Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem38 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dalem38 39215
Description: Lemma for dath 39241. Plane π‘Œ belongs to the 3-dimensional volume 𝐺𝐻𝐼𝑐. (Contributed by NM, 5-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalem.ph (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
dalem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dalem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dalem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dalem.ps (πœ“ ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
dalem38.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dalem38.o 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
dalem38.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
dalem38.z 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
dalem38.g 𝐺 = ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆))
dalem38.h 𝐻 = ((𝑐 ∨ 𝑄) ∧ (𝑑 ∨ 𝑇))
dalem38.i 𝐼 = ((𝑐 ∨ 𝑅) ∧ (𝑑 ∨ π‘ˆ))
Assertion
Ref Expression
dalem38 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ π‘Œ ≀ (((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∨ 𝑐))
Proof of Theorem dalem38
StepHypRef Expression
1 dalem38.y . 2 π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
2 dalem.ph . . . . . . 7 (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
3 dalem.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
4 dalem.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
5 dalem.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
6 dalem.ps . . . . . . 7 (πœ“ ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
7 dalem38.m . . . . . . 7 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
8 dalem38.o . . . . . . 7 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
9 dalem38.z . . . . . . 7 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
10 dalem38.g . . . . . . 7 𝐺 = ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆))
112, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 9, 10dalem28 39205 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑃 ≀ (𝐺 ∨ 𝑐))
12 dalem38.h . . . . . . 7 𝐻 = ((𝑐 ∨ 𝑄) ∧ (𝑑 ∨ 𝑇))
132, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 9, 12dalem33 39210 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑄 ≀ (𝐻 ∨ 𝑐))
142dalemkelat 39129 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Lat)
15143ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
162, 5dalempeb 39144 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
17163ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
182dalemkehl 39128 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ HL)
19183ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐾 ∈ HL)
202, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 9, 10dalem23 39201 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
216dalemccea 39188 . . . . . . . . 9 (πœ“ β†’ 𝑐 ∈ 𝐴)
22213ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑐 ∈ 𝐴)
23 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2423, 4, 5hlatjcl 38871 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ (𝐺 ∨ 𝑐) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2519, 20, 22, 24syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝐺 ∨ 𝑐) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
262, 5dalemqeb 39145 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
27263ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
282, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 9, 12dalem29 39206 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐻 ∈ 𝐴)
2923, 4, 5hlatjcl 38871 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐻 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ (𝐻 ∨ 𝑐) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3019, 28, 22, 29syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝐻 ∨ 𝑐) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3123, 3, 4latjlej12 18454 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝐺 ∨ 𝑐) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝐻 ∨ 𝑐) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑃 ≀ (𝐺 ∨ 𝑐) ∧ 𝑄 ≀ (𝐻 ∨ 𝑐)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ≀ ((𝐺 ∨ 𝑐) ∨ (𝐻 ∨ 𝑐))))
3215, 17, 25, 27, 30, 31syl122anc 1376 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑃 ≀ (𝐺 ∨ 𝑐) ∧ 𝑄 ≀ (𝐻 ∨ 𝑐)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ≀ ((𝐺 ∨ 𝑐) ∨ (𝐻 ∨ 𝑐))))
3311, 13, 32mp2and 697 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ≀ ((𝐺 ∨ 𝑐) ∨ (𝐻 ∨ 𝑐)))
3423, 5atbase 38793 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ 𝐴 β†’ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3520, 34syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3623, 5atbase 38793 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ 𝐴 β†’ 𝐻 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3728, 36syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐻 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
386, 5dalemcceb 39194 . . . . . . 7 (πœ“ β†’ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
39383ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4023, 4latjjdir 18491 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐺 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝐻 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝑐) = ((𝐺 ∨ 𝑐) ∨ (𝐻 ∨ 𝑐)))
4115, 35, 37, 39, 40syl13anc 1369 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝑐) = ((𝐺 ∨ 𝑐) ∨ (𝐻 ∨ 𝑐)))
4233, 41breqtrrd 5180 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ≀ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝑐))
43 dalem38.i . . . . 5 𝐼 = ((𝑐 ∨ 𝑅) ∧ (𝑑 ∨ π‘ˆ))
442, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 9, 43dalem37 39214 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑅 ≀ (𝐼 ∨ 𝑐))
452, 4, 5dalempjqeb 39150 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
46453ad2ant1 1130 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4723, 4, 5hlatjcl 38871 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴) β†’ (𝐺 ∨ 𝐻) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4819, 20, 28, 47syl3anc 1368 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝐺 ∨ 𝐻) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4923, 4latjcl 18438 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐺 ∨ 𝐻) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝑐) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5015, 48, 39, 49syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝑐) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
512, 5dalemreb 39146 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
52513ad2ant1 1130 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
532, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 9, 43dalem34 39211 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐼 ∈ 𝐴)
5423, 4, 5hlatjcl 38871 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐼 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ (𝐼 ∨ 𝑐) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5519, 53, 22, 54syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝐼 ∨ 𝑐) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5623, 3, 4latjlej12 18454 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝑐) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝐼 ∨ 𝑐) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ≀ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝑐) ∧ 𝑅 ≀ (𝐼 ∨ 𝑐)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ (((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝑐) ∨ (𝐼 ∨ 𝑐))))
5715, 46, 50, 52, 55, 56syl122anc 1376 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ≀ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝑐) ∧ 𝑅 ≀ (𝐼 ∨ 𝑐)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ (((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝑐) ∨ (𝐼 ∨ 𝑐))))
5842, 44, 57mp2and 697 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ (((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝑐) ∨ (𝐼 ∨ 𝑐)))
5923, 5atbase 38793 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝐴 β†’ 𝐼 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6053, 59syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐼 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6123, 4latjjdir 18491 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝐼 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∨ 𝑐) = (((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝑐) ∨ (𝐼 ∨ 𝑐)))
6215, 48, 60, 39, 61syl13anc 1369 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∨ 𝑐) = (((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝑐) ∨ (𝐼 ∨ 𝑐)))
6358, 62breqtrrd 5180 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ (((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∨ 𝑐))
641, 63eqbrtrid 5187 1 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ π‘Œ ≀ (((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∨ 𝑐))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  lecple 17247  joincjn 18310  meetcmee 18311  Latclat 18430  Atomscatm 38767  HLchlt 38854  LPlanesclpl 38997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-lat 18431  df-clat 18498  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-llines 39003  df-lplanes 39004
This theorem is referenced by:  dalem39  39216
  Copyright terms: Public domain W3C validator