Theorem clsneikex 45065

Description: If closure and neighborhoods functions are related, the closure function exists. (Contributed by RP, 27-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clsnei.o	⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
clsnei.p	⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ V ↦ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑛 ↑m 𝒫 𝑛) ↦ (𝑜 ∈ 𝒫 𝑛 ↦ (𝑛 ∖ (𝑝‘(𝑛 ∖ 𝑜))))))
clsnei.d	⊢ 𝐷 = (𝑃‘𝐵)
clsnei.f	⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
clsnei.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐷)
clsnei.r	⊢ (𝜑 → 𝐾𝐻𝑁)

Assertion

Ref	Expression
clsneikex	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   𝐵,𝑛,𝑜,𝑝   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙   𝜑,𝑛,𝑜,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐷(𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑜, 𝑝, 𝑙)   𝑃(𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑜, 𝑝, 𝑙)   𝐹(𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑜, 𝑝, 𝑙)   𝐻(𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑜, 𝑝, 𝑙)   𝐾(𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑜, 𝑝, 𝑙)   𝑁(𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑜, 𝑝, 𝑙)   𝑂(𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑜, 𝑝, 𝑙)

Proof of Theorem clsneikex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clsnei.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ V ↦ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑛 ↑m 𝒫 𝑛) ↦ (𝑜 ∈ 𝒫 𝑛 ↦ (𝑛 ∖ (𝑝‘(𝑛 ∖ 𝑜))))))
2		clsnei.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (𝑃‘𝐵)
3		clsnei.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐷)
4		clsnei.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾𝐻𝑁)
5	2, 3, 4	clsneibex 45061	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
6		clsnei.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
7		pwexg 5340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ∈ V)
8	7	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝒫 𝐵 ∈ V)
9		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
10		clsnei.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
11	6, 8, 9, 10	fsovf1od 44975	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐹:(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵)–1-1-onto→(𝒫 𝒫 𝐵 ↑m 𝐵))
12		f1ofn 6817	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵)–1-1-onto→(𝒫 𝒫 𝐵 ↑m 𝐵) → 𝐹 Fn (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
13	11, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐹 Fn (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
14	1, 2, 9	dssmapf1od 44980	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐷:(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵)–1-1-onto→(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
15		f1of 6816	. . . . . 6 ⊢ (𝐷:(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵)–1-1-onto→(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) → 𝐷:(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵)⟶(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
16	14, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐷:(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵)⟶(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
17	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐾𝐻𝑁)
18	3	breqi 5109	. . . . . 6 ⊢ (𝐾𝐻𝑁 ↔ 𝐾(𝐹 ∘ 𝐷)𝑁)
19	17, 18	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐾(𝐹 ∘ 𝐷)𝑁)
20	13, 16, 19	brcoffn 44989	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐾𝐷(𝐷‘𝐾) ∧ (𝐷‘𝐾)𝐹𝑁))
21	5, 20	mpdan 700	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾𝐷(𝐷‘𝐾) ∧ (𝐷‘𝐾)𝐹𝑁))
22	21	simpld 500	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾𝐷(𝐷‘𝐾))
23	1, 2, 22	ntrclsiex 45012	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3413  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896  𝒫 cpw 4557   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   ∘ ccom 5655   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  –1-1-onto→wf1o 6530  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414   ↑_m cmap 8831

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-map 8833

This theorem is used by:  clsneifv4  45070