Theorem dvbss 15923

Description: The set of differentiable points is a subset of the domain of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
dvcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
dvbss	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem dvbss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvcl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
2		dvcl.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3		dvcl.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
4		eqid 2238	. . 3 ⊢ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)
5		eqid 2238	. . 3 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
6	1, 2, 3, 4, 5	dvbssntrcntop 15922	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘𝐴))
7	5	cntoptop 15771	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ Top
8		cnex 8310	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
9		ssexg 4274	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
10	1, 8, 9	sylancl 417	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
11		resttop 15408	. . . 4 ⊢ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top)
12	7, 10, 11	sylancr 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top)
13	5	cntoptopon 15770	. . . . . 6 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ)
14		resttopon 15409	. . . . . 6 ⊢ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
15	13, 1, 14	sylancr 418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
16		toponuni 15253	. . . . 5 ⊢ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
17	15, 16	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
18	3, 17	sseqtrd 3286	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
19		eqid 2238	. . . 4 ⊢ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) = ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)
20	19	ntrss2 15359	. . 3 ⊢ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)) → ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
21	12, 18, 20	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝜑 → ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
22	6, 21	sstrd 3258	1 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  ∪ cuni 3935  dom cdm 4776   ∘ ccom 4780  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℂcc 8184   − cmin 8505  abscabs 11786   ↾_t crest 13653  MetOpencmopn 14988  Topctop 15235  TopOnctopon 15248  intcnt 15331   D cdv 15893

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-map 6928  df-pm 6929  df-sup 7331  df-inf 7332  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-xneg 10192  df-xadd 10193  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788  df-rest 13655  df-topgen 13674  df-psmet 14990  df-xmet 14991  df-met 14992  df-bl 14993  df-mopn 14994  df-top 15236  df-topon 15249  df-bases 15281  df-ntr 15334  df-limced 15894  df-dvap 15895

This theorem is used by:  dvbsssg  15924  dvidlemap  15929  dvidrelem  15930  dvidsslem  15931  dviaddf  15943  dvimulf  15944  dvcoapbr  15945  dvcjbr  15946  dvrecap  15951