Theorem clsneicnv 44490

Description: If a (pseudo-)closure function and a (pseudo-)neighborhood function are related by the 𝐻 operator, then the converse of the operator is known. (Contributed by RP, 5-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clsnei.o	⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
clsnei.p	⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ V ↦ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑛 ↑m 𝒫 𝑛) ↦ (𝑜 ∈ 𝒫 𝑛 ↦ (𝑛 ∖ (𝑝‘(𝑛 ∖ 𝑜))))))
clsnei.d	⊢ 𝐷 = (𝑃‘𝐵)
clsnei.f	⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
clsnei.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐷)
clsnei.r	⊢ (𝜑 → 𝐾𝐻𝑁)

Assertion

Ref	Expression
clsneicnv	⊢ (𝜑 → ◡𝐻 = (𝐷 ∘ (𝐵𝑂𝒫 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   𝐵,𝑛,𝑜,𝑝   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙   𝜑,𝑛,𝑜,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐷(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝑃(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝐹(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝐻(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝐾(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝑁(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝑂(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)

Proof of Theorem clsneicnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clsnei.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐷)
2	1	cnveqi 5833	. . 3 ⊢ ◡𝐻 = ◡(𝐹 ∘ 𝐷)
3		cnvco 5844	. . 3 ⊢ ◡(𝐹 ∘ 𝐷) = (◡𝐷 ∘ ◡𝐹)
4	2, 3	eqtri 2760	. 2 ⊢ ◡𝐻 = (◡𝐷 ∘ ◡𝐹)
5		clsnei.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑃‘𝐵)
6		clsnei.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾𝐻𝑁)
7	5, 1, 6	clsneibex 44487	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
8		clsnei.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ V ↦ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑛 ↑m 𝒫 𝑛) ↦ (𝑜 ∈ 𝒫 𝑛 ↦ (𝑛 ∖ (𝑝‘(𝑛 ∖ 𝑜))))))
9		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
10	8, 5, 9	dssmapnvod 44405	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → ◡𝐷 = 𝐷)
11		clsnei.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
12		pwexg 5327	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ∈ V)
13	12	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝒫 𝐵 ∈ V)
14		clsnei.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
15		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝐵𝑂𝒫 𝐵) = (𝐵𝑂𝒫 𝐵)
16	11, 13, 9, 14, 15	fsovcnvd 44399	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → ◡𝐹 = (𝐵𝑂𝒫 𝐵))
17	10, 16	coeq12d 5823	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → (◡𝐷 ∘ ◡𝐹) = (𝐷 ∘ (𝐵𝑂𝒫 𝐵)))
18	7, 17	mpdan 688	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐷 ∘ ◡𝐹) = (𝐷 ∘ (𝐵𝑂𝒫 𝐵)))
19	4, 18	eqtrid 2784	1 ⊢ (𝜑 → ◡𝐻 = (𝐷 ∘ (𝐵𝑂𝒫 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3401  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ^◡ccnv 5633   ∘ ccom 5638  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370   ∈ cmpo 7372   ↑_m cmap 8777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-map 8779

This theorem is referenced by: (None)