MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfilucfil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cfilucfil 24288
Description: Given a metric 𝐷 and a uniform structure generated by that metric, Cauchy filter bases on that uniform structure are exactly the filter bases which contain balls of any pre-chosen size. See iscfil 25013. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1 𝐹 = ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
Assertion
Ref Expression
cfilucfil ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ (𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ↔ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))))
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž   𝑋,π‘Ž   𝐹,π‘Ž,π‘₯   π‘₯,𝐷,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦,π‘Ž   𝑦,𝐷   𝐢,π‘Ž,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem cfilucfil
Dummy variables 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metust.1 . . . . 5 𝐹 = ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
21metust 24287 . . . 4 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
3 cfilufbas 24014 . . . 4 ((((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))) β†’ 𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
42, 3sylan 578 . . 3 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))) β†’ 𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
5 simpllr 772 . . . . . 6 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
6 psmetf 24032 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
7 ffun 6719 . . . . . 6 (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* β†’ Fun 𝐷)
85, 6, 73syl 18 . . . . 5 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Fun 𝐷)
92ad2antrr 722 . . . . . 6 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
10 simplr 765 . . . . . 6 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)))
111metustfbas 24286 . . . . . . . 8 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))
1211ad2antrr 722 . . . . . . 7 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))
13 cnvimass 6079 . . . . . . . 8 (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯)) βŠ† dom 𝐷
14 fdm 6725 . . . . . . . . 9 (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* β†’ dom 𝐷 = (𝑋 Γ— 𝑋))
155, 6, 143syl 18 . . . . . . . 8 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ dom 𝐷 = (𝑋 Γ— 𝑋))
1613, 15sseqtrid 4033 . . . . . . 7 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯)) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
17 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
1817rphalfcld 13032 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ / 2) ∈ ℝ+)
19 eqidd 2731 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)(π‘₯ / 2))) = (◑𝐷 β€œ (0[,)(π‘₯ / 2))))
20 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = (π‘₯ / 2) β†’ (0[,)π‘Ž) = (0[,)(π‘₯ / 2)))
2120imaeq2d 6058 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = (π‘₯ / 2) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) = (◑𝐷 β€œ (0[,)(π‘₯ / 2))))
2221rspceeqv 3632 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ / 2) ∈ ℝ+ ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)(π‘₯ / 2))) = (◑𝐷 β€œ (0[,)(π‘₯ / 2)))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)(π‘₯ / 2))) = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
2318, 19, 22syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)(π‘₯ / 2))) = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
241metustel 24279 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ ((◑𝐷 β€œ (0[,)(π‘₯ / 2))) ∈ 𝐹 ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)(π‘₯ / 2))) = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
2524biimpar 476 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)(π‘₯ / 2))) = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)(π‘₯ / 2))) ∈ 𝐹)
265, 23, 25syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)(π‘₯ / 2))) ∈ 𝐹)
27 0xr 11265 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ 0 ∈ ℝ*)
29 rpxr 12987 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
30 0le0 12317 . . . . . . . . . . 11 0 ≀ 0
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ 0)
32 rpre 12986 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3332rehalfcld 12463 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ / 2) ∈ ℝ)
34 rphalflt 13007 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ / 2) < π‘₯)
3533, 32, 34ltled 11366 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ / 2) ≀ π‘₯)
36 icossico 13398 . . . . . . . . . 10 (((0 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) ∧ (0 ≀ 0 ∧ (π‘₯ / 2) ≀ π‘₯)) β†’ (0[,)(π‘₯ / 2)) βŠ† (0[,)π‘₯))
3728, 29, 31, 35, 36syl22anc 835 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (0[,)(π‘₯ / 2)) βŠ† (0[,)π‘₯))
38 imass2 6100 . . . . . . . . 9 ((0[,)(π‘₯ / 2)) βŠ† (0[,)π‘₯) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)(π‘₯ / 2))) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯)))
3917, 37, 383syl 18 . . . . . . . 8 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)(π‘₯ / 2))) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯)))
40 sseq1 4006 . . . . . . . . 9 (𝑀 = (◑𝐷 β€œ (0[,)(π‘₯ / 2))) β†’ (𝑀 βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯)) ↔ (◑𝐷 β€œ (0[,)(π‘₯ / 2))) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯))))
4140rspcev 3611 . . . . . . . 8 (((◑𝐷 β€œ (0[,)(π‘₯ / 2))) ∈ 𝐹 ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)(π‘₯ / 2))) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 𝑀 βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯)))
4226, 39, 41syl2anc 582 . . . . . . 7 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 𝑀 βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯)))
43 elfg 23595 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ ((◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯)) ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ↔ ((◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯)) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 𝑀 βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯)))))
4443biimpar 476 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ ((◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯)) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 𝑀 βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯)))) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯)) ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
4512, 16, 42, 44syl12anc 833 . . . . . 6 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯)) ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
46 cfiluexsm 24015 . . . . . 6 ((((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯)) ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯)))
479, 10, 45, 46syl3anc 1369 . . . . 5 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯)))
48 funimass2 6630 . . . . . . 7 ((Fun 𝐷 ∧ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯))) β†’ (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))
4948ex 411 . . . . . 6 (Fun 𝐷 β†’ ((𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯)) β†’ (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)))
5049reximdv 3168 . . . . 5 (Fun 𝐷 β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)))
518, 47, 50sylc 65 . . . 4 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))
5251ralrimiva 3144 . . 3 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))
534, 52jca 510 . 2 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))) β†’ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)))
54 simprl 767 . . 3 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) β†’ 𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
55 oveq2 7419 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = π‘Ž β†’ (0[,)π‘₯) = (0[,)π‘Ž))
5655sseq2d 4013 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = π‘Ž β†’ ((𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯) ↔ (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘Ž)))
5756rexbidv 3176 . . . . . . . 8 (π‘₯ = π‘Ž β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘Ž)))
58 simp-4r 780 . . . . . . . . 9 ((((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣) β†’ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)))
5958simprd 494 . . . . . . . 8 ((((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))
60 simplr 765 . . . . . . . 8 ((((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣) β†’ π‘Ž ∈ ℝ+)
6157, 59, 60rspcdva 3612 . . . . . . 7 ((((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘Ž))
62 nfv 1915 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑦(𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
63 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑦 𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)
64 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑦ℝ+
65 nfre1 3280 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘¦βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)
6664, 65nfralw 3306 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘¦βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)
6763, 66nfan 1900 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑦(𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))
6862, 67nfan 1900 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑦((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)))
69 nfv 1915 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑦 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)
7068, 69nfan 1900 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦(((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹))
71 nfv 1915 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦 π‘Ž ∈ ℝ+
7270, 71nfan 1900 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+)
73 nfv 1915 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦(◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣
7472, 73nfan 1900 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦(((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣)
7554ad4antr 728 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ 𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
76 fbelss 23557 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑋)
7775, 76sylancom 586 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑋)
78 xpss12 5690 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
7977, 77, 78syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
80 simp-6r 784 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
8180, 6, 143syl 18 . . . . . . . . . 10 (((((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ dom 𝐷 = (𝑋 Γ— 𝑋))
8279, 81sseqtrrd 4022 . . . . . . . . 9 (((((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† dom 𝐷)
8382ex 411 . . . . . . . 8 ((((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣) β†’ (𝑦 ∈ 𝐢 β†’ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† dom 𝐷))
8474, 83ralrimi 3252 . . . . . . 7 ((((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐢 (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† dom 𝐷)
85 r19.29r 3114 . . . . . . . 8 ((βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘Ž) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐢 (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† dom 𝐷) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 ((𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘Ž) ∧ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† dom 𝐷))
86 sseqin2 4214 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† dom 𝐷 ↔ (dom 𝐷 ∩ (𝑦 Γ— 𝑦)) = (𝑦 Γ— 𝑦))
8786biimpi 215 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† dom 𝐷 β†’ (dom 𝐷 ∩ (𝑦 Γ— 𝑦)) = (𝑦 Γ— 𝑦))
8887adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘Ž) ∧ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† dom 𝐷) β†’ (dom 𝐷 ∩ (𝑦 Γ— 𝑦)) = (𝑦 Γ— 𝑦))
89 dminss 6151 . . . . . . . . . . 11 (dom 𝐷 ∩ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (◑𝐷 β€œ (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)))
9088, 89eqsstrrdi 4036 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘Ž) ∧ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† dom 𝐷) β†’ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† (◑𝐷 β€œ (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦))))
91 imass2 6100 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘Ž) β†’ (◑𝐷 β€œ (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦))) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
9291adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘Ž) ∧ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† dom 𝐷) β†’ (◑𝐷 β€œ (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦))) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
9390, 92sstrd 3991 . . . . . . . . 9 (((𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘Ž) ∧ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† dom 𝐷) β†’ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
9493reximi 3082 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 ((𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘Ž) ∧ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† dom 𝐷) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
9585, 94syl 17 . . . . . . 7 ((βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘Ž) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐢 (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† dom 𝐷) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
9661, 84, 95syl2anc 582 . . . . . 6 ((((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
97 r19.41v 3186 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 ((𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣) ↔ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣))
98 sstr 3989 . . . . . . . 8 (((𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣) β†’ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† 𝑣)
9998reximi 3082 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 ((𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† 𝑣)
10097, 99sylbir 234 . . . . . 6 ((βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† 𝑣)
10196, 100sylancom 586 . . . . 5 ((((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† 𝑣)
102 simp-5r 782 . . . . . . . 8 ((((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐹) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣) β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
103 simplr 765 . . . . . . . 8 ((((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐹) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣) β†’ 𝑀 ∈ 𝐹)
1041metustel 24279 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (𝑀 ∈ 𝐹 ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝑀 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
105104biimpa 475 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝑀 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
106102, 103, 105syl2anc 582 . . . . . . 7 ((((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐹) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝑀 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
107 r19.41v 3186 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ (𝑀 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣) ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝑀 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣))
108 sseq1 4006 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) β†’ (𝑀 βŠ† 𝑣 ↔ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣))
109108biimpa 475 . . . . . . . . 9 ((𝑀 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣)
110109reximi 3082 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ (𝑀 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣)
111107, 110sylbir 234 . . . . . . 7 ((βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝑀 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣)
112106, 111sylancom 586 . . . . . 6 ((((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐹) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣)
11311ad2antrr 722 . . . . . . . 8 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))
114 elfg 23595 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ (𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ↔ (𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 𝑀 βŠ† 𝑣)))
115114biimpa 475 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ (𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 𝑀 βŠ† 𝑣))
116113, 115sylancom 586 . . . . . . 7 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ (𝑣 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 𝑀 βŠ† 𝑣))
117116simprd 494 . . . . . 6 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 𝑀 βŠ† 𝑣)
118112, 117r19.29a 3160 . . . . 5 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† 𝑣)
119101, 118r19.29a 3160 . . . 4 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† 𝑣)
120119ralrimiva 3144 . . 3 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) β†’ βˆ€π‘£ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† 𝑣)
1212adantr 479 . . . 4 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
122 iscfilu 24013 . . . 4 (((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹) ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ↔ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘£ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† 𝑣)))
123121, 122syl 17 . . 3 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) β†’ (𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ↔ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘£ ∈ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† 𝑣)))
12454, 120, 123mpbir2and 709 . 2 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) β†’ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)))
12553, 124impbida 797 1 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ (𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜((𝑋 Γ— 𝑋)filGen𝐹)) ↔ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β€œ cima 5678  Fun wfun 6536  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  0cc0 11112  β„*cxr 11251   ≀ cle 11253   / cdiv 11875  2c2 12271  β„+crp 12978  [,)cico 13330  PsMetcpsmet 21128  fBascfbas 21132  filGencfg 21133  UnifOncust 23924  CauFiluccfilu 24011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-2 12279  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ico 13334  df-psmet 21136  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-fil 23570  df-ust 23925  df-cfilu 24012
This theorem is referenced by:  cfilucfil2  24290
  Copyright terms: Public domain W3C validator