Theorem bastg 22853

Description: A member of a basis is a subset of the topology it generates. (Contributed by NM, 16-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
bastg	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))

Proof of Theorem bastg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
2		vex 3451	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	2	pwid 4585	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑥
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑥)
5	1, 4	elind 4163	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))
6		elssuni 4901	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) → 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))
8	7	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
9		eltg 22844	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
10	8, 9	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
11	10	ssrdv 3952	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  𝒫 cpw 4563  ∪ cuni 4871  ‘cfv 6511  topGenctg 17400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-topgen 17406

This theorem is referenced by:  unitg  22854  tgclb  22857  tgtop  22860  tgidm  22867  tgss3  22873  bastop2  22881  elcls3  22970  ordtopn1  23081  ordtopn2  23082  leordtval2  23099  iocpnfordt  23102  icomnfordt  23103  iooordt  23104  tgcn  23139  tgcnp  23140  tgcmp  23288  2ndcsb  23336  2ndc1stc  23338  2ndcctbss  23342  2ndcomap  23345  ptopn  23470  xkoopn  23476  txopn  23489  txbasval  23493  ptpjcn  23498  flftg  23883  alexsubb  23933  blssopn  24383  iooretop  24653  bndth  24857  ovolicc2  25423  cncombf  25559  cnmbf  25560  ordtconnlem1  33914  elmbfmvol2  34258  dya2icoseg2  34269  iccllysconn  35237  rellysconn  35238  topjoin  36353  fnemeet2  36355  fnejoin1  36356  ontgval  36419  mblfinlem3  37653  mblfinlem4  37654  ismblfin  37655  cnambfre  37662  kelac2  43054