MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfiluexsm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cfiluexsm 23786
Description: For a Cauchy filter base and any entourage 𝑉, there is an element of the filter small in 𝑉. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
cfiluexsm ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑉)
Distinct variable groups:   𝐹,π‘Ž   𝑉,π‘Ž
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(π‘Ž)   𝑋(π‘Ž)
Proof of Theorem cfiluexsm
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscfilu 23784 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ↔ (𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)))
21simplbda 500 . . 3 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)
323adant3 1132 . 2 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)
4 sseq2 4007 . . . . 5 (𝑣 = 𝑉 β†’ ((π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣 ↔ (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑉))
54rexbidv 3178 . . . 4 (𝑣 = 𝑉 β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣 ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑉))
65rspcv 3608 . . 3 (𝑉 ∈ π‘ˆ β†’ (βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑉))
763ad2ant3 1135 . 2 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑉))
83, 7mpd 15 1 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3947   Γ— cxp 5673  β€˜cfv 6540  fBascfbas 20924  UnifOncust 23695  CauFiluccfilu 23782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fv 6548  df-ust 23696  df-cfilu 23783
This theorem is referenced by:  fmucnd  23788  cfilucfil  24059
  Copyright terms: Public domain W3C validator