MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bastop2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bastop2 21290
Description: A version of bastop1 21289 that doesn't have 𝐵𝐽 in the antecedent. (Contributed by NM, 3-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
bastop2 (𝐽 ∈ Top → ((topGen‘𝐵) = 𝐽 ↔ (𝐵𝐽 ∧ ∀𝑥𝐽𝑦(𝑦𝐵𝑥 = 𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐽,𝑦

Proof of Theorem bastop2
StepHypRef Expression
1 eleq1 2872 . . . . . . . 8 ((topGen‘𝐵) = 𝐽 → ((topGen‘𝐵) ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ Top))
21biimparc 480 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
3 tgclb 21266 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ TopBases ↔ (topGen‘𝐵) ∈ Top)
42, 3sylibr 235 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → 𝐵 ∈ TopBases)
5 bastg 21262 . . . . . 6 (𝐵 ∈ TopBases → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
64, 5syl 17 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
7 simpr 485 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → (topGen‘𝐵) = 𝐽)
86, 7sseqtrd 3934 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → 𝐵𝐽)
98ex 413 . . 3 (𝐽 ∈ Top → ((topGen‘𝐵) = 𝐽𝐵𝐽))
109pm4.71rd 563 . 2 (𝐽 ∈ Top → ((topGen‘𝐵) = 𝐽 ↔ (𝐵𝐽 ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽)))
11 bastop1 21289 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝐽) → ((topGen‘𝐵) = 𝐽 ↔ ∀𝑥𝐽𝑦(𝑦𝐵𝑥 = 𝑦)))
1211pm5.32da 579 . 2 (𝐽 ∈ Top → ((𝐵𝐽 ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) ↔ (𝐵𝐽 ∧ ∀𝑥𝐽𝑦(𝑦𝐵𝑥 = 𝑦))))
1310, 12bitrd 280 1 (𝐽 ∈ Top → ((topGen‘𝐵) = 𝐽 ↔ (𝐵𝐽 ∧ ∀𝑥𝐽𝑦(𝑦𝐵𝑥 = 𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1525  wex 1765  wcel 2083  wral 3107  wss 3865   cuni 4751  cfv 6232  topGenctg 16544  Topctop 21189  TopBasesctb 21241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ral 3112  df-rex 3113  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-id 5355  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fv 6240  df-topgen 16550  df-top 21190  df-bases 21242
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator