ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reg3exmidlemwe GIF version

Theorem reg3exmidlemwe 4357
Description: Lemma for reg3exmid 4358. Our counterexample 𝐴 satisfies We. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
reg3exmidlemwe.a 𝐴 = {𝑥 ∈ {∅, {∅}} ∣ (𝑥 = {∅} ∨ (𝑥 = ∅ ∧ 𝜑))}
Assertion
Ref Expression
reg3exmidlemwe E We 𝐴
Distinct variable group:   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem reg3exmidlemwe
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zfregfr 4352 . 2 E Fr 𝐴
2 epel 4083 . . . . . 6 (𝑎 E 𝑏𝑎𝑏)
3 epel 4083 . . . . . 6 (𝑏 E 𝑐𝑏𝑐)
42, 3anbi12i 448 . . . . 5 ((𝑎 E 𝑏𝑏 E 𝑐) ↔ (𝑎𝑏𝑏𝑐))
5 simpr 108 . . . . . 6 (((𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴) ∧ (𝑎𝑏𝑏𝑐)) → (𝑎𝑏𝑏𝑐))
6 elirr 4320 . . . . . . . 8 ¬ {∅} ∈ {∅}
7 simprr 499 . . . . . . . . . 10 (((𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴) ∧ (𝑎𝑏𝑏𝑐)) → 𝑏𝑐)
8 noel 3273 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 𝑎 ∈ ∅
9 eleq2 2146 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = ∅ → (𝑎𝑏𝑎 ∈ ∅))
108, 9mtbiri 633 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = ∅ → ¬ 𝑎𝑏)
11 simprl 498 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴) ∧ (𝑎𝑏𝑏𝑐)) → 𝑎𝑏)
1210, 11nsyl3 589 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴) ∧ (𝑎𝑏𝑏𝑐)) → ¬ 𝑏 = ∅)
13 elrabi 2756 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ {𝑥 ∈ {∅, {∅}} ∣ (𝑥 = {∅} ∨ (𝑥 = ∅ ∧ 𝜑))} → 𝑏 ∈ {∅, {∅}})
14 reg3exmidlemwe.a . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐴 = {𝑥 ∈ {∅, {∅}} ∣ (𝑥 = {∅} ∨ (𝑥 = ∅ ∧ 𝜑))}
1513, 14eleq2s 2177 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏𝐴𝑏 ∈ {∅, {∅}})
16 elpri 3445 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ {∅, {∅}} → (𝑏 = ∅ ∨ 𝑏 = {∅}))
1715, 16syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏𝐴 → (𝑏 = ∅ ∨ 𝑏 = {∅}))
1817orcomd 681 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏𝐴 → (𝑏 = {∅} ∨ 𝑏 = ∅))
19183ad2ant2 961 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴) → (𝑏 = {∅} ∨ 𝑏 = ∅))
2019adantr 270 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴) ∧ (𝑎𝑏𝑏𝑐)) → (𝑏 = {∅} ∨ 𝑏 = ∅))
2112, 20ecased 1281 . . . . . . . . . 10 (((𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴) ∧ (𝑎𝑏𝑏𝑐)) → 𝑏 = {∅})
22 noel 3273 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 𝑏 ∈ ∅
23 eleq2 2146 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = ∅ → (𝑏𝑐𝑏 ∈ ∅))
2422, 23mtbiri 633 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = ∅ → ¬ 𝑏𝑐)
2524, 7nsyl3 589 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴) ∧ (𝑎𝑏𝑏𝑐)) → ¬ 𝑐 = ∅)
26 elrabi 2756 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ {𝑥 ∈ {∅, {∅}} ∣ (𝑥 = {∅} ∨ (𝑥 = ∅ ∧ 𝜑))} → 𝑐 ∈ {∅, {∅}})
2726, 14eleq2s 2177 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐𝐴𝑐 ∈ {∅, {∅}})
28 vex 2615 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑐 ∈ V
2928elpr 3443 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ {∅, {∅}} ↔ (𝑐 = ∅ ∨ 𝑐 = {∅}))
3027, 29sylib 120 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐𝐴 → (𝑐 = ∅ ∨ 𝑐 = {∅}))
3130orcomd 681 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐𝐴 → (𝑐 = {∅} ∨ 𝑐 = ∅))
32313ad2ant3 962 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴) → (𝑐 = {∅} ∨ 𝑐 = ∅))
3332adantr 270 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴) ∧ (𝑎𝑏𝑏𝑐)) → (𝑐 = {∅} ∨ 𝑐 = ∅))
3425, 33ecased 1281 . . . . . . . . . 10 (((𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴) ∧ (𝑎𝑏𝑏𝑐)) → 𝑐 = {∅})
357, 21, 343eltr3d 2165 . . . . . . . . 9 (((𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴) ∧ (𝑎𝑏𝑏𝑐)) → {∅} ∈ {∅})
3635ex 113 . . . . . . . 8 ((𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴) → ((𝑎𝑏𝑏𝑐) → {∅} ∈ {∅}))
376, 36mtoi 623 . . . . . . 7 ((𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴) → ¬ (𝑎𝑏𝑏𝑐))
3837adantr 270 . . . . . 6 (((𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴) ∧ (𝑎𝑏𝑏𝑐)) → ¬ (𝑎𝑏𝑏𝑐))
395, 38pm2.21dd 583 . . . . 5 (((𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴) ∧ (𝑎𝑏𝑏𝑐)) → 𝑎 E 𝑐)
404, 39sylan2b 281 . . . 4 (((𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴) ∧ (𝑎 E 𝑏𝑏 E 𝑐)) → 𝑎 E 𝑐)
4140ex 113 . . 3 ((𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴) → ((𝑎 E 𝑏𝑏 E 𝑐) → 𝑎 E 𝑐))
4241rgen3 2454 . 2 𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴 ((𝑎 E 𝑏𝑏 E 𝑐) → 𝑎 E 𝑐)
43 df-wetr 4125 . 2 ( E We 𝐴 ↔ ( E Fr 𝐴 ∧ ∀𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴 ((𝑎 E 𝑏𝑏 E 𝑐) → 𝑎 E 𝑐)))
441, 42, 43mpbir2an 884 1 E We 𝐴
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wo 662  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434  wral 2353  {crab 2357  c0 3269  {csn 3422  {cpr 3423   class class class wbr 3811   E cep 4078   Fr wfr 4119   We wwe 4121
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-setind 4316
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rab 2362  df-v 2614  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-br 3812  df-opab 3866  df-eprel 4080  df-frfor 4122  df-frind 4123  df-wetr 4125
This theorem is referenced by:  reg3exmid  4358
  Copyright terms: Public domain W3C validator