Theorem 0wlkonlem2 30719

Description: Lemma 2 for 0wlkon 30720 and 0trlon 30724. (Contributed by AV, 3-Jan-2021.) (Revised by AV, 23-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
0wlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0wlkonlem2	⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → 𝑃 ∈ (𝑉 ↑pm (0...0)))

Proof of Theorem 0wlkonlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7457	. 2 ⊢ (0...0) ∈ V
2		0wlk.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	fvexi 6904	. 2 ⊢ 𝑉 ∈ V
4		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → 𝑃:(0...0)⟶𝑉)
5		fpmg 8903	. 2 ⊢ (((0...0) ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ 𝑃:(0...0)⟶𝑉) → 𝑃 ∈ (𝑉 ↑pm (0...0)))
6	1, 3, 4, 5	mp3an12i 1494	1 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → 𝑃 ∈ (𝑉 ↑pm (0...0)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ↑_pm cpm 8855  0cc0 11207  ...cfz 13646  Vtxcvtx 29583

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-pm 8857

This theorem is used by:  0wlkon  30720  0trlon  30724  0pthon  30727