Theorem dalemcceb 39292

Description: Lemma for dath 39339. Frequently-used utility lemma. (Contributed by NM, 15-Aug-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
da.ps0	⊢ (𝜓 ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑))))
da.a1	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
dalemcceb	⊢ (𝜓 → 𝑐 ∈ (Base‘𝐾))

Proof of Theorem dalemcceb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		da.ps0	. . 3 ⊢ (𝜓 ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑))))
2	1	dalemccea 39286	. 2 ⊢ (𝜓 → 𝑐 ∈ 𝐴)
3		eqid 2725	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		da.a1	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	3, 4	atbase 38891	. 2 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐴 → 𝑐 ∈ (Base‘𝐾))
6	2, 5	syl 17	1 ⊢ (𝜓 → 𝑐 ∈ (Base‘𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929   class class class wbr 5149  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  Atomscatm 38865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fv 6557  df-ats 38869

This theorem is referenced by:  dalem21  39297  dalem25  39301  dalem38  39313  dalem39  39314  dalem44  39319  dalem45  39320  dalem48  39323  dalem52  39327