Theorem brtxpsd3 36064

Description: A third common abbreviation for quantifier-free definitions. (Contributed by Scott Fenton, 3-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
brtxpsd2.1	⊢ 𝐴 ∈ V
brtxpsd2.2	⊢ 𝐵 ∈ V
brtxpsd2.3	⊢ 𝑅 = (𝐶 ∖ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑆 ⊗ V)))
brtxpsd2.4	⊢ 𝐴𝐶𝐵
brtxpsd3.5	⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ 𝑥𝑆𝐴)

Assertion

Ref	Expression
brtxpsd3	⊢ (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐵 = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem brtxpsd3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brtxpsd3.5	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ 𝑥𝑆𝐴)
2	1	bibi2i 337	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ 𝑋) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑆𝐴))
3	2	albii 1821	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ 𝑋) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑆𝐴))
4		dfcleq 2728	. 2 ⊢ (𝐵 = 𝑋 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ 𝑋))
5		brtxpsd2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
6		brtxpsd2.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
7		brtxpsd2.3	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝐶 ∖ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑆 ⊗ V)))
8		brtxpsd2.4	. . 3 ⊢ 𝐴𝐶𝐵
9	5, 6, 7, 8	brtxpsd2 36063	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑆𝐴))
10	3, 4, 9	3bitr4ri 304	1 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐵 = 𝑋)

Syntax hints:   ↔ wb 206  ∀wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3427   ∖ cdif 3882   △ csymdif 4182   class class class wbr 5074   E cep 5519  ran crn 5621   ⊗ ctxp 35998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pr 5364  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rab 3388  df-v 3429  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-symdif 4183  df-nul 4264  df-if 4457  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-eprel 5520  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-fo 6493  df-fv 6495  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-txp 36022

This theorem is referenced by:  brbigcup  36066  brsingle  36085  brimage  36094  brcart  36100  brapply  36106  brcup  36107  brcap  36108