Theorem 0wlkonlem2 30537

Description: Lemma 2 for 0wlkon 30538 and 0trlon 30542. (Contributed by AV, 3-Jan-2021.) (Revised by AV, 23-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
0wlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0wlkonlem2	⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → 𝑃 ∈ (𝑉 ↑pm (0...0)))

Proof of Theorem 0wlkonlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7452	. 2 ⊢ (0...0) ∈ V
2		0wlk.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	fvexi 6899	. 2 ⊢ 𝑉 ∈ V
4		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → 𝑃:(0...0)⟶𝑉)
5		fpmg 8872	. 2 ⊢ (((0...0) ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ 𝑃:(0...0)⟶𝑉) → 𝑃 ∈ (𝑉 ↑pm (0...0)))
6	1, 3, 4, 5	mp3an12i 1494	1 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → 𝑃 ∈ (𝑉 ↑pm (0...0)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ↑_pm cpm 8831  0cc0 11115  ...cfz 13551  Vtxcvtx 29401

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-pm 8833

This theorem is used by:  0wlkon  30538  0trlon  30542  0pthon  30545