Theorem dvcnp2cntop 15723

Description: A function is continuous at each point for which it is differentiable. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcnp.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝐴)
dvcnpcntop.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))

Assertion

Ref	Expression
dvcnp2cntop	⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))

Proof of Theorem dvcnp2cntop

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvcnpcntop.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
2		dvcnp.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝐴)
3		simpl3 1033	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
4		simpl1 1031	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑆 ⊆ ℂ)
5	3, 4	sstrd 3258	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐴 ⊆ ℂ)
6		simpl2 1032	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
7	1	cntoptop 15557	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ Top
8		cnex 8293	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ∈ V
9		ssexg 4267	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
10	4, 8, 9	sylancl 417	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑆 ∈ V)
11		resttop 15194	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
12	7, 10, 11	sylancr 418	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
13	1	cntoptopon 15556	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
14		resttopon 15195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
15	13, 4, 14	sylancr 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
16		toponuni 15039	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ (𝐾 ↾t 𝑆))
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑆 = ∪ (𝐾 ↾t 𝑆))
18	3, 17	sseqtrd 3286	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐴 ⊆ ∪ (𝐾 ↾t 𝑆))
19		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ (𝐾 ↾t 𝑆) = ∪ (𝐾 ↾t 𝑆)
20	19	ntrss2 15145	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ∪ (𝐾 ↾t 𝑆)) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
21	12, 18, 20	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
22		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ↾t 𝑆) = (𝐾 ↾t 𝑆)
23		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)))
24		simp1 1028	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
25		simp2 1029	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
26		simp3 1030	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
27	22, 1, 23, 24, 25, 26	eldvap 15706	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝐵 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))) limℂ 𝐵))))
28	27	simprbda 383	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘𝐴))
29	21, 28	sseldd 3249	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵 ∈ 𝐴)
30	6	ffvelcdmda 5834	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
31	6, 29	ffvelcdmd 5835	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
32	31	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
33	30, 32	subcld 8627	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) ∈ ℂ)
34		ssid 3268	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
35	34	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ℂ ⊆ ℂ)
36		txtopon 15286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)))
37	13, 13, 36	mp2an 430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ))
38	37	toponrestid 15045	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ×t 𝐾) = ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (ℂ × ℂ))
39	6, 5, 29	dvlemap 15704	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) ∈ ℂ)
40		ssrab2 3333	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵} ⊆ 𝐴
41	40, 5	sstrid 3259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵} ⊆ ℂ)
42	41	sselda 3248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → 𝑧 ∈ ℂ)
43	5, 29	sseldd 3249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
44	43	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → 𝐵 ∈ ℂ)
45	42, 44	subcld 8627	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → (𝑧 − 𝐵) ∈ ℂ)
46	27	simplbda 384	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))) limℂ 𝐵))
47		limcresi 15690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) limℂ 𝐵) ⊆ (((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) ↾ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵}) limℂ 𝐵)
48		resmpt 5106	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵} ⊆ 𝐴 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) ↾ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵}) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵} ↦ (𝑧 − 𝐵)))
49	40, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) ↾ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵}) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵} ↦ (𝑧 − 𝐵))
50	49	oveq1i 6085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) ↾ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵}) limℂ 𝐵) = ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵} ↦ (𝑧 − 𝐵)) limℂ 𝐵)
51	47, 50	sseqtri 3282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) limℂ 𝐵) ⊆ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵} ↦ (𝑧 − 𝐵)) limℂ 𝐵)
52	43	subidd 8615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐵 − 𝐵) = 0)
53	1	subcncntop 15587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ − ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
54	53	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → − ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
55		cncfmptid 15621	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑧) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
56	5, 34, 55	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑧) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
57		cncfmptc 15620	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
58	43, 5, 35, 57	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
59	1, 54, 56, 58	cncfmpt2fcntop 15623	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
60		oveq1 6082	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝑧 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐵))
61	59, 29, 60	cnmptlimc 15698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐵 − 𝐵) ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) limℂ 𝐵))
62	52, 61	eqeltrrd 2316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) limℂ 𝐵))
63	51, 62	sselid 3246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵} ↦ (𝑧 − 𝐵)) limℂ 𝐵))
64	1	mulcncntop 15588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
65	24, 25, 26	dvcl 15707	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
66		0cn 8308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℂ
67		opelxpi 4801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ⟨𝑦, 0⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
68	65, 66, 67	sylancl 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ⟨𝑦, 0⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
69	37	toponunii 15041	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂ × ℂ) = ∪ (𝐾 ×t 𝐾)
70	69	cncnpi 15252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( · ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾) ∧ ⟨𝑦, 0⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → · ∈ (((𝐾 ×t 𝐾) CnP 𝐾)‘⟨𝑦, 0⟩))
71	64, 68, 70	sylancr 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → · ∈ (((𝐾 ×t 𝐾) CnP 𝐾)‘⟨𝑦, 0⟩))
72	39, 45, 35, 35, 1, 38, 46, 63, 71	limccnp2cntop 15701	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑦 · 0) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵} ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵))) limℂ 𝐵))
73	65	mul01d 8710	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑦 · 0) = 0)
74	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
75		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵})
76	40, 75	sselid 3246	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → 𝑧 ∈ 𝐴)
77	74, 76	ffvelcdmd 5835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
78	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
79	77, 78	subcld 8627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) ∈ ℂ)
80		breq1 4128	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 # 𝐵 ↔ 𝑧 # 𝐵))
81	80	elrab 2982	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵} ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 # 𝐵))
82	81	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵} → 𝑧 # 𝐵)
83	82	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → 𝑧 # 𝐵)
84	42, 44, 83	subap0d 8962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → (𝑧 − 𝐵) # 0)
85	79, 45, 84	divcanap1d 9111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵}) → ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵)) = ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)))
86	85	mpteq2dva 4216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵} ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))))
87	86	oveq1d 6090	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵} ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵))) limℂ 𝐵) = ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) limℂ 𝐵))
88	72, 73, 87	3eltr3d 2321	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) limℂ 𝐵))
89	33	fmpttd 5854	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))):𝐴⟶ℂ)
90	89, 5	limcdifap 15686	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) limℂ 𝐵) = (((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) ↾ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵}) limℂ 𝐵))
91		resmpt 5106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵} ⊆ 𝐴 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) ↾ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵}) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))))
92	40, 91	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) ↾ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵}) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)))
93	92	oveq1i 6085	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) ↾ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵}) limℂ 𝐵) = ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) limℂ 𝐵)
94	90, 93	eqtrdi 2287	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) limℂ 𝐵) = ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) limℂ 𝐵))
95	88, 94	eleqtrrd 2318	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) limℂ 𝐵))
96		cncfmptc 15620	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
97	31, 5, 35, 96	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
98		eqidd 2239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝐹‘𝐵) = (𝐹‘𝐵))
99	97, 29, 98	cnmptlimc 15698	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐹‘𝐵) ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) limℂ 𝐵))
100	1	addcncntop 15586	. . . . . . . 8 ⊢ + ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
101		opelxpi 4801	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ) → ⟨0, (𝐹‘𝐵)⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
102	66, 31, 101	sylancr 418	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ⟨0, (𝐹‘𝐵)⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
103	69	cncnpi 15252	. . . . . . . 8 ⊢ (( + ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾) ∧ ⟨0, (𝐹‘𝐵)⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → + ∈ (((𝐾 ×t 𝐾) CnP 𝐾)‘⟨0, (𝐹‘𝐵)⟩))
104	100, 102, 103	sylancr 418	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → + ∈ (((𝐾 ×t 𝐾) CnP 𝐾)‘⟨0, (𝐹‘𝐵)⟩))
105	33, 32, 35, 35, 1, 38, 95, 99, 104	limccnp2cntop 15701	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (0 + (𝐹‘𝐵)) ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) + (𝐹‘𝐵))) limℂ 𝐵))
106	31	addlidd 8466	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (0 + (𝐹‘𝐵)) = (𝐹‘𝐵))
107	30, 32	npcand 8631	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) + (𝐹‘𝐵)) = (𝐹‘𝑧))
108	107	mpteq2dva 4216	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) + (𝐹‘𝐵))) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑧)))
109	6	feqmptd 5750	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑧)))
110	108, 109	eqtr4d 2274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) + (𝐹‘𝐵))) = 𝐹)
111	110	oveq1d 6090	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) + (𝐹‘𝐵))) limℂ 𝐵) = (𝐹 limℂ 𝐵))
112	105, 106, 111	3eltr3d 2321	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
113	1, 2, 5, 6, 29, 112	cnplimclemr 15693	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))
114	113	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦 → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
115	114	exlimdv 1872	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → (∃𝑦 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦 → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
116		eldmg 4971	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) → (𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ ∃𝑦 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦))
117	116	ibi 176	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) → ∃𝑦 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦)
118	115, 117	impel 280	1 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  {crab 2532  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  ⟨cop 3708  ∪ cuni 3930   class class class wbr 4125   ↦ cmpt 4187   × cxp 4767  dom cdm 4769   ↾ cres 4771   ∘ ccom 4773  ⟶wf 5368  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  ℂcc 8167  0cc0 8169   + caddc 8172   · cmul 8174   − cmin 8487   # cap 8899   / cdiv 8992  abscabs 11741   ↾_t crest 13570  MetOpencmopn 14850  Topctop 15021  TopOnctopon 15034  intcnt 15117   Cn ccn 15209   CnP ccnp 15210   ×_t ctx 15276  –cn→ccncf 15594   lim_ℂ climc 15678   D cdv 15679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289  ax-addf 8291  ax-mulf 8292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-map 6914  df-pm 6915  df-sup 7314  df-inf 7315  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-xneg 10153  df-xadd 10154  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-rest 13572  df-topgen 13591  df-psmet 14852  df-xmet 14853  df-met 14854  df-bl 14855  df-mopn 14856  df-top 15022  df-topon 15035  df-bases 15067  df-ntr 15120  df-cn 15212  df-cnp 15213  df-tx 15277  df-cncf 15595  df-limced 15680  df-dvap 15681

This theorem is referenced by:  dvcn  15724  dvmulxxbr  15726  dvcoapbr  15731