Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalemswapyzps Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalemswapyzps 38199
Description: Lemma for dath 38245. Swap the π‘Œ and 𝑍 planes, along with dummy concurrency (center of perspectivity) atoms 𝑐 and 𝑑, to allow reuse of analogous proofs. (Contributed by NM, 17-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalem.ph (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
dalem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dalem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dalem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dalem.ps (πœ“ ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
Assertion
Ref Expression
dalemswapyzps ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ 𝑍 ∧ (𝑐 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑐 ≀ 𝑍 ∧ 𝐢 ≀ (𝑑 ∨ 𝑐))))

Proof of Theorem dalemswapyzps
StepHypRef Expression
1 dalem.ps . . . . 5 (πœ“ ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
21dalemddea 38193 . . . 4 (πœ“ β†’ 𝑑 ∈ 𝐴)
31dalemccea 38192 . . . 4 (πœ“ β†’ 𝑐 ∈ 𝐴)
42, 3jca 513 . . 3 (πœ“ β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴))
543ad2ant3 1136 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴))
61dalem-ddly 38195 . . . 4 (πœ“ β†’ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ)
763ad2ant3 1136 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ)
8 simp2 1138 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ π‘Œ = 𝑍)
98breq2d 5118 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑑 ≀ π‘Œ ↔ 𝑑 ≀ 𝑍))
107, 9mtbid 324 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ Β¬ 𝑑 ≀ 𝑍)
111dalemccnedd 38196 . . . 4 (πœ“ β†’ 𝑐 β‰  𝑑)
12113ad2ant3 1136 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑐 β‰  𝑑)
131dalem-ccly 38194 . . . . 5 (πœ“ β†’ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ)
14133ad2ant3 1136 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ)
158breq2d 5118 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑐 ≀ π‘Œ ↔ 𝑐 ≀ 𝑍))
1614, 15mtbid 324 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ Β¬ 𝑐 ≀ 𝑍)
171dalemclccjdd 38197 . . . . 5 (πœ“ β†’ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))
18173ad2ant3 1136 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))
19 dalem.ph . . . . . . 7 (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
2019dalemkehl 38132 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ HL)
21203ad2ant1 1134 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2233ad2ant3 1136 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑐 ∈ 𝐴)
2323ad2ant3 1136 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑑 ∈ 𝐴)
24 dalem.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
25 dalem.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
2624, 25hlatjcom 37876 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (𝑐 ∨ 𝑑) = (𝑑 ∨ 𝑐))
2721, 22, 23, 26syl3anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑐 ∨ 𝑑) = (𝑑 ∨ 𝑐))
2818, 27breqtrd 5132 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐢 ≀ (𝑑 ∨ 𝑐))
2912, 16, 283jca 1129 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑐 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑐 ≀ 𝑍 ∧ 𝐢 ≀ (𝑑 ∨ 𝑐)))
305, 10, 293jca 1129 1 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ 𝑍 ∧ (𝑐 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑐 ≀ 𝑍 ∧ 𝐢 ≀ (𝑑 ∨ 𝑐))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  lecple 17145  joincjn 18205  Atomscatm 37771  HLchlt 37858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-lub 18240  df-join 18242  df-lat 18326  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830  df-hlat 37859
This theorem is referenced by:  dalem56  38237
  Copyright terms: Public domain W3C validator