Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bastop2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bastop2 21603
 Description: A version of bastop1 21602 that doesn't have 𝐵 ⊆ 𝐽 in the antecedent. (Contributed by NM, 3-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
bastop2 (𝐽 ∈ Top → ((topGen‘𝐵) = 𝐽 ↔ (𝐵𝐽 ∧ ∀𝑥𝐽𝑦(𝑦𝐵𝑥 = 𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐽,𝑦

Proof of Theorem bastop2
StepHypRef Expression
1 eleq1 2880 . . . . . . . 8 ((topGen‘𝐵) = 𝐽 → ((topGen‘𝐵) ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ Top))
21biimparc 483 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
3 tgclb 21579 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ TopBases ↔ (topGen‘𝐵) ∈ Top)
42, 3sylibr 237 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → 𝐵 ∈ TopBases)
5 bastg 21575 . . . . . 6 (𝐵 ∈ TopBases → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
64, 5syl 17 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
7 simpr 488 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → (topGen‘𝐵) = 𝐽)
86, 7sseqtrd 3958 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → 𝐵𝐽)
98ex 416 . . 3 (𝐽 ∈ Top → ((topGen‘𝐵) = 𝐽𝐵𝐽))
109pm4.71rd 566 . 2 (𝐽 ∈ Top → ((topGen‘𝐵) = 𝐽 ↔ (𝐵𝐽 ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽)))
11 bastop1 21602 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝐽) → ((topGen‘𝐵) = 𝐽 ↔ ∀𝑥𝐽𝑦(𝑦𝐵𝑥 = 𝑦)))
1211pm5.32da 582 . 2 (𝐽 ∈ Top → ((𝐵𝐽 ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) ↔ (𝐵𝐽 ∧ ∀𝑥𝐽𝑦(𝑦𝐵𝑥 = 𝑦))))
1310, 12bitrd 282 1 (𝐽 ∈ Top → ((topGen‘𝐵) = 𝐽 ↔ (𝐵𝐽 ∧ ∀𝑥𝐽𝑦(𝑦𝐵𝑥 = 𝑦))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109   ⊆ wss 3884  ∪ cuni 4803  ‘cfv 6328  topGenctg 16707  Topctop 21502  TopBasesctb 21554 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fv 6336  df-topgen 16713  df-top 21503  df-bases 21555 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator