Theorem fpmg 8907

Description: A total function is a partial function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fpmg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑pm 𝐴))

Proof of Theorem fpmg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 4018	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
2		elpm2r 8884	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐴)) → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑pm 𝐴))
3	1, 2	mpanr2 704	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑pm 𝐴))
4	3	3impa 1109	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑pm 𝐴))
5	4	3com12 1122	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑pm 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3963  ⟶wf 6559  (class class class)co 7431   ↑_pm cpm 8866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-pm 8868

This theorem is referenced by:  fpm  8914  mapsspm  8915  dvnff  25974  dvnply2  26344  0wlkonlem2  30148