Theorem clsneikex 44694

Description: If closure and neighborhoods functions are related, the closure function exists. (Contributed by RP, 27-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clsnei.o	⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
clsnei.p	⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ V ↦ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑛 ↑m 𝒫 𝑛) ↦ (𝑜 ∈ 𝒫 𝑛 ↦ (𝑛 ∖ (𝑝‘(𝑛 ∖ 𝑜))))))
clsnei.d	⊢ 𝐷 = (𝑃‘𝐵)
clsnei.f	⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
clsnei.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐷)
clsnei.r	⊢ (𝜑 → 𝐾𝐻𝑁)

Assertion

Ref	Expression
clsneikex	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   𝐵,𝑛,𝑜,𝑝   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙   𝜑,𝑛,𝑜,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐷(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝑃(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝐹(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝐻(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝐾(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝑁(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝑂(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)

Proof of Theorem clsneikex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clsnei.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ V ↦ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑛 ↑m 𝒫 𝑛) ↦ (𝑜 ∈ 𝒫 𝑛 ↦ (𝑛 ∖ (𝑝‘(𝑛 ∖ 𝑜))))))
2		clsnei.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (𝑃‘𝐵)
3		clsnei.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐷)
4		clsnei.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾𝐻𝑁)
5	2, 3, 4	clsneibex 44690	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
6		clsnei.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
7		pwexg 5340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ∈ V)
8	7	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝒫 𝐵 ∈ V)
9		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
10		clsnei.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
11	6, 8, 9, 10	fsovf1od 44604	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐹:(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵)–1-1-onto→(𝒫 𝒫 𝐵 ↑m 𝐵))
12		f1ofn 6811	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵)–1-1-onto→(𝒫 𝒫 𝐵 ↑m 𝐵) → 𝐹 Fn (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
13	11, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐹 Fn (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
14	1, 2, 9	dssmapf1od 44609	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐷:(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵)–1-1-onto→(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
15		f1of 6810	. . . . . 6 ⊢ (𝐷:(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵)–1-1-onto→(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) → 𝐷:(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵)⟶(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
16	14, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐷:(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵)⟶(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
17	4	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐾𝐻𝑁)
18	3	breqi 5111	. . . . . 6 ⊢ (𝐾𝐻𝑁 ↔ 𝐾(𝐹 ∘ 𝐷)𝑁)
19	17, 18	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐾(𝐹 ∘ 𝐷)𝑁)
20	13, 16, 19	brcoffn 44618	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐾𝐷(𝐷‘𝐾) ∧ (𝐷‘𝐾)𝐹𝑁))
21	5, 20	mpdan 699	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾𝐷(𝐷‘𝐾) ∧ (𝐷‘𝐾)𝐹𝑁))
22	21	simpld 499	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾𝐷(𝐷‘𝐾))
23	1, 2, 22	ntrclsiex 44641	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  {crab 3417  Vcvv 3457   ∖ cdif 3904  𝒫 cpw 4558   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5186   ∘ ccom 5656   Fn wfn 6520  ⟶wf 6521  –1-1-onto→wf1o 6524  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ∈ cmpo 7402   ↑_m cmap 8812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8814

This theorem is referenced by:  clsneifv4  44699