Theorem rdgsucuni 37738

Description: If an ordinal number has a predecessor, the value of the recursive definition generator at that number in terms of its predecessor. (Contributed by ML, 17-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rdgsucuni	⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ¬ Lim 𝐵) → (rec(𝐹, 𝐼)‘𝐵) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘∪ 𝐵)))

Proof of Theorem rdgsucuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onsucuni3 37736	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ¬ Lim 𝐵) → 𝐵 = suc ∪ 𝐵)
2	1	fveq2d 6838	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ¬ Lim 𝐵) → (rec(𝐹, 𝐼)‘𝐵) = (rec(𝐹, 𝐼)‘suc ∪ 𝐵))
3		onuni 7738	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → ∪ 𝐵 ∈ On)
4	3	3ad2ant1 1139	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ¬ Lim 𝐵) → ∪ 𝐵 ∈ On)
5		rdgsuc 8360	. . 3 ⊢ (∪ 𝐵 ∈ On → (rec(𝐹, 𝐼)‘suc ∪ 𝐵) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘∪ 𝐵)))
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ¬ Lim 𝐵) → (rec(𝐹, 𝐼)‘suc ∪ 𝐵) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘∪ 𝐵)))
7	2, 6	eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ¬ Lim 𝐵) → (rec(𝐹, 𝐼)‘𝐵) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘∪ 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∅c0 4268  ∪ cuni 4845  Oncon0 6317  Lim wlim 6318  suc csuc 6319  ‘cfv 6492  reccrdg 8345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346

This theorem is referenced by:  finxp1o  37761  finxpreclem4  37763