Theorem trivsubgd 13066

Description: The only subgroup of a trivial group is itself. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
trivsubgd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
trivsubgd.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
trivsubgd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
trivsubgd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 = { 0 })
trivsubgd.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
trivsubgd	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem trivsubgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trivsubgd.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		trivsubgd.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3	2	subgss 13040	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
4	1, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
5		trivsubgd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = { 0 })
6	4, 5	sseqtrd 3195	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ { 0 })
7		trivsubgd.2	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8	7	subg0cl 13048	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝐴)
9	1, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐴)
10	9	snssd 3739	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ 𝐴)
11	6, 10	eqssd 3174	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = { 0 })
12	11, 5	eqtr4d 2213	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ⊆ wss 3131  {csn 3594  ‘cfv 5218  Basecbs 12465  0_gc0g 12711  Grpcgrp 12883  SubGrpcsubg 13033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltadd 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-ltxr 8000  df-inn 8923  df-2 8981  df-ndx 12468  df-slot 12469  df-base 12471  df-sets 12472  df-iress 12473  df-plusg 12552  df-0g 12713  df-mgm 12781  df-sgrp 12814  df-mnd 12824  df-grp 12886  df-subg 13036

This theorem is referenced by:  trivsubgsnd  13067