Theorem brtxpsd3 36067

Description: A third common abbreviation for quantifier-free definitions. (Contributed by Scott Fenton, 3-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
brtxpsd2.1	⊢ 𝐴 ∈ V
brtxpsd2.2	⊢ 𝐵 ∈ V
brtxpsd2.3	⊢ 𝑅 = (𝐶 ∖ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑆 ⊗ V)))
brtxpsd2.4	⊢ 𝐴𝐶𝐵
brtxpsd3.5	⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ 𝑥𝑆𝐴)

Assertion

Ref	Expression
brtxpsd3	⊢ (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐵 = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem brtxpsd3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brtxpsd3.5	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ 𝑥𝑆𝐴)
2	1	bibi2i 337	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ 𝑋) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑆𝐴))
3	2	albii 1821	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ 𝑋) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑆𝐴))
4		dfcleq 2728	. 2 ⊢ (𝐵 = 𝑋 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ 𝑋))
5		brtxpsd2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
6		brtxpsd2.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
7		brtxpsd2.3	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝐶 ∖ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑆 ⊗ V)))
8		brtxpsd2.4	. . 3 ⊢ 𝐴𝐶𝐵
9	5, 6, 7, 8	brtxpsd2 36066	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑆𝐴))
10	3, 4, 9	3bitr4ri 304	1 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐵 = 𝑋)

Syntax hints:   ↔ wb 206  ∀wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3439   ∖ cdif 3897   △ csymdif 4203   class class class wbr 5097   E cep 5522  ran crn 5624   ⊗ ctxp 36001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pr 5376  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3399  df-v 3441  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-symdif 4204  df-nul 4285  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-eprel 5523  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-fo 6497  df-fv 6499  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-txp 36025

This theorem is referenced by:  brbigcup  36069  brsingle  36088  brimage  36097  brcart  36103  brapply  36109  brcup  36110  brcap  36111