Theorem brtxpsd 34866

Description: Expansion of a common form used in quantifier-free definitions. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
brtxpsd.1	⊢ 𝐴 ∈ V
brtxpsd.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
brtxpsd	⊢ (¬ 𝐴ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑅𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅

Proof of Theorem brtxpsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 5150	. . 3 ⊢ (𝐴ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V)))
2		opex 5465	. . . . 5 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
3	2	elrn 5894	. . . 4 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V)) ↔ ∃𝑥 𝑥((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))⟨𝐴, 𝐵⟩)
4		brsymdif 5208	. . . . . 6 ⊢ (𝑥((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ¬ (𝑥(V ⊗ E )⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑥(𝑅 ⊗ V)⟨𝐴, 𝐵⟩))
5		brv 5473	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥V𝐴
6		vex 3479	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
7		brtxpsd.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ V
8		brtxpsd.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ V
9	6, 7, 8	brtxp 34852	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥(V ⊗ E )⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝑥V𝐴 ∧ 𝑥 E 𝐵))
10	5, 9	mpbiran 708	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(V ⊗ E )⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑥 E 𝐵)
11	8	epeli 5583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 E 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)
12	10, 11	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(V ⊗ E )⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)
13		brv 5473	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥V𝐵
14	6, 7, 8	brtxp 34852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(𝑅 ⊗ V)⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝑥𝑅𝐴 ∧ 𝑥V𝐵))
15	13, 14	mpbiran2 709	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(𝑅 ⊗ V)⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑥𝑅𝐴)
16	12, 15	bibi12i 340	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥(V ⊗ E )⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑥(𝑅 ⊗ V)⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑅𝐴))
17	4, 16	xchbinx 334	. . . . 5 ⊢ (𝑥((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑅𝐴))
18	17	exbii 1851	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 𝑥((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ∃𝑥 ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑅𝐴))
19	3, 18	bitri 275	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V)) ↔ ∃𝑥 ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑅𝐴))
20		exnal 1830	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑅𝐴) ↔ ¬ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑅𝐴))
21	1, 19, 20	3bitrri 298	. 2 ⊢ (¬ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑅𝐴) ↔ 𝐴ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))𝐵)
22	21	con1bii 357	1 ⊢ (¬ 𝐴ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥𝑅𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205  ∀wal 1540  ∃wex 1782   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   △ csymdif 4242  ⟨cop 4635   class class class wbr 5149   E cep 5580  ran crn 5678   ⊗ ctxp 34802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-symdif 4243  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-eprel 5581  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fo 6550  df-fv 6552  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-txp 34826

This theorem is referenced by:  brtxpsd2  34867