Theorem bastg 22468

Description: A member of a basis is a subset of the topology it generates. (Contributed by NM, 16-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
bastg	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))

Proof of Theorem bastg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
2		vex 3478	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	2	pwid 4624	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑥
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑥)
5	1, 4	elind 4194	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))
6		elssuni 4941	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) → 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))
8	7	ex 413	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
9		eltg 22459	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
10	8, 9	sylibrd 258	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
11	10	ssrdv 3988	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  𝒫 cpw 4602  ∪ cuni 4908  ‘cfv 6543  topGenctg 17382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-topgen 17388

This theorem is referenced by:  unitg  22469  tgclb  22472  tgtop  22475  tgidm  22482  tgss3  22488  bastop2  22496  elcls3  22586  ordtopn1  22697  ordtopn2  22698  leordtval2  22715  iocpnfordt  22718  icomnfordt  22719  iooordt  22720  tgcn  22755  tgcnp  22756  tgcmp  22904  2ndcsb  22952  2ndc1stc  22954  2ndcctbss  22958  2ndcomap  22961  ptopn  23086  xkoopn  23092  txopn  23105  txbasval  23109  ptpjcn  23114  flftg  23499  alexsubb  23549  blssopn  24003  iooretop  24281  bndth  24473  ovolicc2  25038  cncombf  25174  cnmbf  25175  ordtconnlem1  32899  elmbfmvol2  33261  dya2icoseg2  33272  iccllysconn  34236  rellysconn  34237  topjoin  35245  fnemeet2  35247  fnejoin1  35248  ontgval  35311  mblfinlem3  36522  mblfinlem4  36523  ismblfin  36524  cnambfre  36531  kelac2  41797