Theorem dvbss 15380

Description: The set of differentiable points is a subset of the domain of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
dvcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
dvbss	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem dvbss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvcl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
2		dvcl.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3		dvcl.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
4		eqid 2229	. . 3 ⊢ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)
5		eqid 2229	. . 3 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
6	1, 2, 3, 4, 5	dvbssntrcntop 15379	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘𝐴))
7	5	cntoptop 15228	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ Top
8		cnex 8139	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
9		ssexg 4223	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
10	1, 8, 9	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
11		resttop 14865	. . . 4 ⊢ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top)
12	7, 10, 11	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top)
13	5	cntoptopon 15227	. . . . . 6 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ)
14		resttopon 14866	. . . . . 6 ⊢ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
15	13, 1, 14	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
16		toponuni 14710	. . . . 5 ⊢ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
17	15, 16	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
18	3, 17	sseqtrd 3262	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
19		eqid 2229	. . . 4 ⊢ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) = ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)
20	19	ntrss2 14816	. . 3 ⊢ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)) → ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
21	12, 18, 20	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
22	6, 21	sstrd 3234	1 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197  ∪ cuni 3888  dom cdm 4720   ∘ ccom 4724  ⟶wf 5317  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  ℂcc 8013   − cmin 8333  abscabs 11529   ↾_t crest 13293  MetOpencmopn 14526  Topctop 14692  TopOnctopon 14705  intcnt 14788   D cdv 15350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134  ax-caucvg 8135

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-isom 5330  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-map 6810  df-pm 6811  df-sup 7167  df-inf 7168  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-q 9832  df-rp 9867  df-xneg 9985  df-xadd 9986  df-seqfrec 10687  df-exp 10778  df-cj 11374  df-re 11375  df-im 11376  df-rsqrt 11530  df-abs 11531  df-rest 13295  df-topgen 13314  df-psmet 14528  df-xmet 14529  df-met 14530  df-bl 14531  df-mopn 14532  df-top 14693  df-topon 14706  df-bases 14738  df-ntr 14791  df-limced 15351  df-dvap 15352

This theorem is referenced by:  dvbsssg  15381  dvidlemap  15386  dvidrelem  15387  dvidsslem  15388  dviaddf  15400  dvimulf  15401  dvcoapbr  15402  dvcjbr  15403  dvrecap  15408