MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bastop2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bastop2 22290
Description: A version of bastop1 22289 that doesn't have 𝐵𝐽 in the antecedent. (Contributed by NM, 3-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
bastop2 (𝐽 ∈ Top → ((topGen‘𝐵) = 𝐽 ↔ (𝐵𝐽 ∧ ∀𝑥𝐽𝑦(𝑦𝐵𝑥 = 𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐽,𝑦

Proof of Theorem bastop2
StepHypRef Expression
1 eleq1 2825 . . . . . . . 8 ((topGen‘𝐵) = 𝐽 → ((topGen‘𝐵) ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ Top))
21biimparc 480 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
3 tgclb 22266 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ TopBases ↔ (topGen‘𝐵) ∈ Top)
42, 3sylibr 233 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → 𝐵 ∈ TopBases)
5 bastg 22262 . . . . . 6 (𝐵 ∈ TopBases → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
64, 5syl 17 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
7 simpr 485 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → (topGen‘𝐵) = 𝐽)
86, 7sseqtrd 3982 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → 𝐵𝐽)
98ex 413 . . 3 (𝐽 ∈ Top → ((topGen‘𝐵) = 𝐽𝐵𝐽))
109pm4.71rd 563 . 2 (𝐽 ∈ Top → ((topGen‘𝐵) = 𝐽 ↔ (𝐵𝐽 ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽)))
11 bastop1 22289 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝐽) → ((topGen‘𝐵) = 𝐽 ↔ ∀𝑥𝐽𝑦(𝑦𝐵𝑥 = 𝑦)))
1211pm5.32da 579 . 2 (𝐽 ∈ Top → ((𝐵𝐽 ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) ↔ (𝐵𝐽 ∧ ∀𝑥𝐽𝑦(𝑦𝐵𝑥 = 𝑦))))
1310, 12bitrd 278 1 (𝐽 ∈ Top → ((topGen‘𝐵) = 𝐽 ↔ (𝐵𝐽 ∧ ∀𝑥𝐽𝑦(𝑦𝐵𝑥 = 𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wral 3062  wss 3908   cuni 4863  cfv 6493  topGenctg 17273  Topctop 22188  TopBasesctb 22241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fv 6501  df-topgen 17279  df-top 22189  df-bases 22242
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator