MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bastg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bastg 20990
Description: A member of a basis is a subset of the topology it generates. (Contributed by NM, 16-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
bastg (𝐵𝑉𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))

Proof of Theorem bastg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 471 . . . . . 6 ((𝐵𝑉𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
2 vex 3352 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
32pwid 4311 . . . . . . 7 𝑥 ∈ 𝒫 𝑥
43a1i 11 . . . . . 6 ((𝐵𝑉𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑥)
51, 4elind 3947 . . . . 5 ((𝐵𝑉𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))
6 elssuni 4601 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) → 𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))
75, 6syl 17 . . . 4 ((𝐵𝑉𝑥𝐵) → 𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))
87ex 397 . . 3 (𝐵𝑉 → (𝑥𝐵𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
9 eltg 20981 . . 3 (𝐵𝑉 → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
108, 9sylibrd 249 . 2 (𝐵𝑉 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
1110ssrdv 3756 1 (𝐵𝑉𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 2144  cin 3720  wss 3721  𝒫 cpw 4295   cuni 4572  cfv 6031  topGenctg 16305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fv 6039  df-topgen 16311
This theorem is referenced by:  unitg  20991  tgclb  20994  tgtop  20997  tgidm  21004  tgss3  21010  bastop2  21018  elcls3  21107  ordtopn1  21218  ordtopn2  21219  leordtval2  21236  iocpnfordt  21239  icomnfordt  21240  iooordt  21241  tgcn  21276  tgcnp  21277  tgcmp  21424  2ndcsb  21472  2ndc1stc  21474  2ndcctbss  21478  2ndcomap  21481  ptopn  21606  xkoopn  21612  txopn  21625  txbasval  21629  ptpjcn  21634  flftg  22019  alexsubb  22069  blssopn  22519  iooretop  22788  bndth  22976  ovolicc2  23509  cncombf  23644  cnmbf  23645  ordtconnlem1  30304  elmbfmvol2  30663  dya2icoseg2  30674  iccllysconn  31564  rellysconn  31565  topjoin  32691  fnemeet2  32693  fnejoin1  32694  ontgval  32761  mblfinlem3  33774  mblfinlem4  33775  ismblfin  33776  cnambfre  33783  kelac2  38154
  Copyright terms: Public domain W3C validator