Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem25 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dalem25 38872
Description: Lemma for dath 38910. Show that the dummy center of perspectivity 𝑐 is different from auxiliary atom 𝐺. (Contributed by NM, 3-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalem.ph (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
dalem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dalem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dalem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dalem.ps (πœ“ ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
dalem23.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dalem23.o 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
dalem23.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
dalem23.z 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
dalem23.g 𝐺 = ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆))
Assertion
Ref Expression
dalem25 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑐 β‰  𝐺)
Proof of Theorem dalem25
StepHypRef Expression
1 dalem.ph . . . 4 (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
2 dalem.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 dalem.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4 dalem.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
51, 2, 3, 4dalemcnes 38824 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  𝑆)
653ad2ant1 1131 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐢 β‰  𝑆)
7 dalem.ps . . . . . . . . . . 11 (πœ“ ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
87dalemclccjdd 38862 . . . . . . . . . 10 (πœ“ β†’ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))
983ad2ant3 1133 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))
109adantr 479 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) ∧ 𝑐 = 𝐺) β†’ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))
11 simpr 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) ∧ 𝑐 = 𝐺) β†’ 𝑐 = 𝐺)
12 dalem23.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆))
131dalemkelat 38798 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Lat)
14133ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
151dalemkehl 38797 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ HL)
16153ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐾 ∈ HL)
177dalemccea 38857 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ“ β†’ 𝑐 ∈ 𝐴)
18173ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑐 ∈ 𝐴)
191dalempea 38800 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
20193ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
21 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2221, 3, 4hlatjcl 38540 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑐 ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2316, 18, 20, 22syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑐 ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
247dalemddea 38858 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ“ β†’ 𝑑 ∈ 𝐴)
25243ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑑 ∈ 𝐴)
261dalemsea 38803 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
27263ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
2821, 3, 4hlatjcl 38540 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2916, 25, 27, 28syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑑 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
30 dalem23.m . . . . . . . . . . . . . . 15 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
3121, 2, 30latmle2 18422 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑐 ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆)) ≀ (𝑑 ∨ 𝑆))
3214, 23, 29, 31syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆)) ≀ (𝑑 ∨ 𝑆))
3312, 32eqbrtrid 5182 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐺 ≀ (𝑑 ∨ 𝑆))
343, 4hlatjcom 38541 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∨ 𝑆) = (𝑆 ∨ 𝑑))
3516, 25, 27, 34syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑑 ∨ 𝑆) = (𝑆 ∨ 𝑑))
3633, 35breqtrd 5173 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐺 ≀ (𝑆 ∨ 𝑑))
3736adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) ∧ 𝑐 = 𝐺) β†’ 𝐺 ≀ (𝑆 ∨ 𝑑))
3811, 37eqbrtrd 5169 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) ∧ 𝑐 = 𝐺) β†’ 𝑐 ≀ (𝑆 ∨ 𝑑))
392, 3, 4hlatlej2 38549 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ 𝑑 ≀ (𝑆 ∨ 𝑑))
4016, 27, 25, 39syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑑 ≀ (𝑆 ∨ 𝑑))
4140adantr 479 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) ∧ 𝑐 = 𝐺) β†’ 𝑑 ≀ (𝑆 ∨ 𝑑))
427, 4dalemcceb 38863 . . . . . . . . . . . 12 (πœ“ β†’ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
43423ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4421, 4atbase 38462 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ 𝐴 β†’ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4524, 44syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ“ β†’ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
46453ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4721, 3, 4hlatjcl 38540 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (𝑆 ∨ 𝑑) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4816, 27, 25, 47syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑆 ∨ 𝑑) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4921, 2, 3latjle12 18407 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑆 ∨ 𝑑) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑐 ≀ (𝑆 ∨ 𝑑) ∧ 𝑑 ≀ (𝑆 ∨ 𝑑)) ↔ (𝑐 ∨ 𝑑) ≀ (𝑆 ∨ 𝑑)))
5014, 43, 46, 48, 49syl13anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑐 ≀ (𝑆 ∨ 𝑑) ∧ 𝑑 ≀ (𝑆 ∨ 𝑑)) ↔ (𝑐 ∨ 𝑑) ≀ (𝑆 ∨ 𝑑)))
5150adantr 479 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) ∧ 𝑐 = 𝐺) β†’ ((𝑐 ≀ (𝑆 ∨ 𝑑) ∧ 𝑑 ≀ (𝑆 ∨ 𝑑)) ↔ (𝑐 ∨ 𝑑) ≀ (𝑆 ∨ 𝑑)))
5238, 41, 51mpbi2and 708 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) ∧ 𝑐 = 𝐺) β†’ (𝑐 ∨ 𝑑) ≀ (𝑆 ∨ 𝑑))
531, 4dalemceb 38812 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
54533ad2ant1 1131 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5521, 3, 4hlatjcl 38540 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (𝑐 ∨ 𝑑) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5616, 18, 25, 55syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑐 ∨ 𝑑) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5721, 2lattr 18401 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑐 ∨ 𝑑) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑆 ∨ 𝑑) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑) ∧ (𝑐 ∨ 𝑑) ≀ (𝑆 ∨ 𝑑)) β†’ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑑)))
5814, 54, 56, 48, 57syl13anc 1370 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑) ∧ (𝑐 ∨ 𝑑) ≀ (𝑆 ∨ 𝑑)) β†’ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑑)))
5958adantr 479 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) ∧ 𝑐 = 𝐺) β†’ ((𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑) ∧ (𝑐 ∨ 𝑑) ≀ (𝑆 ∨ 𝑑)) β†’ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑑)))
6010, 52, 59mp2and 695 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) ∧ 𝑐 = 𝐺) β†’ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑑))
61 dalem23.o . . . . . . . . . . 11 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
621, 61dalemyeb 38823 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
63623ad2ant1 1131 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6421, 2, 30latmlem1 18426 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑆 ∨ 𝑑) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑑) β†’ (𝐢 ∧ π‘Œ) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑑) ∧ π‘Œ)))
6514, 54, 48, 63, 64syl13anc 1370 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑑) β†’ (𝐢 ∧ π‘Œ) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑑) ∧ π‘Œ)))
6665adantr 479 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) ∧ 𝑐 = 𝐺) β†’ (𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑑) β†’ (𝐢 ∧ π‘Œ) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑑) ∧ π‘Œ)))
6760, 66mpd 15 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) ∧ 𝑐 = 𝐺) β†’ (𝐢 ∧ π‘Œ) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑑) ∧ π‘Œ))
68 dalem23.y . . . . . . . . . 10 π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
69 dalem23.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
701, 2, 3, 4, 61, 68, 69dalem17 38854 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) β†’ 𝐢 ≀ π‘Œ)
71703adant3 1130 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐢 ≀ π‘Œ)
7221, 2, 30latleeqm1 18424 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝐢 ≀ π‘Œ ↔ (𝐢 ∧ π‘Œ) = 𝐢))
7314, 54, 63, 72syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝐢 ≀ π‘Œ ↔ (𝐢 ∧ π‘Œ) = 𝐢))
7471, 73mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝐢 ∧ π‘Œ) = 𝐢)
7574adantr 479 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) ∧ 𝑐 = 𝐺) β†’ (𝐢 ∧ π‘Œ) = 𝐢)
761, 2, 3, 4, 69dalemsly 38829 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) β†’ 𝑆 ≀ π‘Œ)
77763adant3 1130 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑆 ≀ π‘Œ)
787dalem-ddly 38860 . . . . . . . . 9 (πœ“ β†’ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ)
79783ad2ant3 1133 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ)
8021, 2, 3, 30, 42atjm 38619 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑆 ≀ π‘Œ ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑑) ∧ π‘Œ) = 𝑆)
8116, 27, 25, 63, 77, 79, 80syl132anc 1386 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑑) ∧ π‘Œ) = 𝑆)
8281adantr 479 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) ∧ 𝑐 = 𝐺) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑑) ∧ π‘Œ) = 𝑆)
8367, 75, 823brtr3d 5178 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) ∧ 𝑐 = 𝐺) β†’ 𝐢 ≀ 𝑆)
84 hlatl 38533 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
8515, 84syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
861, 2, 3, 4, 61, 68dalemcea 38834 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐴)
872, 4atcmp 38484 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝐢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (𝐢 ≀ 𝑆 ↔ 𝐢 = 𝑆))
8885, 86, 26, 87syl3anc 1369 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐢 ≀ 𝑆 ↔ 𝐢 = 𝑆))
89883ad2ant1 1131 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝐢 ≀ 𝑆 ↔ 𝐢 = 𝑆))
9089adantr 479 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) ∧ 𝑐 = 𝐺) β†’ (𝐢 ≀ 𝑆 ↔ 𝐢 = 𝑆))
9183, 90mpbid 231 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) ∧ 𝑐 = 𝐺) β†’ 𝐢 = 𝑆)
9291ex 411 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑐 = 𝐺 β†’ 𝐢 = 𝑆))
9392necon3d 2959 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝐢 β‰  𝑆 β†’ 𝑐 β‰  𝐺))
946, 93mpd 15 1 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑐 β‰  𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  lecple 17208  joincjn 18268  meetcmee 18269  Latclat 18388  Atomscatm 38436  AtLatcal 38437  HLchlt 38523  LPlanesclpl 38666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-llines 38672  df-lplanes 38673
This theorem is referenced by:  dalem28  38874  dalem31N  38877
  Copyright terms: Public domain W3C validator