Theorem suprzclex 9622

Description: The supremum of a set of integers is an element of the set. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprzclex.ex	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
suprzclex.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
suprzclex	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑦)

Proof of Theorem suprzclex

Dummy variables 𝑤 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttri3 8301	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
2	1	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
3		suprzclex.ex	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4	2, 3	supclti 7240	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5	4	ltm1d 9154	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < sup(𝐴, ℝ, < ))
6		suprzclex.ss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℤ)
7		zssre 9530	. . . . 5 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
8	6, 7	sstrdi 3240	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
9		peano2rem 8488	. . . . 5 ⊢ (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) ∈ ℝ)
10	4, 9	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) ∈ ℝ)
11	3, 8, 10	suprlubex 9174	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧))
12	5, 11	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)
13	6	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 𝐴 ⊆ ℤ)
14	13	sselda 3228	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ℤ)
15	7, 14	sselid 3226	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
16	4	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
17	16	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
18		simprl 531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
19	13, 18	sseldd 3229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 𝑧 ∈ ℤ)
20		zre 9527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
21	19, 20	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 𝑧 ∈ ℝ)
22		peano2re 8357	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 + 1) ∈ ℝ)
23	21, 22	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → (𝑧 + 1) ∈ ℝ)
24	23	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑧 + 1) ∈ ℝ)
25	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
26	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
27		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ 𝐴)
28	25, 26, 27	suprubex 9173	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
29		simprr 533	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)
30		1red 8237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 1 ∈ ℝ)
31	16, 30, 21	ltsubaddd 8763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → ((sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧 ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) < (𝑧 + 1)))
32	29, 31	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) < (𝑧 + 1))
33	32	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) < (𝑧 + 1))
34	15, 17, 24, 28, 33	lelttrd 8346	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 < (𝑧 + 1))
35	19	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℤ)
36		zleltp1 9579	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑤 ≤ 𝑧 ↔ 𝑤 < (𝑧 + 1)))
37	14, 35, 36	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ≤ 𝑧 ↔ 𝑤 < (𝑧 + 1)))
38	34, 37	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ≤ 𝑧)
39	38	ralrimiva 2606	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 ≤ 𝑧)
40		breq2 4097	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < 𝑤))
41	40	cbvrexv 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)
42	41	imbi2i 226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤))
43	42	ralbii 2539	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤))
44	43	anbi2i 457	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)))
45	44	rexbii 2540	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)))
46	3, 45	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)))
47	46	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)))
48	13, 7	sstrdi 3240	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
49	47, 48, 21	suprleubex 9176	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 ≤ 𝑧))
50	39, 49	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑧)
51	47, 48, 18	suprubex 9173	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 𝑧 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
52	16, 21	letri3d 8337	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → (sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑧 ↔ (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))))
53	50, 51, 52	mpbir2and 953	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑧)
54	53, 18	eqeltrd 2308	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
55	12, 54	rexlimddv 2656	1 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  ∃wrex 2512   ⊆ wss 3201   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028  supcsup 7224  ℝcr 8074  1c1 8076   + caddc 8078   < clt 8256   ≤ cle 8257   − cmin 8392  ℤcz 9523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-sup 7226  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524

This theorem is referenced by:  infssuzcldc  10541  gcddvds  12597