Theorem fpmg 8656

Description: A total function is a partial function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fpmg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑pm 𝐴))

Proof of Theorem fpmg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3943	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
2		elpm2r 8633	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐴)) → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑pm 𝐴))
3	1, 2	mpanr2 701	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑pm 𝐴))
4	3	3impa 1109	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑pm 𝐴))
5	4	3com12 1122	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑pm 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887  ⟶wf 6429  (class class class)co 7275   ↑_pm cpm 8616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-pm 8618

This theorem is referenced by:  fpm  8663  mapsspm  8664  dvnff  25087  dvnply2  25447  0wlkonlem2  28483