Theorem dvbss 15367

Description: The set of differentiable points is a subset of the domain of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
dvcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
dvbss	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem dvbss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvcl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
2		dvcl.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3		dvcl.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
4		eqid 2229	. . 3 ⊢ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)
5		eqid 2229	. . 3 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
6	1, 2, 3, 4, 5	dvbssntrcntop 15366	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘𝐴))
7	5	cntoptop 15215	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ Top
8		cnex 8131	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
9		ssexg 4223	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
10	1, 8, 9	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
11		resttop 14852	. . . 4 ⊢ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top)
12	7, 10, 11	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top)
13	5	cntoptopon 15214	. . . . . 6 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ)
14		resttopon 14853	. . . . . 6 ⊢ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
15	13, 1, 14	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
16		toponuni 14697	. . . . 5 ⊢ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
17	15, 16	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
18	3, 17	sseqtrd 3262	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
19		eqid 2229	. . . 4 ⊢ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) = ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)
20	19	ntrss2 14803	. . 3 ⊢ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)) → ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
21	12, 18, 20	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
22	6, 21	sstrd 3234	1 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197  ∪ cuni 3888  dom cdm 4719   ∘ ccom 4723  ⟶wf 5314  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  ℂcc 8005   − cmin 8325  abscabs 11516   ↾_t crest 13280  MetOpencmopn 14513  Topctop 14679  TopOnctopon 14692  intcnt 14775   D cdv 15337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126  ax-caucvg 8127

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-map 6805  df-pm 6806  df-sup 7159  df-inf 7160  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-q 9823  df-rp 9858  df-xneg 9976  df-xadd 9977  df-seqfrec 10678  df-exp 10769  df-cj 11361  df-re 11362  df-im 11363  df-rsqrt 11517  df-abs 11518  df-rest 13282  df-topgen 13301  df-psmet 14515  df-xmet 14516  df-met 14517  df-bl 14518  df-mopn 14519  df-top 14680  df-topon 14693  df-bases 14725  df-ntr 14778  df-limced 15338  df-dvap 15339

This theorem is referenced by:  dvbsssg  15368  dvidlemap  15373  dvidrelem  15374  dvidsslem  15375  dviaddf  15387  dvimulf  15388  dvcoapbr  15389  dvcjbr  15390  dvrecap  15395