∈ ((nei‘𝐾)‘𝐷)) → ∃𝑏𝐾 (𝐷𝑏𝑏𝐵))
3332ad2ant2l 499 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝐶) ∧ 𝐵 ∈ ((nei‘𝐾)‘𝐷))) → ∃𝑏𝐾 (𝐷𝑏𝑏𝐵))
3433ad2antrr 479 . . . 4 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝐶) ∧ 𝐵 ∈ ((nei‘𝐾)‘𝐷))) ∧ 𝑎𝐽) ∧ (𝐶𝑎𝑎𝐴)) → ∃𝑏𝐾 (𝐷𝑏𝑏𝐵))
3531, 34r19.29a 2575 . . 3 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝐶) ∧ 𝐵 ∈ ((nei‘𝐾)‘𝐷))) ∧ 𝑎𝐽) ∧ (𝐶𝑎𝑎𝐴)) → ∃𝑐 ∈ (𝐽 ×t 𝐾)((𝐶 × 𝐷) ⊆ 𝑐𝑐 ⊆ (𝐴 × 𝐵)))
36 neii2 12328 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝐶)) → ∃𝑎𝐽 (𝐶𝑎𝑎𝐴))
3736ad2ant2r 500 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝐶) ∧ 𝐵 ∈ ((nei‘𝐾)‘𝐷))) → ∃𝑎𝐽 (𝐶𝑎𝑎𝐴))
3835, 37r19.29a 2575 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝐶) ∧ 𝐵 ∈ ((nei‘𝐾)‘𝐷))) → ∃𝑐 ∈ (𝐽 ×t 𝐾)((𝐶 × 𝐷) ⊆ 𝑐𝑐 ⊆ (𝐴 × 𝐵)))
39 txtop 12439 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐽 ×t 𝐾) ∈ Top)
4039adantr 274 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝐶) ∧ 𝐵 ∈ ((nei‘𝐾)‘𝐷))) → (𝐽 ×t 𝐾) ∈ Top)
411neiss2 12321 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝐶)) → 𝐶𝑋)
4241ad2ant2r 500 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝐶) ∧ 𝐵 ∈ ((nei‘𝐾)‘𝐷))) → 𝐶𝑋)
434neiss2 12321 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐵 ∈ ((nei‘𝐾)‘𝐷)) → 𝐷𝑌)
4443ad2ant2l 499 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝐶) ∧ 𝐵 ∈ ((nei‘𝐾)‘𝐷))) → 𝐷𝑌)
45 xpss12 4646 . . . . 5 ((𝐶𝑋𝐷𝑌) → (𝐶 × 𝐷) ⊆ (𝑋 × 𝑌))
4642, 44, 45syl2anc 408 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝐶) ∧ 𝐵 ∈ ((nei‘𝐾)‘𝐷))) → (𝐶 × 𝐷) ⊆ (𝑋 × 𝑌))
4746, 10sseqtrd 3135 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝐶) ∧ 𝐵 ∈ ((nei‘𝐾)‘𝐷))) → (𝐶 × 𝐷) ⊆ (𝐽 ×t 𝐾))
48 eqid 2139 . . . 4 (𝐽 ×t 𝐾) = (𝐽 ×t 𝐾)
4948isnei 12323 . . 3 (((𝐽 ×t 𝐾) ∈ Top ∧ (𝐶 × 𝐷) ⊆ (𝐽 ×t 𝐾)) → ((𝐴 × 𝐵) ∈ ((nei‘(𝐽 ×t 𝐾))‘(𝐶 × 𝐷)) ↔ ((𝐴 × 𝐵) ⊆ (𝐽 ×t 𝐾) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐽 ×t 𝐾)((𝐶 × 𝐷) ⊆ 𝑐𝑐 ⊆ (𝐴 × 𝐵)))))
5040, 47, 49syl2anc 408 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝐶) ∧ 𝐵 ∈ ((nei‘𝐾)‘𝐷))) → ((𝐴 × 𝐵) ∈ ((nei‘(𝐽 ×t 𝐾))‘(𝐶 × 𝐷)) ↔ ((𝐴 × 𝐵) ⊆ (𝐽 ×t 𝐾) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐽 ×t 𝐾)((𝐶 × 𝐷) ⊆ 𝑐𝑐 ⊆ (𝐴 × 𝐵)))))
5111, 38, 50mpbir2and 928 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝐶) ∧ 𝐵 ∈ ((nei‘𝐾)‘𝐷))) → (𝐴 × 𝐵) ∈ ((nei‘(𝐽 ×t 𝐾))‘(𝐶 × 𝐷)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1331  wcel 1480  wrex 2417  wss 3071   cuni 3736   × cxp 4537  cfv 5123  (class class class)co 5774  Topctop 12174  neicnei 12317   ×t ctx 12431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-topgen 12151  df-top 12175  df-topon 12188  df-bases 12220  df-nei 12318  df-tx 12432
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator