Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvbss GIF version

Theorem dvbss 13025
 Description: The set of differentiable points is a subset of the domain of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcl.s (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
dvcl.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvcl.a (𝜑𝐴𝑆)
Assertion
Ref Expression
dvbss (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem dvbss
StepHypRef Expression
1 dvcl.s . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
2 dvcl.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
3 dvcl.a . . 3 (𝜑𝐴𝑆)
4 eqid 2157 . . 3 ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)
5 eqid 2157 . . 3 (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
61, 2, 3, 4, 5dvbssntrcntop 13024 . 2 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘𝐴))
75cntoptop 12904 . . . 4 (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ Top
8 cnex 7850 . . . . 5 ℂ ∈ V
9 ssexg 4103 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
101, 8, 9sylancl 410 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ V)
11 resttop 12541 . . . 4 (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top)
127, 10, 11sylancr 411 . . 3 (𝜑 → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top)
135cntoptopon 12903 . . . . . 6 (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ)
14 resttopon 12542 . . . . . 6 (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
1513, 1, 14sylancr 411 . . . . 5 (𝜑 → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
16 toponuni 12384 . . . . 5 (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
1715, 16syl 14 . . . 4 (𝜑𝑆 = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
183, 17sseqtrd 3166 . . 3 (𝜑𝐴 ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
19 eqid 2157 . . . 4 ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)
2019ntrss2 12492 . . 3 ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝐴 ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)) → ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
2112, 18, 20syl2anc 409 . 2 (𝜑 → ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
226, 21sstrd 3138 1 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝐴)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  Vcvv 2712   ⊆ wss 3102  ∪ cuni 3772  dom cdm 4585   ∘ ccom 4589  ⟶wf 5165  ‘cfv 5169  (class class class)co 5821  ℂcc 7724   − cmin 8040  abscabs 10890   ↾t crest 12322  MetOpencmopn 12356  Topctop 12366  TopOnctopon 12379  intcnt 12464   D cdv 12995 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-mulrcl 7825  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-precex 7836  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842  ax-pre-mulgt0 7843  ax-pre-mulext 7844  ax-arch 7845  ax-caucvg 7846 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-isom 5178  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-frec 6335  df-map 6592  df-pm 6593  df-sup 6924  df-inf 6925  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-reap 8444  df-ap 8451  df-div 8540  df-inn 8828  df-2 8886  df-3 8887  df-4 8888  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434  df-q 9522  df-rp 9554  df-xneg 9672  df-xadd 9673  df-seqfrec 10338  df-exp 10412  df-cj 10735  df-re 10736  df-im 10737  df-rsqrt 10891  df-abs 10892  df-rest 12324  df-topgen 12343  df-psmet 12358  df-xmet 12359  df-met 12360  df-bl 12361  df-mopn 12362  df-top 12367  df-topon 12380  df-bases 12412  df-ntr 12467  df-limced 12996  df-dvap 12997 This theorem is referenced by:  dvbsssg  13026  dvidlemap  13031  dviaddf  13040  dvimulf  13041  dvcoapbr  13042  dvcjbr  13043  dvrecap  13048
 Copyright terms: Public domain W3C validator