Theorem rdgsucuni 37392

Description: If an ordinal number has a predecessor, the value of the recursive definition generator at that number in terms of its predecessor. (Contributed by ML, 17-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rdgsucuni	⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ¬ Lim 𝐵) → (rec(𝐹, 𝐼)‘𝐵) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘∪ 𝐵)))

Proof of Theorem rdgsucuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onsucuni3 37390	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ¬ Lim 𝐵) → 𝐵 = suc ∪ 𝐵)
2	1	fveq2d 6885	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ¬ Lim 𝐵) → (rec(𝐹, 𝐼)‘𝐵) = (rec(𝐹, 𝐼)‘suc ∪ 𝐵))
3		onuni 7787	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → ∪ 𝐵 ∈ On)
4	3	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ¬ Lim 𝐵) → ∪ 𝐵 ∈ On)
5		rdgsuc 8443	. . 3 ⊢ (∪ 𝐵 ∈ On → (rec(𝐹, 𝐼)‘suc ∪ 𝐵) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘∪ 𝐵)))
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ¬ Lim 𝐵) → (rec(𝐹, 𝐼)‘suc ∪ 𝐵) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘∪ 𝐵)))
7	2, 6	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ¬ Lim 𝐵) → (rec(𝐹, 𝐼)‘𝐵) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘∪ 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∅c0 4313  ∪ cuni 4888  Oncon0 6357  Lim wlim 6358  suc csuc 6359  ‘cfv 6536  reccrdg 8428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429

This theorem is referenced by:  finxp1o  37415  finxpreclem4  37417