Theorem 0wlkonlem2 30589

Description: Lemma 2 for 0wlkon 30590 and 0trlon 30594. (Contributed by AV, 3-Jan-2021.) (Revised by AV, 23-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
0wlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0wlkonlem2	⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → 𝑃 ∈ (𝑉 ↑pm (0...0)))

Proof of Theorem 0wlkonlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7446	. 2 ⊢ (0...0) ∈ V
2		0wlk.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	fvexi 6892	. 2 ⊢ 𝑉 ∈ V
4		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → 𝑃:(0...0)⟶𝑉)
5		fpmg 8875	. 2 ⊢ (((0...0) ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ 𝑃:(0...0)⟶𝑉) → 𝑃 ∈ (𝑉 ↑pm (0...0)))
6	1, 3, 4, 5	mp3an12i 1494	1 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → 𝑃 ∈ (𝑉 ↑pm (0...0)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ↑_pm cpm 8827  0cc0 11124  ...cfz 13561  Vtxcvtx 29453

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-pm 8829

This theorem is used by:  0wlkon  30590  0trlon  30594  0pthon  30597