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Theorem dvcnp2cntop 12891
 Description: A function is continuous at each point for which it is differentiable. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcnp.j 𝐽 = (𝐾t 𝐴)
dvcnpcntop.k 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
Assertion
Ref Expression
dvcnp2cntop (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))

Proof of Theorem dvcnp2cntop
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvcnpcntop.k . . . . 5 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
2 dvcnp.j . . . . 5 𝐽 = (𝐾t 𝐴)
3 simpl3 987 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐴𝑆)
4 simpl1 985 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑆 ⊆ ℂ)
53, 4sstrd 3113 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐴 ⊆ ℂ)
6 simpl2 986 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
71cntoptop 12761 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ Top
8 cnex 7788 . . . . . . . . 9 ℂ ∈ V
9 ssexg 4076 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
104, 8, 9sylancl 410 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑆 ∈ V)
11 resttop 12398 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐾t 𝑆) ∈ Top)
127, 10, 11sylancr 411 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐾t 𝑆) ∈ Top)
131cntoptopon 12760 . . . . . . . . . 10 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
14 resttopon 12399 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
1513, 4, 14sylancr 411 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
16 toponuni 12241 . . . . . . . . 9 ((𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = (𝐾t 𝑆))
1715, 16syl 14 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑆 = (𝐾t 𝑆))
183, 17sseqtrd 3141 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐴 (𝐾t 𝑆))
19 eqid 2140 . . . . . . . 8 (𝐾t 𝑆) = (𝐾t 𝑆)
2019ntrss2 12349 . . . . . . 7 (((𝐾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝐴 (𝐾t 𝑆)) → ((int‘(𝐾t 𝑆))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
2112, 18, 20syl2anc 409 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((int‘(𝐾t 𝑆))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
22 eqid 2140 . . . . . . . 8 (𝐾t 𝑆) = (𝐾t 𝑆)
23 eqid 2140 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))) = (𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)))
24 simp1 982 . . . . . . . 8 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
25 simp2 983 . . . . . . . 8 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
26 simp3 984 . . . . . . . 8 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → 𝐴𝑆)
2722, 1, 23, 24, 25, 26eldvap 12879 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝐵 ∈ ((int‘(𝐾t 𝑆))‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))) lim 𝐵))))
2827simprbda 381 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵 ∈ ((int‘(𝐾t 𝑆))‘𝐴))
2921, 28sseldd 3104 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵𝐴)
306ffvelrnda 5564 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
316, 29ffvelrnd 5565 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
3231adantr 274 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
3330, 32subcld 8117 . . . . . . 7 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) ∈ ℂ)
34 ssid 3123 . . . . . . . 8 ℂ ⊆ ℂ
3534a1i 9 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ℂ ⊆ ℂ)
36 txtopon 12490 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)))
3713, 13, 36mp2an 423 . . . . . . . 8 (𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ))
3837toponrestid 12247 . . . . . . 7 (𝐾 ×t 𝐾) = ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (ℂ × ℂ))
396, 5, 29dvlemap 12877 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵}) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) ∈ ℂ)
40 ssrab2 3188 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ⊆ 𝐴
4140, 5sstrid 3114 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ⊆ ℂ)
4241sselda 3103 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵}) → 𝑧 ∈ ℂ)
435, 29sseldd 3104 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
4443adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵}) → 𝐵 ∈ ℂ)
4542, 44subcld 8117 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵}) → (𝑧𝐵) ∈ ℂ)
4627simplbda 382 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))) lim 𝐵))
47 limcresi 12863 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) lim 𝐵) ⊆ (((𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) ↾ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵}) lim 𝐵)
48 resmpt 4876 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ⊆ 𝐴 → ((𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) ↾ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵}) = (𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↦ (𝑧𝐵)))
4940, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) ↾ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵}) = (𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↦ (𝑧𝐵))
5049oveq1i 5793 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) ↾ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵}) lim 𝐵) = ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↦ (𝑧𝐵)) lim 𝐵)
5147, 50sseqtri 3137 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) lim 𝐵) ⊆ ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↦ (𝑧𝐵)) lim 𝐵)
5243subidd 8105 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐵𝐵) = 0)
531subcncntop 12781 . . . . . . . . . . . . . . 15 − ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
5453a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → − ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
55 cncfmptid 12811 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧𝐴𝑧) ∈ (𝐴cn→ℂ))
565, 34, 55sylancl 410 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧𝐴𝑧) ∈ (𝐴cn→ℂ))
57 cncfmptc 12810 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧𝐴𝐵) ∈ (𝐴cn→ℂ))
5843, 5, 35, 57syl3anc 1217 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧𝐴𝐵) ∈ (𝐴cn→ℂ))
591, 54, 56, 58cncfmpt2fcntop 12813 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) ∈ (𝐴cn→ℂ))
60 oveq1 5790 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝐵 → (𝑧𝐵) = (𝐵𝐵))
6159, 29, 60cnmptlimc 12871 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐵𝐵) ∈ ((𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) lim 𝐵))
6252, 61eqeltrrd 2218 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ((𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) lim 𝐵))
6351, 62sseldi 3101 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↦ (𝑧𝐵)) lim 𝐵))
641mulcncntop 12782 . . . . . . . . . . 11 · ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
6524, 25, 26dvcl 12880 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
66 0cn 7802 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℂ
67 opelxpi 4580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ⟨𝑦, 0⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
6865, 66, 67sylancl 410 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ⟨𝑦, 0⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
6937toponunii 12243 . . . . . . . . . . . 12 (ℂ × ℂ) = (𝐾 ×t 𝐾)
7069cncnpi 12456 . . . . . . . . . . 11 (( · ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾) ∧ ⟨𝑦, 0⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → · ∈ (((𝐾 ×t 𝐾) CnP 𝐾)‘⟨𝑦, 0⟩))
7164, 68, 70sylancr 411 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → · ∈ (((𝐾 ×t 𝐾) CnP 𝐾)‘⟨𝑦, 0⟩))
7239, 45, 35, 35, 1, 38, 46, 63, 71limccnp2cntop 12874 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑦 · 0) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) · (𝑧𝐵))) lim 𝐵))
7365mul01d 8199 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑦 · 0) = 0)
746adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵}) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
75 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵}) → 𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵})
7640, 75sseldi 3101 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵}) → 𝑧𝐴)
7774, 76ffvelrnd 5565 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵}) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
7831adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵}) → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
7977, 78subcld 8117 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵}) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) ∈ ℂ)
80 breq1 3941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 # 𝐵𝑧 # 𝐵))
8180elrab 2845 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↔ (𝑧𝐴𝑧 # 𝐵))
8281simprbi 273 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} → 𝑧 # 𝐵)
8382adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵}) → 𝑧 # 𝐵)
8442, 44, 83subap0d 8450 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵}) → (𝑧𝐵) # 0)
8579, 45, 84divcanap1d 8595 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵}) → ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) · (𝑧𝐵)) = ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)))
8685mpteq2dva 4027 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) · (𝑧𝐵))) = (𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))))
8786oveq1d 5798 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) · (𝑧𝐵))) lim 𝐵) = ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) lim 𝐵))
8872, 73, 873eltr3d 2223 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) lim 𝐵))
8933fmpttd 5584 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧𝐴 ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))):𝐴⟶ℂ)
9089, 5limcdifap 12859 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧𝐴 ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) lim 𝐵) = (((𝑧𝐴 ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) ↾ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵}) lim 𝐵))
91 resmpt 4876 . . . . . . . . . . 11 ({𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ⊆ 𝐴 → ((𝑧𝐴 ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) ↾ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵}) = (𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))))
9240, 91ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐴 ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) ↾ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵}) = (𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)))
9392oveq1i 5793 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐴 ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) ↾ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵}) lim 𝐵) = ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) lim 𝐵)
9490, 93eqtrdi 2189 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧𝐴 ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) lim 𝐵) = ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) lim 𝐵))
9588, 94eleqtrrd 2220 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ((𝑧𝐴 ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) lim 𝐵))
96 cncfmptc 12810 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ (𝐴cn→ℂ))
9731, 5, 35, 96syl3anc 1217 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ (𝐴cn→ℂ))
98 eqidd 2141 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐵 → (𝐹𝐵) = (𝐹𝐵))
9997, 29, 98cnmptlimc 12871 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐹𝐵) ∈ ((𝑧𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) lim 𝐵))
1001addcncntop 12780 . . . . . . . 8 + ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
101 opelxpi 4580 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐵) ∈ ℂ) → ⟨0, (𝐹𝐵)⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
10266, 31, 101sylancr 411 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ⟨0, (𝐹𝐵)⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
10369cncnpi 12456 . . . . . . . 8 (( + ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾) ∧ ⟨0, (𝐹𝐵)⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → + ∈ (((𝐾 ×t 𝐾) CnP 𝐾)‘⟨0, (𝐹𝐵)⟩))
104100, 102, 103sylancr 411 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → + ∈ (((𝐾 ×t 𝐾) CnP 𝐾)‘⟨0, (𝐹𝐵)⟩))
10533, 32, 35, 35, 1, 38, 95, 99, 104limccnp2cntop 12874 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (0 + (𝐹𝐵)) ∈ ((𝑧𝐴 ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) + (𝐹𝐵))) lim 𝐵))
10631addid2d 7956 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (0 + (𝐹𝐵)) = (𝐹𝐵))
10730, 32npcand 8121 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) + (𝐹𝐵)) = (𝐹𝑧))
108107mpteq2dva 4027 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧𝐴 ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) + (𝐹𝐵))) = (𝑧𝐴 ↦ (𝐹𝑧)))
1096feqmptd 5483 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐹 = (𝑧𝐴 ↦ (𝐹𝑧)))
110108, 109eqtr4d 2176 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧𝐴 ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) + (𝐹𝐵))) = 𝐹)
111110oveq1d 5798 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧𝐴 ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) + (𝐹𝐵))) lim 𝐵) = (𝐹 lim 𝐵))
112105, 106, 1113eltr3d 2223 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))
1131, 2, 5, 6, 29, 112cnplimclemr 12866 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))
114113ex 114 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
115114exlimdv 1792 . 2 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → (∃𝑦 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
116 eldmg 4743 . . 3 (𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) → (𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ ∃𝑦 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦))
117116ibi 175 . 2 (𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) → ∃𝑦 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦)
118115, 117impel 278 1 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 963   = wceq 1332  ∃wex 1469   ∈ wcel 1481  {crab 2421  Vcvv 2690   ⊆ wss 3077  ⟨cop 3536  ∪ cuni 3745   class class class wbr 3938   ↦ cmpt 3998   × cxp 4546  dom cdm 4548   ↾ cres 4550   ∘ ccom 4552  ⟶wf 5128  ‘cfv 5132  (class class class)co 5783  ℂcc 7662  0cc0 7664   + caddc 7667   · cmul 7669   − cmin 7977   # cap 8387   / cdiv 8476  abscabs 10821   ↾t crest 12179  MetOpencmopn 12213  Topctop 12223  TopOnctopon 12236  intcnt 12321   Cn ccn 12413   CnP ccnp 12414   ×t ctx 12480  –cn→ccncf 12785   limℂ climc 12851   D cdv 12852 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-iinf 4511  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-mulrcl 7763  ax-addcom 7764  ax-mulcom 7765  ax-addass 7766  ax-mulass 7767  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-1rid 7771  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-precex 7774  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-ltwlin 7777  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-apti 7779  ax-pre-ltadd 7780  ax-pre-mulgt0 7781  ax-pre-mulext 7782  ax-arch 7783  ax-caucvg 7784  ax-addf 7786  ax-mulf 7787 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-if 3481  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-tr 4036  df-id 4224  df-po 4227  df-iso 4228  df-iord 4297  df-on 4299  df-ilim 4300  df-suc 4302  df-iom 4514  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-f1 5137  df-fo 5138  df-f1o 5139  df-fv 5140  df-isom 5141  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-1st 6047  df-2nd 6048  df-recs 6211  df-frec 6297  df-map 6553  df-pm 6554  df-sup 6881  df-inf 6882  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-ltxr 7849  df-le 7850  df-sub 7979  df-neg 7980  df-reap 8381  df-ap 8388  df-div 8477  df-inn 8765  df-2 8823  df-3 8824  df-4 8825  df-n0 9022  df-z 9099  df-uz 9371  df-q 9459  df-rp 9491  df-xneg 9609  df-xadd 9610  df-seqfrec 10270  df-exp 10344  df-cj 10666  df-re 10667  df-im 10668  df-rsqrt 10822  df-abs 10823  df-rest 12181  df-topgen 12200  df-psmet 12215  df-xmet 12216  df-met 12217  df-bl 12218  df-mopn 12219  df-top 12224  df-topon 12237  df-bases 12269  df-ntr 12324  df-cn 12416  df-cnp 12417  df-tx 12481  df-cncf 12786  df-limced 12853  df-dvap 12854 This theorem is referenced by:  dvcn  12892  dvmulxxbr  12894  dvcoapbr  12899
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