MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bastg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bastg 21096
Description: A member of a basis is a subset of the topology it generates. (Contributed by NM, 16-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
bastg (𝐵𝑉𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))

Proof of Theorem bastg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 478 . . . . . 6 ((𝐵𝑉𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
2 vex 3386 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
32pwid 4363 . . . . . . 7 𝑥 ∈ 𝒫 𝑥
43a1i 11 . . . . . 6 ((𝐵𝑉𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑥)
51, 4elind 3994 . . . . 5 ((𝐵𝑉𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))
6 elssuni 4657 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) → 𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))
75, 6syl 17 . . . 4 ((𝐵𝑉𝑥𝐵) → 𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))
87ex 402 . . 3 (𝐵𝑉 → (𝑥𝐵𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
9 eltg 21087 . . 3 (𝐵𝑉 → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
108, 9sylibrd 251 . 2 (𝐵𝑉 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
1110ssrdv 3802 1 (𝐵𝑉𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  wcel 2157  cin 3766  wss 3767  𝒫 cpw 4347   cuni 4626  cfv 6099  topGenctg 16410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ral 3092  df-rex 3093  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-op 4373  df-uni 4627  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-id 5218  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fv 6107  df-topgen 16416
This theorem is referenced by:  unitg  21097  tgclb  21100  tgtop  21103  tgidm  21110  tgss3  21116  bastop2  21124  elcls3  21213  ordtopn1  21324  ordtopn2  21325  leordtval2  21342  iocpnfordt  21345  icomnfordt  21346  iooordt  21347  tgcn  21382  tgcnp  21383  tgcmp  21530  2ndcsb  21578  2ndc1stc  21580  2ndcctbss  21584  2ndcomap  21587  ptopn  21712  xkoopn  21718  txopn  21731  txbasval  21735  ptpjcn  21740  flftg  22125  alexsubb  22175  blssopn  22625  iooretop  22894  bndth  23082  ovolicc2  23627  cncombf  23763  cnmbf  23764  ordtconnlem1  30478  elmbfmvol2  30837  dya2icoseg2  30848  iccllysconn  31741  rellysconn  31742  topjoin  32864  fnemeet2  32866  fnejoin1  32867  ontgval  32930  mblfinlem3  33929  mblfinlem4  33930  ismblfin  33931  cnambfre  33938  kelac2  38408
  Copyright terms: Public domain W3C validator