Theorem brtxpsd 36458

Description: Expansion of a common form used in quantifier-free definitions. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
brtxpsd.1	⊢ 𝐴 ∈ V
brtxpsd.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
brtxpsd	⊢ (¬ 𝐴ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑅𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅

Proof of Theorem brtxpsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 5108	. . 3 ⊢ (𝐴ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V)))
2		opex 5443	. . . . 5 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
3	2	elrn 5881	. . . 4 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V)) ↔ ∃𝑥 𝑥((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))⟨𝐴, 𝐵⟩)
4		brsymdif 5168	. . . . . 6 ⊢ (𝑥((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ¬ (𝑥(V ⊗ E )⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑥(𝑅 ⊗ V)⟨𝐴, 𝐵⟩))
5		brv 5452	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥V𝐴
6		vex 3457	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
7		brtxpsd.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ V
8		brtxpsd.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ V
9	6, 7, 8	brtxp 36444	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥(V ⊗ E )⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝑥V𝐴 ∧ 𝑥 E 𝐵))
10	5, 9	mpbiran 722	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(V ⊗ E )⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑥 E 𝐵)
11	8	epeli 5561	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 E 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)
12	10, 11	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(V ⊗ E )⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)
13		brv 5452	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥V𝐵
14	6, 7, 8	brtxp 36444	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(𝑅 ⊗ V)⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝑥𝑅𝐴 ∧ 𝑥V𝐵))
15	13, 14	mpbiran2 723	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(𝑅 ⊗ V)⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑥𝑅𝐴)
16	12, 15	bibi12i 342	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥(V ⊗ E )⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑥(𝑅 ⊗ V)⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑅𝐴))
17	4, 16	xchbinx 337	. . . . 5 ⊢ (𝑥((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑅𝐴))
18	17	exbii 1881	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 𝑥((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ∃𝑥 ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑅𝐴))
19	3, 18	bitri 278	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V)) ↔ ∃𝑥 ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑅𝐴))
20		exnal 1860	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑅𝐴) ↔ ¬ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑅𝐴))
21	1, 19, 20	3bitrri 301	. 2 ⊢ (¬ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑅𝐴) ↔ 𝐴ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))𝐵)
22	21	con1bii 359	1 ⊢ (¬ 𝐴ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑅𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209  ∀wal 1568  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   △ csymdif 4201  ⟨cop 4593   class class class wbr 5107   E cep 5558  ran crn 5660   ⊗ ctxp 36394

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-symdif 4202  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-eprel 5559  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fo 6543  df-fv 6545  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-txp 36418

This theorem is used by:  brtxpsd2  36459