Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem44 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dalem44 38587
Description: Lemma for dath 38607. Dummy center of perspectivity 𝑐 lies outside of plane 𝐺𝐻𝐼. (Contributed by NM, 16-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalem.ph (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
dalem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dalem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dalem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dalem.ps (πœ“ ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
dalem44.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dalem44.o 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
dalem44.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
dalem44.z 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
dalem44.g 𝐺 = ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆))
dalem44.h 𝐻 = ((𝑐 ∨ 𝑄) ∧ (𝑑 ∨ 𝑇))
dalem44.i 𝐼 = ((𝑐 ∨ 𝑅) ∧ (𝑑 ∨ π‘ˆ))
Assertion
Ref Expression
dalem44 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ Β¬ 𝑐 ≀ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼))
Proof of Theorem dalem44
StepHypRef Expression
1 dalem.ph . . . 4 (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
2 dalem.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 dalem.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4 dalem.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
5 dalem.ps . . . 4 (πœ“ ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
6 dalem44.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
7 dalem44.o . . . 4 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
8 dalem44.y . . . 4 π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
9 dalem44.z . . . 4 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
10 dalem44.g . . . 4 𝐺 = ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆))
11 dalem44.h . . . 4 𝐻 = ((𝑐 ∨ 𝑄) ∧ (𝑑 ∨ 𝑇))
12 dalem44.i . . . 4 𝐼 = ((𝑐 ∨ 𝑅) ∧ (𝑑 ∨ π‘ˆ))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12dalem43 38586 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) β‰  π‘Œ)
1413necomd 2997 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ π‘Œ β‰  ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼))
151dalemkelat 38495 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Lat)
16153ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
175, 4dalemcceb 38560 . . . . . . 7 (πœ“ β†’ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
18173ad2ant3 1136 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12dalem42 38585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∈ 𝑂)
20 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2120, 7lplnbase 38405 . . . . . . 7 (((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∈ 𝑂 β†’ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2219, 21syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2320, 2, 3latleeqj1 18404 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑐 ≀ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ↔ (𝑐 ∨ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼)) = ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼)))
2416, 18, 22, 23syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑐 ≀ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ↔ (𝑐 ∨ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼)) = ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼)))
251, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10dalem28 38571 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑃 ≀ (𝐺 ∨ 𝑐))
261dalemkehl 38494 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ HL)
27263ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐾 ∈ HL)
285dalemccea 38554 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ“ β†’ 𝑐 ∈ 𝐴)
29283ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑐 ∈ 𝐴)
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10dalem23 38567 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
313, 4hlatjcom 38238 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) β†’ (𝑐 ∨ 𝐺) = (𝐺 ∨ 𝑐))
3227, 29, 30, 31syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑐 ∨ 𝐺) = (𝐺 ∨ 𝑐))
3325, 32breqtrrd 5177 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑃 ≀ (𝑐 ∨ 𝐺))
341, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11dalem33 38576 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑄 ≀ (𝐻 ∨ 𝑐))
351, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11dalem29 38572 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐻 ∈ 𝐴)
363, 4hlatjcom 38238 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴) β†’ (𝑐 ∨ 𝐻) = (𝐻 ∨ 𝑐))
3727, 29, 35, 36syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑐 ∨ 𝐻) = (𝐻 ∨ 𝑐))
3834, 37breqtrrd 5177 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑄 ≀ (𝑐 ∨ 𝐻))
391, 4dalempeb 38510 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
40393ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4120, 3, 4hlatjcl 38237 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) β†’ (𝑐 ∨ 𝐺) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4227, 29, 30, 41syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑐 ∨ 𝐺) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
431, 4dalemqeb 38511 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
44433ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4520, 3, 4hlatjcl 38237 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴) β†’ (𝑐 ∨ 𝐻) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4627, 29, 35, 45syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑐 ∨ 𝐻) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4720, 2, 3latjlej12 18408 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑐 ∨ 𝐺) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑐 ∨ 𝐻) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑃 ≀ (𝑐 ∨ 𝐺) ∧ 𝑄 ≀ (𝑐 ∨ 𝐻)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ≀ ((𝑐 ∨ 𝐺) ∨ (𝑐 ∨ 𝐻))))
4816, 40, 42, 44, 46, 47syl122anc 1380 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑃 ≀ (𝑐 ∨ 𝐺) ∧ 𝑄 ≀ (𝑐 ∨ 𝐻)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ≀ ((𝑐 ∨ 𝐺) ∨ (𝑐 ∨ 𝐻))))
4933, 38, 48mp2and 698 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ≀ ((𝑐 ∨ 𝐺) ∨ (𝑐 ∨ 𝐻)))
5020, 4atbase 38159 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ 𝐴 β†’ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5130, 50syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5220, 4atbase 38159 . . . . . . . . . . . 12 (𝐻 ∈ 𝐴 β†’ 𝐻 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5335, 52syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐻 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5420, 3latjjdi 18444 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝐻 ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (𝑐 ∨ (𝐺 ∨ 𝐻)) = ((𝑐 ∨ 𝐺) ∨ (𝑐 ∨ 𝐻)))
5516, 18, 51, 53, 54syl13anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑐 ∨ (𝐺 ∨ 𝐻)) = ((𝑐 ∨ 𝐺) ∨ (𝑐 ∨ 𝐻)))
5649, 55breqtrrd 5177 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ≀ (𝑐 ∨ (𝐺 ∨ 𝐻)))
571, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12dalem37 38580 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑅 ≀ (𝐼 ∨ 𝑐))
581, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12dalem34 38577 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐼 ∈ 𝐴)
593, 4hlatjcom 38238 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝐴) β†’ (𝑐 ∨ 𝐼) = (𝐼 ∨ 𝑐))
6027, 29, 58, 59syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑐 ∨ 𝐼) = (𝐼 ∨ 𝑐))
6157, 60breqtrrd 5177 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑅 ≀ (𝑐 ∨ 𝐼))
621, 3, 4dalempjqeb 38516 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
63623ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6420, 3, 4hlatjcl 38237 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴) β†’ (𝐺 ∨ 𝐻) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6527, 30, 35, 64syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝐺 ∨ 𝐻) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6620, 3latjcl 18392 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝐺 ∨ 𝐻) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑐 ∨ (𝐺 ∨ 𝐻)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6716, 18, 65, 66syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑐 ∨ (𝐺 ∨ 𝐻)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
681, 4dalemreb 38512 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
69683ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7020, 3, 4hlatjcl 38237 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝐴) β†’ (𝑐 ∨ 𝐼) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7127, 29, 58, 70syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑐 ∨ 𝐼) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7220, 2, 3latjlej12 18408 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑐 ∨ (𝐺 ∨ 𝐻)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑐 ∨ 𝐼) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ≀ (𝑐 ∨ (𝐺 ∨ 𝐻)) ∧ 𝑅 ≀ (𝑐 ∨ 𝐼)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑐 ∨ (𝐺 ∨ 𝐻)) ∨ (𝑐 ∨ 𝐼))))
7316, 63, 67, 69, 71, 72syl122anc 1380 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ≀ (𝑐 ∨ (𝐺 ∨ 𝐻)) ∧ 𝑅 ≀ (𝑐 ∨ 𝐼)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑐 ∨ (𝐺 ∨ 𝐻)) ∨ (𝑐 ∨ 𝐼))))
7456, 61, 73mp2and 698 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑐 ∨ (𝐺 ∨ 𝐻)) ∨ (𝑐 ∨ 𝐼)))
7520, 4atbase 38159 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ 𝐴 β†’ 𝐼 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7658, 75syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐼 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7720, 3latjjdi 18444 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝐺 ∨ 𝐻) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝐼 ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (𝑐 ∨ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼)) = ((𝑐 ∨ (𝐺 ∨ 𝐻)) ∨ (𝑐 ∨ 𝐼)))
7816, 18, 65, 76, 77syl13anc 1373 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑐 ∨ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼)) = ((𝑐 ∨ (𝐺 ∨ 𝐻)) ∨ (𝑐 ∨ 𝐼)))
7974, 78breqtrrd 5177 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ (𝑐 ∨ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼)))
808, 79eqbrtrid 5184 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ π‘Œ ≀ (𝑐 ∨ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼)))
81 breq2 5153 . . . . . 6 ((𝑐 ∨ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼)) = ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) β†’ (π‘Œ ≀ (𝑐 ∨ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼)) ↔ π‘Œ ≀ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼)))
8280, 81syl5ibcom 244 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑐 ∨ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼)) = ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) β†’ π‘Œ ≀ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼)))
8324, 82sylbid 239 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑐 ≀ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) β†’ π‘Œ ≀ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼)))
841dalemyeo 38503 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑂)
85843ad2ant1 1134 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ π‘Œ ∈ 𝑂)
862, 7lplncmp 38433 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∈ 𝑂) β†’ (π‘Œ ≀ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ↔ π‘Œ = ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼)))
8727, 85, 19, 86syl3anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (π‘Œ ≀ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ↔ π‘Œ = ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼)))
8883, 87sylibd 238 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑐 ≀ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) β†’ π‘Œ = ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼)))
8988necon3ad 2954 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (π‘Œ β‰  ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) β†’ Β¬ 𝑐 ≀ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼)))
9014, 89mpd 15 1 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ Β¬ 𝑐 ≀ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  lecple 17204  joincjn 18264  meetcmee 18265  Latclat 18384  Atomscatm 38133  HLchlt 38220  LPlanesclpl 38363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-llines 38369  df-lplanes 38370  df-lvols 38371
This theorem is referenced by:  dalem45  38588
  Copyright terms: Public domain W3C validator