Theorem dalemcceb 40565

Description: Lemma for dath 40612. Frequently-used utility lemma. (Contributed by NM, 15-Aug-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
da.ps0	⊢ (𝜓 ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑))))
da.a1	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
dalemcceb	⊢ (𝜓 → 𝑐 ∈ (Base‘𝐾))

Proof of Theorem dalemcceb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		da.ps0	. . 3 ⊢ (𝜓 ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑))))
2	1	dalemccea 40559	. 2 ⊢ (𝜓 → 𝑐 ∈ 𝐴)
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		da.a1	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	3, 4	atbase 40165	. 2 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐴 → 𝑐 ∈ (Base‘𝐾))
6	2, 5	syl 18	1 ⊢ (𝜓 → 𝑐 ∈ (Base‘𝐾))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17304  Atomscatm 40139

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-ats 40143

This theorem is used by:  dalem21  40570  dalem25  40574  dalem38  40586  dalem39  40587  dalem44  40592  dalem45  40593  dalem48  40596  dalem52  40600