ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  suprzclex GIF version

Theorem suprzclex 9172
Description: The supremum of a set of integers is an element of the set. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
suprzclex.ex (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
suprzclex.ss (𝜑𝐴 ⊆ ℤ)
Assertion
Ref Expression
suprzclex (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑦)

Proof of Theorem suprzclex
Dummy variables 𝑤 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lttri3 7867 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
21adantl 275 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
3 suprzclex.ex . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
42, 3supclti 6892 . . . 4 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
54ltm1d 8713 . . 3 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < sup(𝐴, ℝ, < ))
6 suprzclex.ss . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℤ)
7 zssre 9084 . . . . 5 ℤ ⊆ ℝ
86, 7sstrdi 3113 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
9 peano2rem 8052 . . . . 5 (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) ∈ ℝ)
104, 9syl 14 . . . 4 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) ∈ ℝ)
113, 8, 10suprlubex 8733 . . 3 (𝜑 → ((sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧))
125, 11mpbid 146 . 2 (𝜑 → ∃𝑧𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)
136adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 𝐴 ⊆ ℤ)
1413sselda 3101 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ ℤ)
157, 14sseldi 3099 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
164adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
1716adantr 274 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
18 simprl 521 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 𝑧𝐴)
1913, 18sseldd 3102 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 𝑧 ∈ ℤ)
20 zre 9081 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
2119, 20syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 𝑧 ∈ ℝ)
22 peano2re 7921 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 + 1) ∈ ℝ)
2321, 22syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → (𝑧 + 1) ∈ ℝ)
2423adantr 274 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤𝐴) → (𝑧 + 1) ∈ ℝ)
253ad2antrr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
268ad2antrr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
27 simpr 109 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤𝐴)
2825, 26, 27suprubex 8732 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
29 simprr 522 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)
30 1red 7804 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 1 ∈ ℝ)
3116, 30, 21ltsubaddd 8326 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → ((sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧 ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) < (𝑧 + 1)))
3229, 31mpbid 146 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) < (𝑧 + 1))
3332adantr 274 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) < (𝑧 + 1))
3415, 17, 24, 28, 33lelttrd 7910 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 < (𝑧 + 1))
3519adantr 274 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑧 ∈ ℤ)
36 zleltp1 9132 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑤𝑧𝑤 < (𝑧 + 1)))
3714, 35, 36syl2anc 409 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤𝐴) → (𝑤𝑧𝑤 < (𝑧 + 1)))
3834, 37mpbird 166 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤𝑧)
3938ralrimiva 2508 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → ∀𝑤𝐴 𝑤𝑧)
40 breq2 3940 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑤 → (𝑦 < 𝑧𝑦 < 𝑤))
4140cbvrexv 2658 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑤𝐴 𝑦 < 𝑤)
4241imbi2i 225 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑤𝐴 𝑦 < 𝑤))
4342ralbii 2444 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑤𝐴 𝑦 < 𝑤))
4443anbi2i 453 . . . . . . . . 9 ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑤𝐴 𝑦 < 𝑤)))
4544rexbii 2445 . . . . . . . 8 (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑤𝐴 𝑦 < 𝑤)))
463, 45sylib 121 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑤𝐴 𝑦 < 𝑤)))
4746adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑤𝐴 𝑦 < 𝑤)))
4813, 7sstrdi 3113 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
4947, 48, 21suprleubex 8735 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑤𝐴 𝑤𝑧))
5039, 49mpbird 166 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑧)
5147, 48, 18suprubex 8732 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 𝑧 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
5216, 21letri3d 7902 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → (sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑧 ↔ (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑧𝑧 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))))
5350, 51, 52mpbir2and 929 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑧)
5453, 18eqeltrd 2217 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
5512, 54rexlimddv 2557 1 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1332  wcel 1481  wral 2417  wrex 2418  wss 3075   class class class wbr 3936  (class class class)co 5781  supcsup 6876  cr 7642  1c1 7644   + caddc 7646   < clt 7823  cle 7824  cmin 7956  cz 9077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-br 3937  df-opab 3997  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-sup 6878  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-inn 8744  df-n0 9001  df-z 9078
This theorem is referenced by:  infssuzcldc  11678  gcddvds  11686
  Copyright terms: Public domain W3C validator