Theorem dalemcceb 36985

Description: Lemma for dath 37032. Frequently-used utility lemma. (Contributed by NM, 15-Aug-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
da.ps0	⊢ (𝜓 ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑))))
da.a1	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
dalemcceb	⊢ (𝜓 → 𝑐 ∈ (Base‘𝐾))

Proof of Theorem dalemcceb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		da.ps0	. . 3 ⊢ (𝜓 ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑))))
2	1	dalemccea 36979	. 2 ⊢ (𝜓 → 𝑐 ∈ 𝐴)
3		eqid 2798	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		da.a1	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	3, 4	atbase 36585	. 2 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐴 → 𝑐 ∈ (Base‘𝐾))
6	2, 5	syl 17	1 ⊢ (𝜓 → 𝑐 ∈ (Base‘𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  Atomscatm 36559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fv 6332  df-ats 36563

This theorem is referenced by:  dalem21  36990  dalem25  36994  dalem38  37006  dalem39  37007  dalem44  37012  dalem45  37013  dalem48  37016  dalem52  37020