Theorem bastop2 22907

Description: A version of bastop1 22906 that doesn't have 𝐵 ⊆ 𝐽 in the antecedent. (Contributed by NM, 3-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
bastop2	⊢ (𝐽 ∈ Top → ((topGen‘𝐵) = 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐽,𝑦

Proof of Theorem bastop2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2819	. . . . . . . 8 ⊢ ((topGen‘𝐵) = 𝐽 → ((topGen‘𝐵) ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ Top))
2	1	biimparc 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
3		tgclb 22883	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases ↔ (topGen‘𝐵) ∈ Top)
4	2, 3	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → 𝐵 ∈ TopBases)
5		bastg 22879	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → (topGen‘𝐵) = 𝐽)
8	6, 7	sseqtrd 3971	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → 𝐵 ⊆ 𝐽)
9	8	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((topGen‘𝐵) = 𝐽 → 𝐵 ⊆ 𝐽))
10	9	pm4.71rd 562	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((topGen‘𝐵) = 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝐽 ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽)))
11		bastop1 22906	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽) → ((topGen‘𝐵) = 𝐽 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦)))
12	11	pm5.32da 579	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝐵 ⊆ 𝐽 ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) ↔ (𝐵 ⊆ 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦))))
13	10, 12	bitrd 279	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((topGen‘𝐵) = 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   ⊆ wss 3902  ∪ cuni 4859  ‘cfv 6481  topGenctg 17338  Topctop 22806  TopBasesctb 22858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-topgen 17344  df-top 22807  df-bases 22859

This theorem is referenced by: (None)