Theorem 0wlkonlem1 29635

Description: Lemma 1 for 0wlkon 29637 and 0trlon 29641. (Contributed by AV, 3-Jan-2021.) (Revised by AV, 23-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
0wlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0wlkonlem1	⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))

Proof of Theorem 0wlkonlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 → 𝑃:(0...0)⟶𝑉)
2		0nn0 12492	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3		0elfz 13603	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...0))
4	2, 3	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 → 0 ∈ (0...0))
5	1, 4	ffvelcdmd 7088	. . . 4 ⊢ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
7		eleq1 2820	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = (𝑃‘0) → (𝑁 ∈ 𝑉 ↔ (𝑃‘0) ∈ 𝑉))
8	7	eqcoms 2739	. . . 4 ⊢ ((𝑃‘0) = 𝑁 → (𝑁 ∈ 𝑉 ↔ (𝑃‘0) ∈ 𝑉))
9	8	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (𝑁 ∈ 𝑉 ↔ (𝑃‘0) ∈ 𝑉))
10	6, 9	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → 𝑁 ∈ 𝑉)
11		id 22	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝑁 ∈ 𝑉)
12	10, 11	jccir 521	1 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412  0cc0 11113  ℕ₀cn0 12477  ...cfz 13489  Vtxcvtx 28520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490

This theorem is referenced by:  0wlkon  29637  0trlon  29641  0pthon  29644