MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfilucfil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cfilucfil 24067
Description: Given a metric 𝐷 and a uniform structure generated by that metric, Cauchy filter bases on that uniform structure are exactly the filter bases which contain balls of any pre-chosen size. See iscfil 24781. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1 𝐹 = ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
Assertion
Ref Expression
cfilucfil ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ (𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ↔ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))))
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž   𝑋,π‘Ž   𝐹,π‘Ž,π‘₯   π‘₯,𝐷,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦,π‘Ž   𝑦,𝐷   𝐢,π‘Ž,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem cfilucfil
Dummy variables 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metust.1 . . . . 5 𝐹 = ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
21metust 24066 . . . 4 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
3 cfilufbas 23793 . . . 4 ((((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))) β†’ 𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
42, 3sylan 580 . . 3 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))) β†’ 𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
5 simpllr 774 . . . . . 6 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
6 psmetf 23811 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
7 ffun 6720 . . . . . 6 (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* β†’ Fun 𝐷)
85, 6, 73syl 18 . . . . 5 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Fun 𝐷)
92ad2antrr 724 . . . . . 6 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
10 simplr 767 . . . . . 6 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)))
111metustfbas 24065 . . . . . . . 8 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))
1211ad2antrr 724 . . . . . . 7 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))
13 cnvimass 6080 . . . . . . . 8 (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯)) βŠ† dom 𝐷
14 fdm 6726 . . . . . . . . 9 (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* β†’ dom 𝐷 = (𝑋 Γ— 𝑋))
155, 6, 143syl 18 . . . . . . . 8 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ dom 𝐷 = (𝑋 Γ— 𝑋))
1613, 15sseqtrid 4034 . . . . . . 7 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯)) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
17 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
1817rphalfcld 13027 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ / 2) ∈ ℝ+)
19 eqidd 2733 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)(π‘₯ / 2))) = (◑𝐷 β€œ (0[,)(π‘₯ / 2))))
20 oveq2 7416 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = (π‘₯ / 2) β†’ (0[,)π‘Ž) = (0[,)(π‘₯ / 2)))
2120imaeq2d 6059 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = (π‘₯ / 2) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) = (◑𝐷 β€œ (0[,)(π‘₯ / 2))))
2221rspceeqv 3633 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ / 2) ∈ ℝ+ ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)(π‘₯ / 2))) = (◑𝐷 β€œ (0[,)(π‘₯ / 2)))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)(π‘₯ / 2))) = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
2318, 19, 22syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)(π‘₯ / 2))) = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
241metustel 24058 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ ((◑𝐷 β€œ (0[,)(π‘₯ / 2))) ∈ 𝐹 ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)(π‘₯ / 2))) = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
2524biimpar 478 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)(π‘₯ / 2))) = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)(π‘₯ / 2))) ∈ 𝐹)
265, 23, 25syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)(π‘₯ / 2))) ∈ 𝐹)
27 0xr 11260 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ 0 ∈ ℝ*)
29 rpxr 12982 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
30 0le0 12312 . . . . . . . . . . 11 0 ≀ 0
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ 0)
32 rpre 12981 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3332rehalfcld 12458 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ / 2) ∈ ℝ)
34 rphalflt 13002 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ / 2) < π‘₯)
3533, 32, 34ltled 11361 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ / 2) ≀ π‘₯)
36 icossico 13393 . . . . . . . . . 10 (((0 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) ∧ (0 ≀ 0 ∧ (π‘₯ / 2) ≀ π‘₯)) β†’ (0[,)(π‘₯ / 2)) βŠ† (0[,)π‘₯))
3728, 29, 31, 35, 36syl22anc 837 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (0[,)(π‘₯ / 2)) βŠ† (0[,)π‘₯))
38 imass2 6101 . . . . . . . . 9 ((0[,)(π‘₯ / 2)) βŠ† (0[,)π‘₯) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)(π‘₯ / 2))) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯)))
3917, 37, 383syl 18 . . . . . . . 8 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)(π‘₯ / 2))) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯)))
40 sseq1 4007 . . . . . . . . 9 (𝑀 = (◑𝐷 β€œ (0[,)(π‘₯ / 2))) β†’ (𝑀 βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯)) ↔ (◑𝐷 β€œ (0[,)(π‘₯ / 2))) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯))))
4140rspcev 3612 . . . . . . . 8 (((◑𝐷 β€œ (0[,)(π‘₯ / 2))) ∈ 𝐹 ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)(π‘₯ / 2))) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 𝑀 βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯)))
4226, 39, 41syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 𝑀 βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯)))
43 elfg 23374 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ ((◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯)) ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ↔ ((◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯)) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 𝑀 βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯)))))
4443biimpar 478 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ ((◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯)) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 𝑀 βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯)))) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯)) ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
4512, 16, 42, 44syl12anc 835 . . . . . 6 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯)) ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
46 cfiluexsm 23794 . . . . . 6 ((((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯)) ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯)))
479, 10, 45, 46syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯)))
48 funimass2 6631 . . . . . . 7 ((Fun 𝐷 ∧ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯))) β†’ (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))
4948ex 413 . . . . . 6 (Fun 𝐷 β†’ ((𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯)) β†’ (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)))
5049reximdv 3170 . . . . 5 (Fun 𝐷 β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)))
518, 47, 50sylc 65 . . . 4 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))
5251ralrimiva 3146 . . 3 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))
534, 52jca 512 . 2 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))) β†’ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)))
54 simprl 769 . . 3 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) β†’ 𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
55 oveq2 7416 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = π‘Ž β†’ (0[,)π‘₯) = (0[,)π‘Ž))
5655sseq2d 4014 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = π‘Ž β†’ ((𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯) ↔ (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘Ž)))
5756rexbidv 3178 . . . . . . . 8 (π‘₯ = π‘Ž β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘Ž)))
58 simp-4r 782 . . . . . . . . 9 ((((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣) β†’ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)))
5958simprd 496 . . . . . . . 8 ((((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))
60 simplr 767 . . . . . . . 8 ((((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣) β†’ π‘Ž ∈ ℝ+)
6157, 59, 60rspcdva 3613 . . . . . . 7 ((((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘Ž))
62 nfv 1917 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑦(𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
63 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑦 𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)
64 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑦ℝ+
65 nfre1 3282 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘¦βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)
6664, 65nfralw 3308 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘¦βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)
6763, 66nfan 1902 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑦(𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))
6862, 67nfan 1902 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑦((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)))
69 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑦 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)
7068, 69nfan 1902 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦(((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
71 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦 π‘Ž ∈ ℝ+
7270, 71nfan 1902 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+)
73 nfv 1917 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦(◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣
7472, 73nfan 1902 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦(((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣)
7554ad4antr 730 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ 𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
76 fbelss 23336 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑋)
7775, 76sylancom 588 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑋)
78 xpss12 5691 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
7977, 77, 78syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
80 simp-6r 786 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
8180, 6, 143syl 18 . . . . . . . . . 10 (((((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ dom 𝐷 = (𝑋 Γ— 𝑋))
8279, 81sseqtrrd 4023 . . . . . . . . 9 (((((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† dom 𝐷)
8382ex 413 . . . . . . . 8 ((((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣) β†’ (𝑦 ∈ 𝐢 β†’ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† dom 𝐷))
8474, 83ralrimi 3254 . . . . . . 7 ((((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐢 (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† dom 𝐷)
85 r19.29r 3116 . . . . . . . 8 ((βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘Ž) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐢 (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† dom 𝐷) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 ((𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘Ž) ∧ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† dom 𝐷))
86 sseqin2 4215 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† dom 𝐷 ↔ (dom 𝐷 ∩ (𝑦 Γ— 𝑦)) = (𝑦 Γ— 𝑦))
8786biimpi 215 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† dom 𝐷 β†’ (dom 𝐷 ∩ (𝑦 Γ— 𝑦)) = (𝑦 Γ— 𝑦))
8887adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘Ž) ∧ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† dom 𝐷) β†’ (dom 𝐷 ∩ (𝑦 Γ— 𝑦)) = (𝑦 Γ— 𝑦))
89 dminss 6152 . . . . . . . . . . 11 (dom 𝐷 ∩ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (◑𝐷 β€œ (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)))
9088, 89eqsstrrdi 4037 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘Ž) ∧ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† dom 𝐷) β†’ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† (◑𝐷 β€œ (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦))))
91 imass2 6101 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘Ž) β†’ (◑𝐷 β€œ (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦))) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
9291adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘Ž) ∧ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† dom 𝐷) β†’ (◑𝐷 β€œ (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦))) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
9390, 92sstrd 3992 . . . . . . . . 9 (((𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘Ž) ∧ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† dom 𝐷) β†’ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
9493reximi 3084 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 ((𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘Ž) ∧ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† dom 𝐷) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
9585, 94syl 17 . . . . . . 7 ((βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘Ž) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐢 (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† dom 𝐷) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
9661, 84, 95syl2anc 584 . . . . . 6 ((((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
97 r19.41v 3188 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 ((𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣) ↔ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣))
98 sstr 3990 . . . . . . . 8 (((𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣) β†’ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† 𝑣)
9998reximi 3084 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 ((𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† 𝑣)
10097, 99sylbir 234 . . . . . 6 ((βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† 𝑣)
10196, 100sylancom 588 . . . . 5 ((((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† 𝑣)
102 simp-5r 784 . . . . . . . 8 ((((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐹) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣) β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
103 simplr 767 . . . . . . . 8 ((((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐹) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣) β†’ 𝑀 ∈ 𝐹)
1041metustel 24058 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (𝑀 ∈ 𝐹 ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝑀 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
105104biimpa 477 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝑀 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
106102, 103, 105syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐹) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝑀 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
107 r19.41v 3188 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ (𝑀 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣) ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝑀 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣))
108 sseq1 4007 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) β†’ (𝑀 βŠ† 𝑣 ↔ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣))
109108biimpa 477 . . . . . . . . 9 ((𝑀 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣)
110109reximi 3084 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ (𝑀 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣)
111107, 110sylbir 234 . . . . . . 7 ((βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝑀 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣)
112106, 111sylancom 588 . . . . . 6 ((((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐹) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣)
11311ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))
114 elfg 23374 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ (𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ↔ (𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 𝑀 βŠ† 𝑣)))
115114biimpa 477 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ (𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 𝑀 βŠ† 𝑣))
116113, 115sylancom 588 . . . . . . 7 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ (𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 𝑀 βŠ† 𝑣))
117116simprd 496 . . . . . 6 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 𝑀 βŠ† 𝑣)
118112, 117r19.29a 3162 . . . . 5 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣)
119101, 118r19.29a 3162 . . . 4 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† 𝑣)
120119ralrimiva 3146 . . 3 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) β†’ βˆ€π‘£ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† 𝑣)
1212adantr 481 . . . 4 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
122 iscfilu 23792 . . . 4 (((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ↔ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘£ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† 𝑣)))
123121, 122syl 17 . . 3 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) β†’ (𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ↔ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘£ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† 𝑣)))
12454, 120, 123mpbir2and 711 . 2 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) β†’ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)))
12553, 124impbida 799 1 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ (𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ↔ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β€œ cima 5679  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  0cc0 11109  β„*cxr 11246   ≀ cle 11248   / cdiv 11870  2c2 12266  β„+crp 12973  [,)cico 13325  PsMetcpsmet 20927  fBascfbas 20931  filGencfg 20932  UnifOncust 23703  CauFiluccfilu 23790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-2 12274  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ico 13329  df-psmet 20935  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-fil 23349  df-ust 23704  df-cfilu 23791
This theorem is referenced by:  cfilucfil2  24069
  Copyright terms: Public domain W3C validator