Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  brtxpsd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brtxpsd 32882
Description: Expansion of a common form used in quantifier-free definitions. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
brtxpsd.1 𝐴 ∈ V
brtxpsd.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
brtxpsd 𝐴ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐵𝑥𝑅𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅

Proof of Theorem brtxpsd
StepHypRef Expression
1 df-br 4930 . . 3 (𝐴ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V)))
2 opex 5213 . . . . 5 𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
32elrn 5665 . . . 4 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V)) ↔ ∃𝑥 𝑥((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))⟨𝐴, 𝐵⟩)
4 brsymdif 4988 . . . . . 6 (𝑥((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ¬ (𝑥(V ⊗ E )⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑥(𝑅 ⊗ V)⟨𝐴, 𝐵⟩))
5 brv 5221 . . . . . . . . 9 𝑥V𝐴
6 vex 3418 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
7 brtxpsd.1 . . . . . . . . . 10 𝐴 ∈ V
8 brtxpsd.2 . . . . . . . . . 10 𝐵 ∈ V
96, 7, 8brtxp 32868 . . . . . . . . 9 (𝑥(V ⊗ E )⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝑥V𝐴𝑥 E 𝐵))
105, 9mpbiran 696 . . . . . . . 8 (𝑥(V ⊗ E )⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑥 E 𝐵)
118epeli 5320 . . . . . . . 8 (𝑥 E 𝐵𝑥𝐵)
1210, 11bitri 267 . . . . . . 7 (𝑥(V ⊗ E )⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑥𝐵)
13 brv 5221 . . . . . . . 8 𝑥V𝐵
146, 7, 8brtxp 32868 . . . . . . . 8 (𝑥(𝑅 ⊗ V)⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝑥𝑅𝐴𝑥V𝐵))
1513, 14mpbiran2 697 . . . . . . 7 (𝑥(𝑅 ⊗ V)⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑥𝑅𝐴)
1612, 15bibi12i 332 . . . . . 6 ((𝑥(V ⊗ E )⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑥(𝑅 ⊗ V)⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ (𝑥𝐵𝑥𝑅𝐴))
174, 16xchbinx 326 . . . . 5 (𝑥((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ¬ (𝑥𝐵𝑥𝑅𝐴))
1817exbii 1810 . . . 4 (∃𝑥 𝑥((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ∃𝑥 ¬ (𝑥𝐵𝑥𝑅𝐴))
193, 18bitri 267 . . 3 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V)) ↔ ∃𝑥 ¬ (𝑥𝐵𝑥𝑅𝐴))
20 exnal 1789 . . 3 (∃𝑥 ¬ (𝑥𝐵𝑥𝑅𝐴) ↔ ¬ ∀𝑥(𝑥𝐵𝑥𝑅𝐴))
211, 19, 203bitrri 290 . 2 (¬ ∀𝑥(𝑥𝐵𝑥𝑅𝐴) ↔ 𝐴ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))𝐵)
2221con1bii 349 1 𝐴ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐵𝑥𝑅𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 198  wal 1505  wex 1742  wcel 2050  Vcvv 3415  csymdif 4105  cop 4447   class class class wbr 4929   E cep 5316  ran crn 5408  ctxp 32818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-ral 3093  df-rex 3094  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-symdif 4106  df-nul 4179  df-if 4351  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-eprel 5317  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-fo 6194  df-fv 6196  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-txp 32842
This theorem is referenced by:  brtxpsd2  32883
  Copyright terms: Public domain W3C validator