Theorem brtxpsd2 36320

Description: Another common abbreviation for quantifier-free definitions. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
brtxpsd2.1	⊢ 𝐴 ∈ V
brtxpsd2.2	⊢ 𝐵 ∈ V
brtxpsd2.3	⊢ 𝑅 = (𝐶 ∖ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑆 ⊗ V)))
brtxpsd2.4	⊢ 𝐴𝐶𝐵

Assertion

Ref	Expression
brtxpsd2	⊢ (𝐴𝑅𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑆𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem brtxpsd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brtxpsd2.4	. . 3 ⊢ 𝐴𝐶𝐵
2		brtxpsd2.3	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (𝐶 ∖ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑆 ⊗ V)))
3	2	breqi 5119	. . . 4 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐴(𝐶 ∖ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑆 ⊗ V)))𝐵)
4		brdif 5168	. . . 4 ⊢ (𝐴(𝐶 ∖ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑆 ⊗ V)))𝐵 ↔ (𝐴𝐶𝐵 ∧ ¬ 𝐴ran ((V ⊗ E ) △ (𝑆 ⊗ V))𝐵))
5	3, 4	bitri 278	. . 3 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 ↔ (𝐴𝐶𝐵 ∧ ¬ 𝐴ran ((V ⊗ E ) △ (𝑆 ⊗ V))𝐵))
6	1, 5	mpbiran 721	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 ↔ ¬ 𝐴ran ((V ⊗ E ) △ (𝑆 ⊗ V))𝐵)
7		brtxpsd2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
8		brtxpsd2.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
9	7, 8	brtxpsd 36319	. 2 ⊢ (¬ 𝐴ran ((V ⊗ E ) △ (𝑆 ⊗ V))𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑆𝐴))
10	6, 9	bitri 278	1 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑆𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 400  ∀wal 1565   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ∖ cdif 3910   △ csymdif 4213   class class class wbr 5113   E cep 5563  ran crn 5665   ⊗ ctxp 36255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pr 5407  ax-un 7735

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-symdif 4214  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5559  df-eprel 5564  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-fo 6545  df-fv 6547  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-txp 36279

This theorem is referenced by:  brtxpsd3  36321