MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fmucnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmucnd 23779
Description: The image of a Cauchy filter base by an uniformly continuous function is a Cauchy filter base. Deduction form. Proposition 3 of [BourbakiTop1] p. II.13. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmucnd.1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
fmucnd.2 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (UnifOnβ€˜π‘Œ))
fmucnd.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (π‘ˆ Cnu𝑉))
fmucnd.4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ))
fmucnd.5 𝐷 = ran (π‘Ž ∈ 𝐢 ↦ (𝐹 β€œ π‘Ž))
Assertion
Ref Expression
fmucnd (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (CauFiluβ€˜π‘‰))
Distinct variable groups:   𝐢,π‘Ž   𝐷,π‘Ž   𝐹,π‘Ž   𝑉,π‘Ž   𝑋,π‘Ž   π‘Œ,π‘Ž   πœ‘,π‘Ž
Allowed substitution hint:   π‘ˆ(π‘Ž)

Proof of Theorem fmucnd
Dummy variables 𝑐 𝑏 𝑣 π‘Ÿ 𝑠 𝑑 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmucnd.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
2 fmucnd.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ))
3 cfilufbas 23776 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ)) β†’ 𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
41, 2, 3syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
5 fmucnd.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (UnifOnβ€˜π‘Œ))
6 fmucnd.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (π‘ˆ Cnu𝑉))
7 isucn 23765 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ (UnifOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (π‘ˆ Cnu𝑉) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑣(πΉβ€˜π‘¦)))))
87simprbda 500 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ (UnifOnβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹 ∈ (π‘ˆ Cnu𝑉)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
91, 5, 6, 8syl21anc 837 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
105elfvexd 6927 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ V)
11 fmucnd.5 . . . 4 𝐷 = ran (π‘Ž ∈ 𝐢 ↦ (𝐹 β€œ π‘Ž))
1211fbasrn 23370 . . 3 ((𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Œ ∈ V) β†’ 𝐷 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
134, 9, 10, 12syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
14 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ π‘Ž ∈ 𝐢) ∧ (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩) β€œ 𝑣)) β†’ π‘Ž ∈ 𝐢)
15 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝐹 β€œ π‘Ž) = (𝐹 β€œ π‘Ž)
16 imaeq2 6053 . . . . . . . . 9 (𝑐 = π‘Ž β†’ (𝐹 β€œ 𝑐) = (𝐹 β€œ π‘Ž))
1716rspceeqv 3632 . . . . . . . 8 ((π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ (𝐹 β€œ π‘Ž) = (𝐹 β€œ π‘Ž)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐢 (𝐹 β€œ π‘Ž) = (𝐹 β€œ 𝑐))
1814, 15, 17sylancl 587 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ π‘Ž ∈ 𝐢) ∧ (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩) β€œ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐢 (𝐹 β€œ π‘Ž) = (𝐹 β€œ 𝑐))
19 imaexg 7901 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (π‘ˆ Cnu𝑉) β†’ (𝐹 β€œ π‘Ž) ∈ V)
20 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ 𝐢 ↦ (𝐹 β€œ 𝑐)) = (𝑐 ∈ 𝐢 ↦ (𝐹 β€œ 𝑐))
2120elrnmpt 5953 . . . . . . . . 9 ((𝐹 β€œ π‘Ž) ∈ V β†’ ((𝐹 β€œ π‘Ž) ∈ ran (𝑐 ∈ 𝐢 ↦ (𝐹 β€œ 𝑐)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐢 (𝐹 β€œ π‘Ž) = (𝐹 β€œ 𝑐)))
226, 19, 213syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β€œ π‘Ž) ∈ ran (𝑐 ∈ 𝐢 ↦ (𝐹 β€œ 𝑐)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐢 (𝐹 β€œ π‘Ž) = (𝐹 β€œ 𝑐)))
2322ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ π‘Ž ∈ 𝐢) ∧ (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩) β€œ 𝑣)) β†’ ((𝐹 β€œ π‘Ž) ∈ ran (𝑐 ∈ 𝐢 ↦ (𝐹 β€œ 𝑐)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐢 (𝐹 β€œ π‘Ž) = (𝐹 β€œ 𝑐)))
2418, 23mpbird 257 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ π‘Ž ∈ 𝐢) ∧ (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩) β€œ 𝑣)) β†’ (𝐹 β€œ π‘Ž) ∈ ran (𝑐 ∈ 𝐢 ↦ (𝐹 β€œ 𝑐)))
25 imaeq2 6053 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑐 β†’ (𝐹 β€œ π‘Ž) = (𝐹 β€œ 𝑐))
2625cbvmptv 5260 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ 𝐢 ↦ (𝐹 β€œ π‘Ž)) = (𝑐 ∈ 𝐢 ↦ (𝐹 β€œ 𝑐))
2726rneqi 5934 . . . . . . 7 ran (π‘Ž ∈ 𝐢 ↦ (𝐹 β€œ π‘Ž)) = ran (𝑐 ∈ 𝐢 ↦ (𝐹 β€œ 𝑐))
2811, 27eqtri 2761 . . . . . 6 𝐷 = ran (𝑐 ∈ 𝐢 ↦ (𝐹 β€œ 𝑐))
2924, 28eleqtrrdi 2845 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ π‘Ž ∈ 𝐢) ∧ (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩) β€œ 𝑣)) β†’ (𝐹 β€œ π‘Ž) ∈ 𝐷)
309ffnd 6715 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
3130ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ π‘Ž ∈ 𝐢) ∧ (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩) β€œ 𝑣)) β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
32 fbelss 23319 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž ∈ 𝐢) β†’ π‘Ž βŠ† 𝑋)
334, 32sylan 581 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐢) β†’ π‘Ž βŠ† 𝑋)
3433ad4ant13 750 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ π‘Ž ∈ 𝐢) ∧ (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩) β€œ 𝑣)) β†’ π‘Ž βŠ† 𝑋)
35 fmucndlem 23778 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ π‘Ž βŠ† 𝑋) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩) β€œ (π‘Ž Γ— π‘Ž)) = ((𝐹 β€œ π‘Ž) Γ— (𝐹 β€œ π‘Ž)))
3631, 34, 35syl2anc 585 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ π‘Ž ∈ 𝐢) ∧ (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩) β€œ 𝑣)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩) β€œ (π‘Ž Γ— π‘Ž)) = ((𝐹 β€œ π‘Ž) Γ— (𝐹 β€œ π‘Ž)))
37 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩)
3837mpofun 7527 . . . . . . . 8 Fun (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩)
39 funimass2 6628 . . . . . . . 8 ((Fun (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩) ∧ (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩) β€œ 𝑣)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩) β€œ (π‘Ž Γ— π‘Ž)) βŠ† 𝑣)
4038, 39mpan 689 . . . . . . 7 ((π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩) β€œ 𝑣) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩) β€œ (π‘Ž Γ— π‘Ž)) βŠ† 𝑣)
4140adantl 483 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ π‘Ž ∈ 𝐢) ∧ (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩) β€œ 𝑣)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩) β€œ (π‘Ž Γ— π‘Ž)) βŠ† 𝑣)
4236, 41eqsstrrd 4020 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ π‘Ž ∈ 𝐢) ∧ (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩) β€œ 𝑣)) β†’ ((𝐹 β€œ π‘Ž) Γ— (𝐹 β€œ π‘Ž)) βŠ† 𝑣)
43 id 22 . . . . . . . 8 (𝑏 = (𝐹 β€œ π‘Ž) β†’ 𝑏 = (𝐹 β€œ π‘Ž))
4443sqxpeqd 5707 . . . . . . 7 (𝑏 = (𝐹 β€œ π‘Ž) β†’ (𝑏 Γ— 𝑏) = ((𝐹 β€œ π‘Ž) Γ— (𝐹 β€œ π‘Ž)))
4544sseq1d 4012 . . . . . 6 (𝑏 = (𝐹 β€œ π‘Ž) β†’ ((𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑣 ↔ ((𝐹 β€œ π‘Ž) Γ— (𝐹 β€œ π‘Ž)) βŠ† 𝑣))
4645rspcev 3612 . . . . 5 (((𝐹 β€œ π‘Ž) ∈ 𝐷 ∧ ((𝐹 β€œ π‘Ž) Γ— (𝐹 β€œ π‘Ž)) βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐷 (𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑣)
4729, 42, 46syl2anc 585 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ π‘Ž ∈ 𝐢) ∧ (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩) β€œ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐷 (𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑣)
481adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
492adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ))
505adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑉 ∈ (UnifOnβ€˜π‘Œ))
516adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝐹 ∈ (π‘ˆ Cnu𝑉))
52 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
53 nfcv 2904 . . . . . . 7 β„²π‘ βŸ¨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩
54 nfcv 2904 . . . . . . 7 β„²π‘‘βŸ¨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩
55 nfcv 2904 . . . . . . 7 β„²π‘₯⟨(πΉβ€˜π‘ ), (πΉβ€˜π‘‘)⟩
56 nfcv 2904 . . . . . . 7 β„²π‘¦βŸ¨(πΉβ€˜π‘ ), (πΉβ€˜π‘‘)⟩
57 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 𝑑) β†’ π‘₯ = 𝑠)
5857fveq2d 6892 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 𝑑) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘ ))
59 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 𝑑) β†’ 𝑦 = 𝑑)
6059fveq2d 6892 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 𝑑) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘‘))
6158, 60opeq12d 4880 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 𝑑) β†’ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩ = ⟨(πΉβ€˜π‘ ), (πΉβ€˜π‘‘)⟩)
6253, 54, 55, 56, 61cbvmpo 7498 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩) = (𝑠 ∈ 𝑋, 𝑑 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘ ), (πΉβ€˜π‘‘)⟩)
6348, 50, 51, 52, 62ucnprima 23769 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩) β€œ 𝑣) ∈ π‘ˆ)
64 cfiluexsm 23777 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ∧ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩) β€œ 𝑣) ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐢 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩) β€œ 𝑣))
6548, 49, 63, 64syl3anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐢 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩) β€œ 𝑣))
6647, 65r19.29a 3163 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐷 (𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑣)
6766ralrimiva 3147 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝐷 (𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑣)
68 iscfilu 23775 . . 3 (𝑉 ∈ (UnifOnβ€˜π‘Œ) β†’ (𝐷 ∈ (CauFiluβ€˜π‘‰) ↔ (𝐷 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝐷 (𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑣)))
695, 68syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ (CauFiluβ€˜π‘‰) ↔ (𝐷 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝐷 (𝑏 Γ— 𝑏) βŠ† 𝑣)))
7013, 67, 69mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (CauFiluβ€˜π‘‰))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βŠ† wss 3947  βŸ¨cop 4633   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674  ran crn 5676   β€œ cima 5678  Fun wfun 6534   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7404   ∈ cmpo 7406  fBascfbas 20917  UnifOncust 23686   Cnucucn 23762  CauFiluccfilu 23773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-map 8818  df-fbas 20926  df-ust 23687  df-ucn 23763  df-cfilu 23774
This theorem is referenced by:  ucnextcn  23791
  Copyright terms: Public domain W3C validator