Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  clsneikex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clsneikex 38930
Description: If closure and neighborhoods functions are related, the closure function exists. (Contributed by RP, 27-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clsnei.o 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗𝑚 𝑖) ↦ (𝑙𝑗 ↦ {𝑚𝑖𝑙 ∈ (𝑘𝑚)})))
clsnei.p 𝑃 = (𝑛 ∈ V ↦ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑛𝑚 𝒫 𝑛) ↦ (𝑜 ∈ 𝒫 𝑛 ↦ (𝑛 ∖ (𝑝‘(𝑛𝑜))))))
clsnei.d 𝐷 = (𝑃𝐵)
clsnei.f 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
clsnei.h 𝐻 = (𝐹𝐷)
clsnei.r (𝜑𝐾𝐻𝑁)
Assertion
Ref Expression
clsneikex (𝜑𝐾 ∈ (𝒫 𝐵𝑚 𝒫 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   𝐵,𝑛,𝑜,𝑝   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙   𝜑,𝑛,𝑜,𝑝
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐷(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝑃(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝐹(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝐻(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝐾(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝑁(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝑂(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)

Proof of Theorem clsneikex
StepHypRef Expression
1 clsnei.p . 2 𝑃 = (𝑛 ∈ V ↦ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑛𝑚 𝒫 𝑛) ↦ (𝑜 ∈ 𝒫 𝑛 ↦ (𝑛 ∖ (𝑝‘(𝑛𝑜))))))
2 clsnei.d . 2 𝐷 = (𝑃𝐵)
3 clsnei.h . . . . 5 𝐻 = (𝐹𝐷)
4 clsnei.r . . . . 5 (𝜑𝐾𝐻𝑁)
52, 3, 4clsneibex 38926 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ V)
6 clsnei.o . . . . . . 7 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗𝑚 𝑖) ↦ (𝑙𝑗 ↦ {𝑚𝑖𝑙 ∈ (𝑘𝑚)})))
7 pwexg 4980 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ∈ V)
87adantl 467 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ V) → 𝒫 𝐵 ∈ V)
9 simpr 471 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
10 clsnei.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
116, 8, 9, 10fsovf1od 38836 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ V) → 𝐹:(𝒫 𝐵𝑚 𝒫 𝐵)–1-1-onto→(𝒫 𝒫 𝐵𝑚 𝐵))
12 f1ofn 6279 . . . . . 6 (𝐹:(𝒫 𝐵𝑚 𝒫 𝐵)–1-1-onto→(𝒫 𝒫 𝐵𝑚 𝐵) → 𝐹 Fn (𝒫 𝐵𝑚 𝒫 𝐵))
1311, 12syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ V) → 𝐹 Fn (𝒫 𝐵𝑚 𝒫 𝐵))
141, 2, 9dssmapf1od 38841 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ V) → 𝐷:(𝒫 𝐵𝑚 𝒫 𝐵)–1-1-onto→(𝒫 𝐵𝑚 𝒫 𝐵))
15 f1of 6278 . . . . . 6 (𝐷:(𝒫 𝐵𝑚 𝒫 𝐵)–1-1-onto→(𝒫 𝐵𝑚 𝒫 𝐵) → 𝐷:(𝒫 𝐵𝑚 𝒫 𝐵)⟶(𝒫 𝐵𝑚 𝒫 𝐵))
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ V) → 𝐷:(𝒫 𝐵𝑚 𝒫 𝐵)⟶(𝒫 𝐵𝑚 𝒫 𝐵))
174adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ V) → 𝐾𝐻𝑁)
183breqi 4792 . . . . . 6 (𝐾𝐻𝑁𝐾(𝐹𝐷)𝑁)
1917, 18sylib 208 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ V) → 𝐾(𝐹𝐷)𝑁)
2013, 16, 19brcoffn 38854 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ V) → (𝐾𝐷(𝐷𝐾) ∧ (𝐷𝐾)𝐹𝑁))
215, 20mpdan 667 . . 3 (𝜑 → (𝐾𝐷(𝐷𝐾) ∧ (𝐷𝐾)𝐹𝑁))
2221simpld 482 . 2 (𝜑𝐾𝐷(𝐷𝐾))
231, 2, 22ntrclsiex 38877 1 (𝜑𝐾 ∈ (𝒫 𝐵𝑚 𝒫 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  {crab 3065  Vcvv 3351  cdif 3720  𝒫 cpw 4297   class class class wbr 4786  cmpt 4863  ccom 5253   Fn wfn 6026  wf 6027  1-1-ontowf1o 6030  cfv 6031  (class class class)co 6793  cmpt2 6795  𝑚 cmap 8009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-map 8011
This theorem is referenced by:  clsneifv4  38935
  Copyright terms: Public domain W3C validator