Theorem bastg 22922

Description: A member of a basis is a subset of the topology it generates. (Contributed by NM, 16-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
bastg	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))

Proof of Theorem bastg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
2		vex 3446	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	2	pwid 4578	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑥
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑥)
5	1, 4	elind 4154	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))
6		elssuni 4896	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) → 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))
8	7	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
9		eltg 22913	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
10	8, 9	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
11	10	ssrdv 3941	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4865  ‘cfv 6500  topGenctg 17369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fv 6508  df-topgen 17375

This theorem is referenced by:  unitg  22923  tgclb  22926  tgtop  22929  tgidm  22936  tgss3  22942  bastop2  22950  elcls3  23039  ordtopn1  23150  ordtopn2  23151  leordtval2  23168  iocpnfordt  23171  icomnfordt  23172  iooordt  23173  tgcn  23208  tgcnp  23209  tgcmp  23357  2ndcsb  23405  2ndc1stc  23407  2ndcctbss  23411  2ndcomap  23414  ptopn  23539  xkoopn  23545  txopn  23558  txbasval  23562  ptpjcn  23567  flftg  23952  alexsubb  24002  blssopn  24451  iooretop  24721  bndth  24925  ovolicc2  25491  cncombf  25627  cnmbf  25628  ordtconnlem1  34101  elmbfmvol2  34444  dya2icoseg2  34455  iccllysconn  35463  rellysconn  35464  topjoin  36578  fnemeet2  36580  fnejoin1  36581  ontgval  36644  mblfinlem3  37904  mblfinlem4  37905  ismblfin  37906  cnambfre  37913  kelac2  43416