Theorem trivsubgd 13091

Description: The only subgroup of a trivial group is itself. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
trivsubgd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
trivsubgd.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
trivsubgd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
trivsubgd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 = { 0 })
trivsubgd.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
trivsubgd	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem trivsubgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trivsubgd.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		trivsubgd.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3	2	subgss 13065	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
4	1, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
5		trivsubgd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = { 0 })
6	4, 5	sseqtrd 3205	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ { 0 })
7		trivsubgd.2	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8	7	subg0cl 13073	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝐴)
9	1, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐴)
10	9	snssd 3749	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ 𝐴)
11	6, 10	eqssd 3184	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = { 0 })
12	11, 5	eqtr4d 2223	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1363   ∈ wcel 2158   ⊆ wss 3141  {csn 3604  ‘cfv 5228  Basecbs 12475  0_gc0g 12722  Grpcgrp 12898  SubGrpcsubg 13058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltadd 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-ltxr 8010  df-inn 8933  df-2 8991  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-sets 12482  df-iress 12483  df-plusg 12563  df-0g 12724  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-mnd 12839  df-grp 12901  df-subg 13061

This theorem is referenced by:  trivsubgsnd  13092