Theorem 0wlkonlem2 30204

Description: Lemma 2 for 0wlkon 30205 and 0trlon 30209. (Contributed by AV, 3-Jan-2021.) (Revised by AV, 23-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
0wlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0wlkonlem2	⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → 𝑃 ∈ (𝑉 ↑pm (0...0)))

Proof of Theorem 0wlkonlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7393	. 2 ⊢ (0...0) ∈ V
2		0wlk.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	fvexi 6848	. 2 ⊢ 𝑉 ∈ V
4		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → 𝑃:(0...0)⟶𝑉)
5		fpmg 8809	. 2 ⊢ (((0...0) ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ 𝑃:(0...0)⟶𝑉) → 𝑃 ∈ (𝑉 ↑pm (0...0)))
6	1, 3, 4, 5	mp3an12i 1468	1 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → 𝑃 ∈ (𝑉 ↑pm (0...0)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ↑_pm cpm 8767  0cc0 11029  ...cfz 13452  Vtxcvtx 29079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-pm 8769

This theorem is referenced by:  0wlkon  30205  0trlon  30209  0pthon  30212