Theorem bastop2 22950

Description: A version of bastop1 22949 that doesn't have 𝐵 ⊆ 𝐽 in the antecedent. (Contributed by NM, 3-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
bastop2	⊢ (𝐽 ∈ Top → ((topGen‘𝐵) = 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐽,𝑦

Proof of Theorem bastop2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2825	. . . . . . . 8 ⊢ ((topGen‘𝐵) = 𝐽 → ((topGen‘𝐵) ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ Top))
2	1	biimparc 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
3		tgclb 22926	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases ↔ (topGen‘𝐵) ∈ Top)
4	2, 3	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → 𝐵 ∈ TopBases)
5		bastg 22922	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → (topGen‘𝐵) = 𝐽)
8	6, 7	sseqtrd 3972	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → 𝐵 ⊆ 𝐽)
9	8	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((topGen‘𝐵) = 𝐽 → 𝐵 ⊆ 𝐽))
10	9	pm4.71rd 562	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((topGen‘𝐵) = 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝐽 ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽)))
11		bastop1 22949	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽) → ((topGen‘𝐵) = 𝐽 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦)))
12	11	pm5.32da 579	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝐵 ⊆ 𝐽 ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) ↔ (𝐵 ⊆ 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦))))
13	10, 12	bitrd 279	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((topGen‘𝐵) = 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ⊆ wss 3903  ∪ cuni 4865  ‘cfv 6500  topGenctg 17369  Topctop 22849  TopBasesctb 22901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fv 6508  df-topgen 17375  df-top 22850  df-bases 22902

This theorem is referenced by: (None)