Theorem brtxpsd 36065

Description: Expansion of a common form used in quantifier-free definitions. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
brtxpsd.1	⊢ 𝐴 ∈ V
brtxpsd.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
brtxpsd	⊢ (¬ 𝐴ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑅𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅

Proof of Theorem brtxpsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 5098	. . 3 ⊢ (𝐴ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V)))
2		opex 5411	. . . . 5 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
3	2	elrn 5841	. . . 4 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V)) ↔ ∃𝑥 𝑥((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))⟨𝐴, 𝐵⟩)
4		brsymdif 5156	. . . . . 6 ⊢ (𝑥((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ¬ (𝑥(V ⊗ E )⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑥(𝑅 ⊗ V)⟨𝐴, 𝐵⟩))
5		brv 5419	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥V𝐴
6		vex 3443	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
7		brtxpsd.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ V
8		brtxpsd.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ V
9	6, 7, 8	brtxp 36051	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥(V ⊗ E )⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝑥V𝐴 ∧ 𝑥 E 𝐵))
10	5, 9	mpbiran 710	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(V ⊗ E )⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑥 E 𝐵)
11	8	epeli 5525	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 E 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)
12	10, 11	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(V ⊗ E )⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)
13		brv 5419	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥V𝐵
14	6, 7, 8	brtxp 36051	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(𝑅 ⊗ V)⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝑥𝑅𝐴 ∧ 𝑥V𝐵))
15	13, 14	mpbiran2 711	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(𝑅 ⊗ V)⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑥𝑅𝐴)
16	12, 15	bibi12i 339	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥(V ⊗ E )⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑥(𝑅 ⊗ V)⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑅𝐴))
17	4, 16	xchbinx 334	. . . . 5 ⊢ (𝑥((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑅𝐴))
18	17	exbii 1850	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 𝑥((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ∃𝑥 ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑅𝐴))
19	3, 18	bitri 275	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V)) ↔ ∃𝑥 ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑅𝐴))
20		exnal 1829	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑅𝐴) ↔ ¬ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑅𝐴))
21	1, 19, 20	3bitrri 298	. 2 ⊢ (¬ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑅𝐴) ↔ 𝐴ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))𝐵)
22	21	con1bii 356	1 ⊢ (¬ 𝐴ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑅𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206  ∀wal 1540  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  Vcvv 3439   △ csymdif 4203  ⟨cop 4585   class class class wbr 5097   E cep 5522  ran crn 5624   ⊗ ctxp 36001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pr 5376  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3399  df-v 3441  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-symdif 4204  df-nul 4285  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-eprel 5523  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-fo 6497  df-fv 6499  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-txp 36025

This theorem is referenced by:  brtxpsd2  36066