Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  brtxpsd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brtxpsd 35876
Description: Expansion of a common form used in quantifier-free definitions. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
brtxpsd.1 𝐴 ∈ V
brtxpsd.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
brtxpsd 𝐴ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐵𝑥𝑅𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅

Proof of Theorem brtxpsd
StepHypRef Expression
1 df-br 5149 . . 3 (𝐴ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V)))
2 opex 5475 . . . . 5 𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
32elrn 5907 . . . 4 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V)) ↔ ∃𝑥 𝑥((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))⟨𝐴, 𝐵⟩)
4 brsymdif 5207 . . . . . 6 (𝑥((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ¬ (𝑥(V ⊗ E )⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑥(𝑅 ⊗ V)⟨𝐴, 𝐵⟩))
5 brv 5483 . . . . . . . . 9 𝑥V𝐴
6 vex 3482 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
7 brtxpsd.1 . . . . . . . . . 10 𝐴 ∈ V
8 brtxpsd.2 . . . . . . . . . 10 𝐵 ∈ V
96, 7, 8brtxp 35862 . . . . . . . . 9 (𝑥(V ⊗ E )⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝑥V𝐴𝑥 E 𝐵))
105, 9mpbiran 709 . . . . . . . 8 (𝑥(V ⊗ E )⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑥 E 𝐵)
118epeli 5591 . . . . . . . 8 (𝑥 E 𝐵𝑥𝐵)
1210, 11bitri 275 . . . . . . 7 (𝑥(V ⊗ E )⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑥𝐵)
13 brv 5483 . . . . . . . 8 𝑥V𝐵
146, 7, 8brtxp 35862 . . . . . . . 8 (𝑥(𝑅 ⊗ V)⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝑥𝑅𝐴𝑥V𝐵))
1513, 14mpbiran2 710 . . . . . . 7 (𝑥(𝑅 ⊗ V)⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑥𝑅𝐴)
1612, 15bibi12i 339 . . . . . 6 ((𝑥(V ⊗ E )⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑥(𝑅 ⊗ V)⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ (𝑥𝐵𝑥𝑅𝐴))
174, 16xchbinx 334 . . . . 5 (𝑥((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ¬ (𝑥𝐵𝑥𝑅𝐴))
1817exbii 1845 . . . 4 (∃𝑥 𝑥((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ∃𝑥 ¬ (𝑥𝐵𝑥𝑅𝐴))
193, 18bitri 275 . . 3 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V)) ↔ ∃𝑥 ¬ (𝑥𝐵𝑥𝑅𝐴))
20 exnal 1824 . . 3 (∃𝑥 ¬ (𝑥𝐵𝑥𝑅𝐴) ↔ ¬ ∀𝑥(𝑥𝐵𝑥𝑅𝐴))
211, 19, 203bitrri 298 . 2 (¬ ∀𝑥(𝑥𝐵𝑥𝑅𝐴) ↔ 𝐴ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))𝐵)
2221con1bii 356 1 𝐴ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐵𝑥𝑅𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206  wal 1535  wex 1776  wcel 2106  Vcvv 3478  csymdif 4258  cop 4637   class class class wbr 5148   E cep 5588  ran crn 5690  ctxp 35812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-symdif 4259  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-eprel 5589  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fo 6569  df-fv 6571  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-txp 35836
This theorem is referenced by:  brtxpsd2  35877
  Copyright terms: Public domain W3C validator