Theorem dvbss 14157

Description: The set of differentiable points is a subset of the domain of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
dvcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
dvbss	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem dvbss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvcl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
2		dvcl.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3		dvcl.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
4		eqid 2177	. . 3 ⊢ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)
5		eqid 2177	. . 3 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
6	1, 2, 3, 4, 5	dvbssntrcntop 14156	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘𝐴))
7	5	cntoptop 14036	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ Top
8		cnex 7935	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
9		ssexg 4143	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
10	1, 8, 9	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
11		resttop 13673	. . . 4 ⊢ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top)
12	7, 10, 11	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top)
13	5	cntoptopon 14035	. . . . . 6 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ)
14		resttopon 13674	. . . . . 6 ⊢ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
15	13, 1, 14	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
16		toponuni 13518	. . . . 5 ⊢ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
17	15, 16	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
18	3, 17	sseqtrd 3194	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
19		eqid 2177	. . . 4 ⊢ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) = ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)
20	19	ntrss2 13624	. . 3 ⊢ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)) → ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
21	12, 18, 20	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
22	6, 21	sstrd 3166	1 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2738   ⊆ wss 3130  ∪ cuni 3810  dom cdm 4627   ∘ ccom 4631  ⟶wf 5213  ‘cfv 5217  (class class class)co 5875  ℂcc 7809   − cmin 8128  abscabs 11006   ↾_t crest 12688  MetOpencmopn 13448  Topctop 13500  TopOnctopon 13513  intcnt 13596   D cdv 14127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-map 6650  df-pm 6651  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-xneg 9772  df-xadd 9773  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-rest 12690  df-topgen 12709  df-psmet 13450  df-xmet 13451  df-met 13452  df-bl 13453  df-mopn 13454  df-top 13501  df-topon 13514  df-bases 13546  df-ntr 13599  df-limced 14128  df-dvap 14129

This theorem is referenced by:  dvbsssg  14158  dvidlemap  14163  dviaddf  14172  dvimulf  14173  dvcoapbr  14174  dvcjbr  14175  dvrecap  14180