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Theorem dvcnp2cntop 13830
Description: A function is continuous at each point for which it is differentiable. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcnp.j 𝐽 = (𝐾t 𝐴)
dvcnpcntop.k 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
Assertion
Ref Expression
dvcnp2cntop (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))

Proof of Theorem dvcnp2cntop
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvcnpcntop.k . . . . 5 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
2 dvcnp.j . . . . 5 𝐽 = (𝐾t 𝐴)
3 simpl3 1002 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐴𝑆)
4 simpl1 1000 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑆 ⊆ ℂ)
53, 4sstrd 3165 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐴 ⊆ ℂ)
6 simpl2 1001 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
71cntoptop 13700 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ Top
8 cnex 7926 . . . . . . . . 9 ℂ ∈ V
9 ssexg 4139 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
104, 8, 9sylancl 413 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑆 ∈ V)
11 resttop 13337 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐾t 𝑆) ∈ Top)
127, 10, 11sylancr 414 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐾t 𝑆) ∈ Top)
131cntoptopon 13699 . . . . . . . . . 10 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
14 resttopon 13338 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
1513, 4, 14sylancr 414 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
16 toponuni 13180 . . . . . . . . 9 ((𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = (𝐾t 𝑆))
1715, 16syl 14 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑆 = (𝐾t 𝑆))
183, 17sseqtrd 3193 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐴 (𝐾t 𝑆))
19 eqid 2177 . . . . . . . 8 (𝐾t 𝑆) = (𝐾t 𝑆)
2019ntrss2 13288 . . . . . . 7 (((𝐾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝐴 (𝐾t 𝑆)) → ((int‘(𝐾t 𝑆))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
2112, 18, 20syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((int‘(𝐾t 𝑆))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
22 eqid 2177 . . . . . . . 8 (𝐾t 𝑆) = (𝐾t 𝑆)
23 eqid 2177 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))) = (𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)))
24 simp1 997 . . . . . . . 8 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
25 simp2 998 . . . . . . . 8 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
26 simp3 999 . . . . . . . 8 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → 𝐴𝑆)
2722, 1, 23, 24, 25, 26eldvap 13818 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝐵 ∈ ((int‘(𝐾t 𝑆))‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))) lim 𝐵))))
2827simprbda 383 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵 ∈ ((int‘(𝐾t 𝑆))‘𝐴))
2921, 28sseldd 3156 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵𝐴)
306ffvelcdmda 5647 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
316, 29ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
3231adantr 276 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
3330, 32subcld 8258 . . . . . . 7 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) ∈ ℂ)
34 ssid 3175 . . . . . . . 8 ℂ ⊆ ℂ
3534a1i 9 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ℂ ⊆ ℂ)
36 txtopon 13429 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)))
3713, 13, 36mp2an 426 . . . . . . . 8 (𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ))
3837toponrestid 13186 . . . . . . 7 (𝐾 ×t 𝐾) = ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (ℂ × ℂ))
396, 5, 29dvlemap 13816 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵}) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) ∈ ℂ)
40 ssrab2 3240 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ⊆ 𝐴
4140, 5sstrid 3166 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ⊆ ℂ)
4241sselda 3155 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵}) → 𝑧 ∈ ℂ)
435, 29sseldd 3156 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
4443adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵}) → 𝐵 ∈ ℂ)
4542, 44subcld 8258 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵}) → (𝑧𝐵) ∈ ℂ)
4627simplbda 384 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))) lim 𝐵))
47 limcresi 13802 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) lim 𝐵) ⊆ (((𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) ↾ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵}) lim 𝐵)
48 resmpt 4951 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ⊆ 𝐴 → ((𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) ↾ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵}) = (𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↦ (𝑧𝐵)))
4940, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) ↾ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵}) = (𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↦ (𝑧𝐵))
5049oveq1i 5879 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) ↾ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵}) lim 𝐵) = ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↦ (𝑧𝐵)) lim 𝐵)
5147, 50sseqtri 3189 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) lim 𝐵) ⊆ ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↦ (𝑧𝐵)) lim 𝐵)
5243subidd 8246 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐵𝐵) = 0)
531subcncntop 13720 . . . . . . . . . . . . . . 15 − ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
5453a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → − ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
55 cncfmptid 13750 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧𝐴𝑧) ∈ (𝐴cn→ℂ))
565, 34, 55sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧𝐴𝑧) ∈ (𝐴cn→ℂ))
57 cncfmptc 13749 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧𝐴𝐵) ∈ (𝐴cn→ℂ))
5843, 5, 35, 57syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧𝐴𝐵) ∈ (𝐴cn→ℂ))
591, 54, 56, 58cncfmpt2fcntop 13752 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) ∈ (𝐴cn→ℂ))
60 oveq1 5876 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝐵 → (𝑧𝐵) = (𝐵𝐵))
6159, 29, 60cnmptlimc 13810 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐵𝐵) ∈ ((𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) lim 𝐵))
6252, 61eqeltrrd 2255 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ((𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) lim 𝐵))
6351, 62sselid 3153 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↦ (𝑧𝐵)) lim 𝐵))
641mulcncntop 13721 . . . . . . . . . . 11 · ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
6524, 25, 26dvcl 13819 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
66 0cn 7940 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℂ
67 opelxpi 4655 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ⟨𝑦, 0⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
6865, 66, 67sylancl 413 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ⟨𝑦, 0⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
6937toponunii 13182 . . . . . . . . . . . 12 (ℂ × ℂ) = (𝐾 ×t 𝐾)
7069cncnpi 13395 . . . . . . . . . . 11 (( · ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾) ∧ ⟨𝑦, 0⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → · ∈ (((𝐾 ×t 𝐾) CnP 𝐾)‘⟨𝑦, 0⟩))
7164, 68, 70sylancr 414 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → · ∈ (((𝐾 ×t 𝐾) CnP 𝐾)‘⟨𝑦, 0⟩))
7239, 45, 35, 35, 1, 38, 46, 63, 71limccnp2cntop 13813 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑦 · 0) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) · (𝑧𝐵))) lim 𝐵))
7365mul01d 8340 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑦 · 0) = 0)
746adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵}) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
75 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵}) → 𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵})
7640, 75sselid 3153 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵}) → 𝑧𝐴)
7774, 76ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵}) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
7831adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵}) → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
7977, 78subcld 8258 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵}) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) ∈ ℂ)
80 breq1 4003 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 # 𝐵𝑧 # 𝐵))
8180elrab 2893 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↔ (𝑧𝐴𝑧 # 𝐵))
8281simprbi 275 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} → 𝑧 # 𝐵)
8382adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵}) → 𝑧 # 𝐵)
8442, 44, 83subap0d 8591 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵}) → (𝑧𝐵) # 0)
8579, 45, 84divcanap1d 8737 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵}) → ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) · (𝑧𝐵)) = ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)))
8685mpteq2dva 4090 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) · (𝑧𝐵))) = (𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))))
8786oveq1d 5884 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) · (𝑧𝐵))) lim 𝐵) = ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) lim 𝐵))
8872, 73, 873eltr3d 2260 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) lim 𝐵))
8933fmpttd 5667 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧𝐴 ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))):𝐴⟶ℂ)
9089, 5limcdifap 13798 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧𝐴 ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) lim 𝐵) = (((𝑧𝐴 ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) ↾ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵}) lim 𝐵))
91 resmpt 4951 . . . . . . . . . . 11 ({𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ⊆ 𝐴 → ((𝑧𝐴 ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) ↾ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵}) = (𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))))
9240, 91ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐴 ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) ↾ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵}) = (𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)))
9392oveq1i 5879 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐴 ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) ↾ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵}) lim 𝐵) = ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) lim 𝐵)
9490, 93eqtrdi 2226 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧𝐴 ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) lim 𝐵) = ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝐵} ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) lim 𝐵))
9588, 94eleqtrrd 2257 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ((𝑧𝐴 ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) lim 𝐵))
96 cncfmptc 13749 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ (𝐴cn→ℂ))
9731, 5, 35, 96syl3anc 1238 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ (𝐴cn→ℂ))
98 eqidd 2178 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐵 → (𝐹𝐵) = (𝐹𝐵))
9997, 29, 98cnmptlimc 13810 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐹𝐵) ∈ ((𝑧𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) lim 𝐵))
1001addcncntop 13719 . . . . . . . 8 + ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
101 opelxpi 4655 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐵) ∈ ℂ) → ⟨0, (𝐹𝐵)⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
10266, 31, 101sylancr 414 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ⟨0, (𝐹𝐵)⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
10369cncnpi 13395 . . . . . . . 8 (( + ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾) ∧ ⟨0, (𝐹𝐵)⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → + ∈ (((𝐾 ×t 𝐾) CnP 𝐾)‘⟨0, (𝐹𝐵)⟩))
104100, 102, 103sylancr 414 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → + ∈ (((𝐾 ×t 𝐾) CnP 𝐾)‘⟨0, (𝐹𝐵)⟩))
10533, 32, 35, 35, 1, 38, 95, 99, 104limccnp2cntop 13813 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (0 + (𝐹𝐵)) ∈ ((𝑧𝐴 ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) + (𝐹𝐵))) lim 𝐵))
10631addid2d 8097 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (0 + (𝐹𝐵)) = (𝐹𝐵))
10730, 32npcand 8262 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) + (𝐹𝐵)) = (𝐹𝑧))
108107mpteq2dva 4090 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧𝐴 ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) + (𝐹𝐵))) = (𝑧𝐴 ↦ (𝐹𝑧)))
1096feqmptd 5565 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐹 = (𝑧𝐴 ↦ (𝐹𝑧)))
110108, 109eqtr4d 2213 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧𝐴 ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) + (𝐹𝐵))) = 𝐹)
111110oveq1d 5884 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧𝐴 ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) + (𝐹𝐵))) lim 𝐵) = (𝐹 lim 𝐵))
112105, 106, 1113eltr3d 2260 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))
1131, 2, 5, 6, 29, 112cnplimclemr 13805 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))
114113ex 115 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
115114exlimdv 1819 . 2 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → (∃𝑦 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
116 eldmg 4818 . . 3 (𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) → (𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ ∃𝑦 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦))
117116ibi 176 . 2 (𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) → ∃𝑦 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦)
118115, 117impel 280 1 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 978   = wceq 1353  wex 1492  wcel 2148  {crab 2459  Vcvv 2737  wss 3129  cop 3594   cuni 3807   class class class wbr 4000  cmpt 4061   × cxp 4621  dom cdm 4623  cres 4625  ccom 4627  wf 5208  cfv 5212  (class class class)co 5869  cc 7800  0cc0 7802   + caddc 7805   · cmul 7807  cmin 8118   # cap 8528   / cdiv 8618  abscabs 10990  t crest 12636  MetOpencmopn 13152  Topctop 13162  TopOnctopon 13175  intcnt 13260   Cn ccn 13352   CnP ccnp 13353   ×t ctx 13419  cnccncf 13724   lim climc 13790   D cdv 13791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922  ax-addf 7924  ax-mulf 7925
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-map 6644  df-pm 6645  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-xneg 9759  df-xadd 9760  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-rest 12638  df-topgen 12657  df-psmet 13154  df-xmet 13155  df-met 13156  df-bl 13157  df-mopn 13158  df-top 13163  df-topon 13176  df-bases 13208  df-ntr 13263  df-cn 13355  df-cnp 13356  df-tx 13420  df-cncf 13725  df-limced 13792  df-dvap 13793
This theorem is referenced by:  dvcn  13831  dvmulxxbr  13833  dvcoapbr  13838
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