Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalemswapyzps Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dalemswapyzps 39100
Description: Lemma for dath 39146. Swap the π‘Œ and 𝑍 planes, along with dummy concurrency (center of perspectivity) atoms 𝑐 and 𝑑, to allow reuse of analogous proofs. (Contributed by NM, 17-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalem.ph (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
dalem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dalem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dalem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dalem.ps (πœ“ ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
Assertion
Ref Expression
dalemswapyzps ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ 𝑍 ∧ (𝑐 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑐 ≀ 𝑍 ∧ 𝐢 ≀ (𝑑 ∨ 𝑐))))
Proof of Theorem dalemswapyzps
StepHypRef Expression
1 dalem.ps . . . . 5 (πœ“ ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
21dalemddea 39094 . . . 4 (πœ“ β†’ 𝑑 ∈ 𝐴)
31dalemccea 39093 . . . 4 (πœ“ β†’ 𝑐 ∈ 𝐴)
42, 3jca 511 . . 3 (πœ“ β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴))
543ad2ant3 1133 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴))
61dalem-ddly 39096 . . . 4 (πœ“ β†’ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ)
763ad2ant3 1133 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ)
8 simp2 1135 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ π‘Œ = 𝑍)
98breq2d 5154 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑑 ≀ π‘Œ ↔ 𝑑 ≀ 𝑍))
107, 9mtbid 324 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ Β¬ 𝑑 ≀ 𝑍)
111dalemccnedd 39097 . . . 4 (πœ“ β†’ 𝑐 β‰  𝑑)
12113ad2ant3 1133 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑐 β‰  𝑑)
131dalem-ccly 39095 . . . . 5 (πœ“ β†’ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ)
14133ad2ant3 1133 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ)
158breq2d 5154 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑐 ≀ π‘Œ ↔ 𝑐 ≀ 𝑍))
1614, 15mtbid 324 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ Β¬ 𝑐 ≀ 𝑍)
171dalemclccjdd 39098 . . . . 5 (πœ“ β†’ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))
18173ad2ant3 1133 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))
19 dalem.ph . . . . . . 7 (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
2019dalemkehl 39033 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ HL)
21203ad2ant1 1131 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2233ad2ant3 1133 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑐 ∈ 𝐴)
2323ad2ant3 1133 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑑 ∈ 𝐴)
24 dalem.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
25 dalem.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
2624, 25hlatjcom 38777 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (𝑐 ∨ 𝑑) = (𝑑 ∨ 𝑐))
2721, 22, 23, 26syl3anc 1369 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑐 ∨ 𝑑) = (𝑑 ∨ 𝑐))
2818, 27breqtrd 5168 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐢 ≀ (𝑑 ∨ 𝑐))
2912, 16, 283jca 1126 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑐 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑐 ≀ 𝑍 ∧ 𝐢 ≀ (𝑑 ∨ 𝑐)))
305, 10, 293jca 1126 1 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ 𝑍 ∧ (𝑐 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑐 ≀ 𝑍 ∧ 𝐢 ≀ (𝑑 ∨ 𝑐))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17171  lecple 17231  joincjn 18294  Atomscatm 38672  HLchlt 38759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-lub 18329  df-join 18331  df-lat 18415  df-ats 38676  df-atl 38707  df-cvlat 38731  df-hlat 38760
This theorem is referenced by:  dalem56  39138
  Copyright terms: Public domain W3C validator