Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  brtxpsd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brtxpsd2 35876
Description: Another common abbreviation for quantifier-free definitions. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
brtxpsd2.1 𝐴 ∈ V
brtxpsd2.2 𝐵 ∈ V
brtxpsd2.3 𝑅 = (𝐶 ∖ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑆 ⊗ V)))
brtxpsd2.4 𝐴𝐶𝐵
Assertion
Ref Expression
brtxpsd2 (𝐴𝑅𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐵𝑥𝑆𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem brtxpsd2
StepHypRef Expression
1 brtxpsd2.4 . . 3 𝐴𝐶𝐵
2 brtxpsd2.3 . . . . 5 𝑅 = (𝐶 ∖ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑆 ⊗ V)))
32breqi 5153 . . . 4 (𝐴𝑅𝐵𝐴(𝐶 ∖ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑆 ⊗ V)))𝐵)
4 brdif 5200 . . . 4 (𝐴(𝐶 ∖ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑆 ⊗ V)))𝐵 ↔ (𝐴𝐶𝐵 ∧ ¬ 𝐴ran ((V ⊗ E ) △ (𝑆 ⊗ V))𝐵))
53, 4bitri 275 . . 3 (𝐴𝑅𝐵 ↔ (𝐴𝐶𝐵 ∧ ¬ 𝐴ran ((V ⊗ E ) △ (𝑆 ⊗ V))𝐵))
61, 5mpbiran 709 . 2 (𝐴𝑅𝐵 ↔ ¬ 𝐴ran ((V ⊗ E ) △ (𝑆 ⊗ V))𝐵)
7 brtxpsd2.1 . . 3 𝐴 ∈ V
8 brtxpsd2.2 . . 3 𝐵 ∈ V
97, 8brtxpsd 35875 . 2 𝐴ran ((V ⊗ E ) △ (𝑆 ⊗ V))𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐵𝑥𝑆𝐴))
106, 9bitri 275 1 (𝐴𝑅𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐵𝑥𝑆𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206  wa 395  wal 1534   = wceq 1536  wcel 2105  Vcvv 3477  cdif 3959  csymdif 4257   class class class wbr 5147   E cep 5587  ran crn 5689  ctxp 35811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-symdif 4258  df-nul 4339  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-eprel 5588  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-fo 6568  df-fv 6570  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-txp 35835
This theorem is referenced by:  brtxpsd3  35877
  Copyright terms: Public domain W3C validator