Theorem clsneicnv 43432

Description: If a (pseudo-)closure function and a (pseudo-)neighborhood function are related by the 𝐻 operator, then the converse of the operator is known. (Contributed by RP, 5-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clsnei.o	⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
clsnei.p	⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ V ↦ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑛 ↑m 𝒫 𝑛) ↦ (𝑜 ∈ 𝒫 𝑛 ↦ (𝑛 ∖ (𝑝‘(𝑛 ∖ 𝑜))))))
clsnei.d	⊢ 𝐷 = (𝑃‘𝐵)
clsnei.f	⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
clsnei.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐷)
clsnei.r	⊢ (𝜑 → 𝐾𝐻𝑁)

Assertion

Ref	Expression
clsneicnv	⊢ (𝜑 → ◡𝐻 = (𝐷 ∘ (𝐵𝑂𝒫 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   𝐵,𝑛,𝑜,𝑝   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙   𝜑,𝑛,𝑜,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐷(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝑃(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝐹(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝐻(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝐾(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝑁(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝑂(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)

Proof of Theorem clsneicnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clsnei.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐷)
2	1	cnveqi 5868	. . 3 ⊢ ◡𝐻 = ◡(𝐹 ∘ 𝐷)
3		cnvco 5879	. . 3 ⊢ ◡(𝐹 ∘ 𝐷) = (◡𝐷 ∘ ◡𝐹)
4	2, 3	eqtri 2754	. 2 ⊢ ◡𝐻 = (◡𝐷 ∘ ◡𝐹)
5		clsnei.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑃‘𝐵)
6		clsnei.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾𝐻𝑁)
7	5, 1, 6	clsneibex 43429	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
8		clsnei.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ V ↦ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑛 ↑m 𝒫 𝑛) ↦ (𝑜 ∈ 𝒫 𝑛 ↦ (𝑛 ∖ (𝑝‘(𝑛 ∖ 𝑜))))))
9		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
10	8, 5, 9	dssmapnvod 43347	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → ◡𝐷 = 𝐷)
11		clsnei.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
12		pwexg 5369	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ∈ V)
13	12	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝒫 𝐵 ∈ V)
14		clsnei.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
15		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (𝐵𝑂𝒫 𝐵) = (𝐵𝑂𝒫 𝐵)
16	11, 13, 9, 14, 15	fsovcnvd 43341	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → ◡𝐹 = (𝐵𝑂𝒫 𝐵))
17	10, 16	coeq12d 5858	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → (◡𝐷 ∘ ◡𝐹) = (𝐷 ∘ (𝐵𝑂𝒫 𝐵)))
18	7, 17	mpdan 684	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐷 ∘ ◡𝐹) = (𝐷 ∘ (𝐵𝑂𝒫 𝐵)))
19	4, 18	eqtrid 2778	1 ⊢ (𝜑 → ◡𝐻 = (𝐷 ∘ (𝐵𝑂𝒫 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426  Vcvv 3468   ∖ cdif 3940  𝒫 cpw 4597   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ^◡ccnv 5668   ∘ ccom 5673  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407   ↑_m cmap 8822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8824

This theorem is referenced by: (None)