ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reg3exmidlemwe GIF version

Theorem reg3exmidlemwe 4394
Description: Lemma for reg3exmid 4395. Our counterexample 𝐴 satisfies We. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
reg3exmidlemwe.a 𝐴 = {𝑥 ∈ {∅, {∅}} ∣ (𝑥 = {∅} ∨ (𝑥 = ∅ ∧ 𝜑))}
Assertion
Ref Expression
reg3exmidlemwe E We 𝐴
Distinct variable group:   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem reg3exmidlemwe
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zfregfr 4389 . 2 E Fr 𝐴
2 epel 4119 . . . . . 6 (𝑎 E 𝑏𝑎𝑏)
3 epel 4119 . . . . . 6 (𝑏 E 𝑐𝑏𝑐)
42, 3anbi12i 448 . . . . 5 ((𝑎 E 𝑏𝑏 E 𝑐) ↔ (𝑎𝑏𝑏𝑐))
5 simpr 108 . . . . . 6 (((𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴) ∧ (𝑎𝑏𝑏𝑐)) → (𝑎𝑏𝑏𝑐))
6 elirr 4357 . . . . . . . 8 ¬ {∅} ∈ {∅}
7 simprr 499 . . . . . . . . . 10 (((𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴) ∧ (𝑎𝑏𝑏𝑐)) → 𝑏𝑐)
8 noel 3290 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 𝑎 ∈ ∅
9 eleq2 2151 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = ∅ → (𝑎𝑏𝑎 ∈ ∅))
108, 9mtbiri 635 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = ∅ → ¬ 𝑎𝑏)
11 simprl 498 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴) ∧ (𝑎𝑏𝑏𝑐)) → 𝑎𝑏)
1210, 11nsyl3 591 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴) ∧ (𝑎𝑏𝑏𝑐)) → ¬ 𝑏 = ∅)
13 elrabi 2768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ {𝑥 ∈ {∅, {∅}} ∣ (𝑥 = {∅} ∨ (𝑥 = ∅ ∧ 𝜑))} → 𝑏 ∈ {∅, {∅}})
14 reg3exmidlemwe.a . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐴 = {𝑥 ∈ {∅, {∅}} ∣ (𝑥 = {∅} ∨ (𝑥 = ∅ ∧ 𝜑))}
1513, 14eleq2s 2182 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏𝐴𝑏 ∈ {∅, {∅}})
16 elpri 3469 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ {∅, {∅}} → (𝑏 = ∅ ∨ 𝑏 = {∅}))
1715, 16syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏𝐴 → (𝑏 = ∅ ∨ 𝑏 = {∅}))
1817orcomd 683 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏𝐴 → (𝑏 = {∅} ∨ 𝑏 = ∅))
19183ad2ant2 965 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴) → (𝑏 = {∅} ∨ 𝑏 = ∅))
2019adantr 270 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴) ∧ (𝑎𝑏𝑏𝑐)) → (𝑏 = {∅} ∨ 𝑏 = ∅))
2112, 20ecased 1285 . . . . . . . . . 10 (((𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴) ∧ (𝑎𝑏𝑏𝑐)) → 𝑏 = {∅})
22 noel 3290 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 𝑏 ∈ ∅
23 eleq2 2151 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = ∅ → (𝑏𝑐𝑏 ∈ ∅))
2422, 23mtbiri 635 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = ∅ → ¬ 𝑏𝑐)
2524, 7nsyl3 591 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴) ∧ (𝑎𝑏𝑏𝑐)) → ¬ 𝑐 = ∅)
26 elrabi 2768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ {𝑥 ∈ {∅, {∅}} ∣ (𝑥 = {∅} ∨ (𝑥 = ∅ ∧ 𝜑))} → 𝑐 ∈ {∅, {∅}})
2726, 14eleq2s 2182 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐𝐴𝑐 ∈ {∅, {∅}})
28 vex 2622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑐 ∈ V
2928elpr 3467 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ {∅, {∅}} ↔ (𝑐 = ∅ ∨ 𝑐 = {∅}))
3027, 29sylib 120 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐𝐴 → (𝑐 = ∅ ∨ 𝑐 = {∅}))
3130orcomd 683 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐𝐴 → (𝑐 = {∅} ∨ 𝑐 = ∅))
32313ad2ant3 966 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴) → (𝑐 = {∅} ∨ 𝑐 = ∅))
3332adantr 270 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴) ∧ (𝑎𝑏𝑏𝑐)) → (𝑐 = {∅} ∨ 𝑐 = ∅))
3425, 33ecased 1285 . . . . . . . . . 10 (((𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴) ∧ (𝑎𝑏𝑏𝑐)) → 𝑐 = {∅})
357, 21, 343eltr3d 2170 . . . . . . . . 9 (((𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴) ∧ (𝑎𝑏𝑏𝑐)) → {∅} ∈ {∅})
3635ex 113 . . . . . . . 8 ((𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴) → ((𝑎𝑏𝑏𝑐) → {∅} ∈ {∅}))
376, 36mtoi 625 . . . . . . 7 ((𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴) → ¬ (𝑎𝑏𝑏𝑐))
3837adantr 270 . . . . . 6 (((𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴) ∧ (𝑎𝑏𝑏𝑐)) → ¬ (𝑎𝑏𝑏𝑐))
395, 38pm2.21dd 585 . . . . 5 (((𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴) ∧ (𝑎𝑏𝑏𝑐)) → 𝑎 E 𝑐)
404, 39sylan2b 281 . . . 4 (((𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴) ∧ (𝑎 E 𝑏𝑏 E 𝑐)) → 𝑎 E 𝑐)
4140ex 113 . . 3 ((𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴) → ((𝑎 E 𝑏𝑏 E 𝑐) → 𝑎 E 𝑐))
4241rgen3 2460 . 2 𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴 ((𝑎 E 𝑏𝑏 E 𝑐) → 𝑎 E 𝑐)
43 df-wetr 4161 . 2 ( E We 𝐴 ↔ ( E Fr 𝐴 ∧ ∀𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴 ((𝑎 E 𝑏𝑏 E 𝑐) → 𝑎 E 𝑐)))
441, 42, 43mpbir2an 888 1 E We 𝐴
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wo 664  w3a 924   = wceq 1289  wcel 1438  wral 2359  {crab 2363  c0 3286  {csn 3446  {cpr 3447   class class class wbr 3845   E cep 4114   Fr wfr 4155   We wwe 4157
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-setind 4353
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rab 2368  df-v 2621  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-br 3846  df-opab 3900  df-eprel 4116  df-frfor 4158  df-frind 4159  df-wetr 4161
This theorem is referenced by:  reg3exmid  4395
  Copyright terms: Public domain W3C validator