Theorem brtxpsd3 36474

Description: A third common abbreviation for quantifier-free definitions. (Contributed by Scott Fenton, 3-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
brtxpsd2.1	⊢ 𝐴 ∈ V
brtxpsd2.2	⊢ 𝐵 ∈ V
brtxpsd2.3	⊢ 𝑅 = (𝐶 ∖ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑆 ⊗ V)))
brtxpsd2.4	⊢ 𝐴𝐶𝐵
brtxpsd3.5	⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ 𝑥𝑆𝐴)

Assertion

Ref	Expression
brtxpsd3	⊢ (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐵 = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem brtxpsd3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brtxpsd3.5	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ 𝑥𝑆𝐴)
2	1	bibi2i 340	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ 𝑋) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑆𝐴))
3	2	albii 1852	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ 𝑋) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑆𝐴))
4		dfcleq 2753	. 2 ⊢ (𝐵 = 𝑋 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ 𝑋))
5		brtxpsd2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
6		brtxpsd2.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
7		brtxpsd2.3	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝐶 ∖ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑆 ⊗ V)))
8		brtxpsd2.4	. . 3 ⊢ 𝐴𝐶𝐵
9	5, 6, 7, 8	brtxpsd2 36473	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑆𝐴))
10	3, 4, 9	3bitr4ri 307	1 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐵 = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∖ cdif 3896   △ csymdif 4198   class class class wbr 5103   E cep 5554  ran crn 5656   ⊗ ctxp 36408

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-symdif 4199  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-eprel 5555  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fo 6539  df-fv 6541  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-txp 36432

This theorem is used by:  brbigcup  36476  brsingle  36495  brimage  36504  brcart  36510  brapply  36516  brcup  36517  brcap  36518