MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bastop2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bastop2 22360
Description: A version of bastop1 22359 that doesn't have 𝐡 βŠ† 𝐽 in the antecedent. (Contributed by NM, 3-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
bastop2 (𝐽 ∈ Top β†’ ((topGenβ€˜π΅) = 𝐽 ↔ (𝐡 βŠ† 𝐽 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘¦(𝑦 βŠ† 𝐡 ∧ π‘₯ = βˆͺ 𝑦))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐡   π‘₯,𝐽,𝑦

Proof of Theorem bastop2
StepHypRef Expression
1 eleq1 2822 . . . . . . . 8 ((topGenβ€˜π΅) = 𝐽 β†’ ((topGenβ€˜π΅) ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ Top))
21biimparc 481 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGenβ€˜π΅) = 𝐽) β†’ (topGenβ€˜π΅) ∈ Top)
3 tgclb 22336 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ TopBases ↔ (topGenβ€˜π΅) ∈ Top)
42, 3sylibr 233 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGenβ€˜π΅) = 𝐽) β†’ 𝐡 ∈ TopBases)
5 bastg 22332 . . . . . 6 (𝐡 ∈ TopBases β†’ 𝐡 βŠ† (topGenβ€˜π΅))
64, 5syl 17 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGenβ€˜π΅) = 𝐽) β†’ 𝐡 βŠ† (topGenβ€˜π΅))
7 simpr 486 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGenβ€˜π΅) = 𝐽) β†’ (topGenβ€˜π΅) = 𝐽)
86, 7sseqtrd 3985 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGenβ€˜π΅) = 𝐽) β†’ 𝐡 βŠ† 𝐽)
98ex 414 . . 3 (𝐽 ∈ Top β†’ ((topGenβ€˜π΅) = 𝐽 β†’ 𝐡 βŠ† 𝐽))
109pm4.71rd 564 . 2 (𝐽 ∈ Top β†’ ((topGenβ€˜π΅) = 𝐽 ↔ (𝐡 βŠ† 𝐽 ∧ (topGenβ€˜π΅) = 𝐽)))
11 bastop1 22359 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐽) β†’ ((topGenβ€˜π΅) = 𝐽 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘¦(𝑦 βŠ† 𝐡 ∧ π‘₯ = βˆͺ 𝑦)))
1211pm5.32da 580 . 2 (𝐽 ∈ Top β†’ ((𝐡 βŠ† 𝐽 ∧ (topGenβ€˜π΅) = 𝐽) ↔ (𝐡 βŠ† 𝐽 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘¦(𝑦 βŠ† 𝐡 ∧ π‘₯ = βˆͺ 𝑦))))
1310, 12bitrd 279 1 (𝐽 ∈ Top β†’ ((topGenβ€˜π΅) = 𝐽 ↔ (𝐡 βŠ† 𝐽 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘¦(𝑦 βŠ† 𝐡 ∧ π‘₯ = βˆͺ 𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3911  βˆͺ cuni 4866  β€˜cfv 6497  topGenctg 17324  Topctop 22258  TopBasesctb 22311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-topgen 17330  df-top 22259  df-bases 22312
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator