Theorem sselid 3140

Description: Membership inference from subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseli.1	⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵
sselid.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
sselid	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem sselid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sselid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
2		sseli.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵
3	2	sseli 3138	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵)
4	1, 3	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136   ⊆ wss 3116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-11 1494  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-in 3122  df-ss 3129

This theorem is referenced by:  mptrcl  5568  riotacl  5812  riotasbc  5813  elmpocl  6036  ofrval  6060  f1od2  6203  mpoxopn0yelv  6207  tpostpos  6232  smores  6260  supubti  6964  suplubti  6965  prarloclemcalc  7443  rereceu  7830  recriota  7831  rexrd  7948  eqord1  8381  nnred  8870  nncnd  8871  un0addcl  9147  un0mulcl  9148  nnnn0d  9167  nn0red  9168  nn0xnn0d  9186  suprzclex  9289  nn0zd  9311  zred  9313  rpred  9632  ige2m1fz  10045  zmodfzp1  10283  seq3caopr2  10417  expcl2lemap  10467  m1expcl  10478  summodclem2a  11322  zsumdc  11325  clim2prod  11480  ntrivcvgap  11489  prodmodclem2a  11517  zproddc  11520  zsupssdc  11887  lcmn0cl  12000  isprm5lem  12073  eulerthlemrprm  12161  eulerthlema  12162  eulerthlemh  12163  eulerthlemth  12164  prmdivdiv  12169  ennnfonelemg  12336  lmrcl  12831  lmss  12886  upxp  12912  isxms2  13092  iooretopg  13168  tgqioo  13187  limccoap  13287  dvcl  13292  dvidlemap  13300  dvcnp2cntop  13303  lgscl  13555  2sqlem6  13596  2sqlem8  13599  2sqlem9  13600  isomninnlem  13909  trilpolemeq1  13919  trilpolemlt1  13920  iswomninnlem  13928  iswomni0  13930  ismkvnnlem  13931  nconstwlpolemgt0  13942