MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscfilu Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem iscfilu 24013
Description: The predicate "𝐹 is a Cauchy filter base on uniform space π‘ˆ". (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
iscfilu (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ↔ (𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)))
Distinct variable groups:   𝑣,π‘Ž,𝐹   𝑣,π‘ˆ
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(π‘Ž)   𝑋(𝑣,π‘Ž)
Proof of Theorem iscfilu
Dummy variables 𝑓 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvunirn 6922 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ π‘ˆ ∈ βˆͺ ran UnifOn)
2 unieq 4918 . . . . . . . . 9 (𝑒 = π‘ˆ β†’ βˆͺ 𝑒 = βˆͺ π‘ˆ)
32dmeqd 5904 . . . . . . . 8 (𝑒 = π‘ˆ β†’ dom βˆͺ 𝑒 = dom βˆͺ π‘ˆ)
43fveq2d 6894 . . . . . . 7 (𝑒 = π‘ˆ β†’ (fBasβ€˜dom βˆͺ 𝑒) = (fBasβ€˜dom βˆͺ π‘ˆ))
5 raleq 3320 . . . . . . 7 (𝑒 = π‘ˆ β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑓 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣 ↔ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑓 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣))
64, 5rabeqbidv 3447 . . . . . 6 (𝑒 = π‘ˆ β†’ {𝑓 ∈ (fBasβ€˜dom βˆͺ 𝑒) ∣ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑓 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣} = {𝑓 ∈ (fBasβ€˜dom βˆͺ π‘ˆ) ∣ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑓 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣})
7 df-cfilu 24012 . . . . . 6 CauFilu = (𝑒 ∈ βˆͺ ran UnifOn ↦ {𝑓 ∈ (fBasβ€˜dom βˆͺ 𝑒) ∣ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑓 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣})
8 fvex 6903 . . . . . . 7 (fBasβ€˜dom βˆͺ π‘ˆ) ∈ V
98rabex 5331 . . . . . 6 {𝑓 ∈ (fBasβ€˜dom βˆͺ π‘ˆ) ∣ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑓 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣} ∈ V
106, 7, 9fvmpt 6997 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ βˆͺ ran UnifOn β†’ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) = {𝑓 ∈ (fBasβ€˜dom βˆͺ π‘ˆ) ∣ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑓 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣})
111, 10syl 17 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) = {𝑓 ∈ (fBasβ€˜dom βˆͺ π‘ˆ) ∣ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑓 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣})
1211eleq2d 2817 . . 3 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ↔ 𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (fBasβ€˜dom βˆͺ π‘ˆ) ∣ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑓 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣}))
13 rexeq 3319 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑓 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣 ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣))
1413ralbidv 3175 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑓 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣 ↔ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣))
1514elrab 3682 . . 3 (𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (fBasβ€˜dom βˆͺ π‘ˆ) ∣ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑓 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣} ↔ (𝐹 ∈ (fBasβ€˜dom βˆͺ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣))
1612, 15bitrdi 286 . 2 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ↔ (𝐹 ∈ (fBasβ€˜dom βˆͺ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)))
17 ustbas2 23950 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = dom βˆͺ π‘ˆ)
1817fveq2d 6894 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (fBasβ€˜π‘‹) = (fBasβ€˜dom βˆͺ π‘ˆ))
1918eleq2d 2817 . . 3 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ↔ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜dom βˆͺ π‘ˆ)))
2019anbi1d 628 . 2 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ ((𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣) ↔ (𝐹 ∈ (fBasβ€˜dom βˆͺ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)))
2116, 20bitr4d 281 1 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ↔ (𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐹 (π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  {crab 3430   βŠ† wss 3947  βˆͺ cuni 4907   Γ— cxp 5673  dom cdm 5675  ran crn 5676  β€˜cfv 6542  fBascfbas 21132  UnifOncust 23924  CauFiluccfilu 24011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-ust 23925  df-cfilu 24012
This theorem is referenced by:  cfilufbas  24014  cfiluexsm  24015  fmucnd  24017  cfilufg  24018  trcfilu  24019  cfiluweak  24020  neipcfilu  24021  cfilucfil  24288
  Copyright terms: Public domain W3C validator