Theorem dalemcceb 40313

Description: Lemma for dath 40360. Frequently-used utility lemma. (Contributed by NM, 15-Aug-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
da.ps0	⊢ (𝜓 ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑))))
da.a1	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
dalemcceb	⊢ (𝜓 → 𝑐 ∈ (Base‘𝐾))

Proof of Theorem dalemcceb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		da.ps0	. . 3 ⊢ (𝜓 ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑))))
2	1	dalemccea 40307	. 2 ⊢ (𝜓 → 𝑐 ∈ 𝐴)
3		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		da.a1	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	3, 4	atbase 39913	. 2 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐴 → 𝑐 ∈ (Base‘𝐾))
6	2, 5	syl 17	1 ⊢ (𝜓 → 𝑐 ∈ (Base‘𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245  Atomscatm 39887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fv 6529  df-ats 39891

This theorem is referenced by:  dalem21  40318  dalem25  40322  dalem38  40334  dalem39  40335  dalem44  40340  dalem45  40341  dalem48  40344  dalem52  40348