Theorem trivsubgd 13723

Description: The only subgroup of a trivial group is itself. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
trivsubgd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
trivsubgd.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
trivsubgd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
trivsubgd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 = { 0 })
trivsubgd.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
trivsubgd	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem trivsubgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trivsubgd.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		trivsubgd.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3	2	subgss 13697	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
4	1, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
5		trivsubgd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = { 0 })
6	4, 5	sseqtrd 3262	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ { 0 })
7		trivsubgd.2	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8	7	subg0cl 13705	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝐴)
9	1, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐴)
10	9	snssd 3812	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ 𝐴)
11	6, 10	eqssd 3241	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = { 0 })
12	11, 5	eqtr4d 2265	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3197  {csn 3666  ‘cfv 5314  Basecbs 13018  0_gc0g 13275  Grpcgrp 13519  SubGrpcsubg 13690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-addcom 8087  ax-addass 8089  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltadd 8103

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-ltxr 8174  df-inn 9099  df-2 9157  df-ndx 13021  df-slot 13022  df-base 13024  df-sets 13025  df-iress 13026  df-plusg 13109  df-0g 13277  df-mgm 13375  df-sgrp 13421  df-mnd 13436  df-grp 13522  df-subg 13693

This theorem is referenced by:  trivsubgsnd  13724