Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  brtxpsd3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brtxpsd3 34412
Description: A third common abbreviation for quantifier-free definitions. (Contributed by Scott Fenton, 3-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
brtxpsd2.1 𝐴 ∈ V
brtxpsd2.2 𝐵 ∈ V
brtxpsd2.3 𝑅 = (𝐶 ∖ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑆 ⊗ V)))
brtxpsd2.4 𝐴𝐶𝐵
brtxpsd3.5 (𝑥𝑋𝑥𝑆𝐴)
Assertion
Ref Expression
brtxpsd3 (𝐴𝑅𝐵𝐵 = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem brtxpsd3
StepHypRef Expression
1 brtxpsd3.5 . . . 4 (𝑥𝑋𝑥𝑆𝐴)
21bibi2i 337 . . 3 ((𝑥𝐵𝑥𝑋) ↔ (𝑥𝐵𝑥𝑆𝐴))
32albii 1821 . 2 (∀𝑥(𝑥𝐵𝑥𝑋) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐵𝑥𝑆𝐴))
4 dfcleq 2730 . 2 (𝐵 = 𝑋 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐵𝑥𝑋))
5 brtxpsd2.1 . . 3 𝐴 ∈ V
6 brtxpsd2.2 . . 3 𝐵 ∈ V
7 brtxpsd2.3 . . 3 𝑅 = (𝐶 ∖ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑆 ⊗ V)))
8 brtxpsd2.4 . . 3 𝐴𝐶𝐵
95, 6, 7, 8brtxpsd2 34411 . 2 (𝐴𝑅𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐵𝑥𝑆𝐴))
103, 4, 93bitr4ri 303 1 (𝐴𝑅𝐵𝐵 = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wal 1539   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3443  cdif 3905  csymdif 4199   class class class wbr 5103   E cep 5534  ran crn 5632  ctxp 34346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382  ax-un 7664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-symdif 4200  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-eprel 5535  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fo 6499  df-fv 6501  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-txp 34370
This theorem is referenced by:  brbigcup  34414  brsingle  34433  brimage  34442  brcart  34448  brapply  34454  brcup  34455  brcap  34456
  Copyright terms: Public domain W3C validator