Theorem bastg 23277

Description: A member of a basis is a subset of the topology it generates. (Contributed by NM, 16-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
bastg	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))

Proof of Theorem bastg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
2		vex 3455	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	2	pwid 4580	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑥
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑥)
5	1, 4	elind 4146	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))
6		elssuni 4899	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) → 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))
7	5, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))
8	7	ex 418	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
9		eltg 23268	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
10	8, 9	sylibrd 262	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
11	10	ssrdv 3937	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557  ∪ cuni 4867  ‘cfv 6537  topGenctg 17601

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-topgen 17607

This theorem is used by:  unitg  23278  tgclb  23281  tgtop  23284  tgidm  23291  tgss3  23297  bastop2  23305  elcls3  23394  ordtopn1  23505  ordtopn2  23506  leordtval2  23523  iocpnfordt  23526  icomnfordt  23527  iooordt  23528  tgcn  23563  tgcnp  23564  tgcmp  23712  2ndcsb  23760  2ndc1stc  23762  2ndcctbss  23767  2ndcomap  23770  ptopn  23895  xkoopn  23901  txopn  23914  txbasval  23918  ptpjcn  23923  flftg  24308  alexsubb  24358  blssopn  24807  iooretop  25077  bndth  25272  ovolicc2  25836  cncombf  25972  cnmbf  25973  ordtconnlem1  34549  elmbfmvol2  34892  dya2icoseg2  34903  iccllysconn  35994  rellysconn  35995  topjoin  37133  fnemeet2  37135  fnejoin1  37136  ontgval  37199  mblfinlem3  38557  mblfinlem4  38558  ismblfin  38559  cnambfre  38566  kelac2  44051