Theorem brtxpsd3 35860

Description: A third common abbreviation for quantifier-free definitions. (Contributed by Scott Fenton, 3-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
brtxpsd2.1	⊢ 𝐴 ∈ V
brtxpsd2.2	⊢ 𝐵 ∈ V
brtxpsd2.3	⊢ 𝑅 = (𝐶 ∖ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑆 ⊗ V)))
brtxpsd2.4	⊢ 𝐴𝐶𝐵
brtxpsd3.5	⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ 𝑥𝑆𝐴)

Assertion

Ref	Expression
brtxpsd3	⊢ (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐵 = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem brtxpsd3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brtxpsd3.5	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ 𝑥𝑆𝐴)
2	1	bibi2i 337	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ 𝑋) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑆𝐴))
3	2	albii 1817	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ 𝑋) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑆𝐴))
4		dfcleq 2733	. 2 ⊢ (𝐵 = 𝑋 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ 𝑋))
5		brtxpsd2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
6		brtxpsd2.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
7		brtxpsd2.3	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝐶 ∖ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑆 ⊗ V)))
8		brtxpsd2.4	. . 3 ⊢ 𝐴𝐶𝐵
9	5, 6, 7, 8	brtxpsd2 35859	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑆𝐴))
10	3, 4, 9	3bitr4ri 304	1 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐵 = 𝑋)

Syntax hints:   ↔ wb 206  ∀wal 1535   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973   △ csymdif 4271   class class class wbr 5166   E cep 5598  ran crn 5701   ⊗ ctxp 35794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-symdif 4272  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-eprel 5599  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fo 6579  df-fv 6581  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-txp 35818

This theorem is referenced by:  brbigcup  35862  brsingle  35881  brimage  35890  brcart  35896  brapply  35902  brcup  35903  brcap  35904