Theorem bastg 23152

Description: A member of a basis is a subset of the topology it generates. (Contributed by NM, 16-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
bastg	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))

Proof of Theorem bastg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
2		vex 3461	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	2	pwid 4587	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑥
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑥)
5	1, 4	elind 4153	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))
6		elssuni 4906	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) → 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))
7	5, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))
8	7	ex 418	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
9		eltg 23143	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
10	8, 9	sylibrd 262	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
11	10	ssrdv 3944	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  𝒫 cpw 4564  ∪ cuni 4874  ‘cfv 6540  topGenctg 17507

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fv 6548  df-topgen 17513

This theorem is used by:  unitg  23153  tgclb  23156  tgtop  23159  tgidm  23166  tgss3  23172  bastop2  23180  elcls3  23269  ordtopn1  23380  ordtopn2  23381  leordtval2  23398  iocpnfordt  23401  icomnfordt  23402  iooordt  23403  tgcn  23438  tgcnp  23439  tgcmp  23587  2ndcsb  23635  2ndc1stc  23637  2ndcctbss  23641  2ndcomap  23644  ptopn  23769  xkoopn  23775  txopn  23788  txbasval  23792  ptpjcn  23797  flftg  24182  alexsubb  24232  blssopn  24681  iooretop  24951  bndth  25146  ovolicc2  25710  cncombf  25846  cnmbf  25847  ordtconnlem1  34337  elmbfmvol2  34681  dya2icoseg2  34692  iccllysconn  35755  rellysconn  35756  topjoin  36909  fnemeet2  36911  fnejoin1  36912  ontgval  36975  mblfinlem3  38343  mblfinlem4  38344  ismblfin  38345  cnambfre  38352  kelac2  43825