Theorem clsneicnv 44564

Description: If a (pseudo-)closure function and a (pseudo-)neighborhood function are related by the 𝐻 operator, then the converse of the operator is known. (Contributed by RP, 5-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clsnei.o	⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
clsnei.p	⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ V ↦ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑛 ↑m 𝒫 𝑛) ↦ (𝑜 ∈ 𝒫 𝑛 ↦ (𝑛 ∖ (𝑝‘(𝑛 ∖ 𝑜))))))
clsnei.d	⊢ 𝐷 = (𝑃‘𝐵)
clsnei.f	⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
clsnei.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐷)
clsnei.r	⊢ (𝜑 → 𝐾𝐻𝑁)

Assertion

Ref	Expression
clsneicnv	⊢ (𝜑 → ◡𝐻 = (𝐷 ∘ (𝐵𝑂𝒫 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   𝐵,𝑛,𝑜,𝑝   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙   𝜑,𝑛,𝑜,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐷(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝑃(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝐹(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝐻(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝐾(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝑁(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝑂(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)

Proof of Theorem clsneicnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clsnei.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐷)
2	1	cnveqi 5819	. . 3 ⊢ ◡𝐻 = ◡(𝐹 ∘ 𝐷)
3		cnvco 5834	. . 3 ⊢ ◡(𝐹 ∘ 𝐷) = (◡𝐷 ∘ ◡𝐹)
4	2, 3	eqtri 2764	. 2 ⊢ ◡𝐻 = (◡𝐷 ∘ ◡𝐹)
5		clsnei.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑃‘𝐵)
6		clsnei.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾𝐻𝑁)
7	5, 1, 6	clsneibex 44561	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
8		clsnei.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ V ↦ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑛 ↑m 𝒫 𝑛) ↦ (𝑜 ∈ 𝒫 𝑛 ↦ (𝑛 ∖ (𝑝‘(𝑛 ∖ 𝑜))))))
9		simpr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
10	8, 5, 9	dssmapnvod 44479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → ◡𝐷 = 𝐷)
11		clsnei.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
12		pwexg 5310	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ∈ V)
13	12	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝒫 𝐵 ∈ V)
14		clsnei.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
15		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (𝐵𝑂𝒫 𝐵) = (𝐵𝑂𝒫 𝐵)
16	11, 13, 9, 14, 15	fsovcnvd 44473	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → ◡𝐹 = (𝐵𝑂𝒫 𝐵))
17	10, 16	coeq12d 5809	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → (◡𝐷 ∘ ◡𝐹) = (𝐷 ∘ (𝐵𝑂𝒫 𝐵)))
18	7, 17	mpdan 694	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐷 ∘ ◡𝐹) = (𝐷 ∘ (𝐵𝑂𝒫 𝐵)))
19	4, 18	eqtrid 2788	1 ⊢ (𝜑 → ◡𝐻 = (𝐷 ∘ (𝐵𝑂𝒫 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  {crab 3393  Vcvv 3433   ∖ cdif 3882  𝒫 cpw 4532   class class class wbr 5075   ↦ cmpt 5156  ^◡ccnv 5620   ∘ ccom 5625  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360   ∈ cmpo 7362   ↑_m cmap 8767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-map 8769

This theorem is referenced by: (None)