Theorem brtxpsd3 33470

Description: A third common abbreviation for quantifier-free definitions. (Contributed by Scott Fenton, 3-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
brtxpsd2.1	⊢ 𝐴 ∈ V
brtxpsd2.2	⊢ 𝐵 ∈ V
brtxpsd2.3	⊢ 𝑅 = (𝐶 ∖ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑆 ⊗ V)))
brtxpsd2.4	⊢ 𝐴𝐶𝐵
brtxpsd3.5	⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ 𝑥𝑆𝐴)

Assertion

Ref	Expression
brtxpsd3	⊢ (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐵 = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem brtxpsd3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brtxpsd3.5	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ 𝑥𝑆𝐴)
2	1	bibi2i 341	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ 𝑋) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑆𝐴))
3	2	albii 1821	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ 𝑋) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑆𝐴))
4		dfcleq 2792	. 2 ⊢ (𝐵 = 𝑋 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ 𝑋))
5		brtxpsd2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
6		brtxpsd2.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
7		brtxpsd2.3	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝐶 ∖ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑆 ⊗ V)))
8		brtxpsd2.4	. . 3 ⊢ 𝐴𝐶𝐵
9	5, 6, 7, 8	brtxpsd2 33469	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑆𝐴))
10	3, 4, 9	3bitr4ri 307	1 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐵 = 𝑋)

Syntax hints:   ↔ wb 209  ∀wal 1536   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878   △ csymdif 4168   class class class wbr 5030   E cep 5429  ran crn 5520   ⊗ ctxp 33404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-symdif 4169  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-eprel 5430  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fo 6330  df-fv 6332  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-txp 33428

This theorem is referenced by:  brbigcup  33472  brsingle  33491  brimage  33500  brcart  33506  brapply  33512  brcup  33513  brcap  33514