Theorem brtxpsd2 36393

Description: Another common abbreviation for quantifier-free definitions. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
brtxpsd2.1	⊢ 𝐴 ∈ V
brtxpsd2.2	⊢ 𝐵 ∈ V
brtxpsd2.3	⊢ 𝑅 = (𝐶 ∖ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑆 ⊗ V)))
brtxpsd2.4	⊢ 𝐴𝐶𝐵

Assertion

Ref	Expression
brtxpsd2	⊢ (𝐴𝑅𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑆𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem brtxpsd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brtxpsd2.4	. . 3 ⊢ 𝐴𝐶𝐵
2		brtxpsd2.3	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (𝐶 ∖ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑆 ⊗ V)))
3	2	breqi 5114	. . . 4 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐴(𝐶 ∖ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑆 ⊗ V)))𝐵)
4		brdif 5163	. . . 4 ⊢ (𝐴(𝐶 ∖ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑆 ⊗ V)))𝐵 ↔ (𝐴𝐶𝐵 ∧ ¬ 𝐴ran ((V ⊗ E ) △ (𝑆 ⊗ V))𝐵))
5	3, 4	bitri 278	. . 3 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 ↔ (𝐴𝐶𝐵 ∧ ¬ 𝐴ran ((V ⊗ E ) △ (𝑆 ⊗ V))𝐵))
6	1, 5	mpbiran 721	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 ↔ ¬ 𝐴ran ((V ⊗ E ) △ (𝑆 ⊗ V))𝐵)
7		brtxpsd2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
8		brtxpsd2.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
9	7, 8	brtxpsd 36392	. 2 ⊢ (¬ 𝐴ran ((V ⊗ E ) △ (𝑆 ⊗ V))𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑆𝐴))
10	6, 9	bitri 278	1 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑆𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 400  ∀wal 1567   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   ∖ cdif 3901   △ csymdif 4204   class class class wbr 5108   E cep 5559  ran crn 5661   ⊗ ctxp 36328

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-symdif 4205  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-eprel 5560  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fo 6542  df-fv 6544  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-txp 36352

This theorem is used by:  brtxpsd3  36394