Theorem dalem21 38868

Description: Lemma for dath 38910. Show that lines 𝑐𝑑 and 𝑃𝑆 intersect at an atom. (Contributed by NM, 2-Aug-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
dalem.ph	⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
dalem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dalem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dalem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalem.ps	⊢ (𝜓 ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑))))
dalem21.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dalem21.o	⊢ 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
dalem21.y	⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
dalem21.z	⊢ 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dalem21	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → ((𝑐 ∨ 𝑑) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem dalem21

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dalem.ph	. . . 4 ⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
2	1	dalemkehl 38797	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
3	2	3ad2ant1 1131	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → 𝐾 ∈ HL)
4		dalem.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
5		dalem.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
6		dalem.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		dalem.ps	. . . 4 ⊢ (𝜓 ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑))))
8	1, 4, 5, 6, 7	dalemcjden 38866	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑐 ∨ 𝑑) ∈ (LLines‘𝐾))
9	8	3adant2 1129	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → (𝑐 ∨ 𝑑) ∈ (LLines‘𝐾))
10		dalem21.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
11		dalem21.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
12	1, 4, 5, 6, 10, 11	dalempjsen 38827	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
13	12	3ad2ant1 1131	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
14	1, 4, 5, 6, 10, 11	dalemply 38828	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ 𝑌)
15	14	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) → 𝑃 ≤ 𝑌)
16		dalem21.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)
17	1, 4, 5, 6, 16	dalemsly 38829	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) → 𝑆 ≤ 𝑌)
18	1	dalemkelat 38798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
19	1, 6	dalempeb 38813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
20	1, 6	dalemseb 38816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
21	1, 10	dalemyeb 38823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
22		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
23	22, 4, 5	latjle12 18407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 ≤ 𝑌 ∧ 𝑆 ≤ 𝑌) ↔ (𝑃 ∨ 𝑆) ≤ 𝑌))
24	18, 19, 20, 21, 23	syl13anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ≤ 𝑌 ∧ 𝑆 ≤ 𝑌) ↔ (𝑃 ∨ 𝑆) ≤ 𝑌))
25	24	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) → ((𝑃 ≤ 𝑌 ∧ 𝑆 ≤ 𝑌) ↔ (𝑃 ∨ 𝑆) ≤ 𝑌))
26	15, 17, 25	mpbi2and 708	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) → (𝑃 ∨ 𝑆) ≤ 𝑌)
27	26	3adant3 1130	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → (𝑃 ∨ 𝑆) ≤ 𝑌)
28	7	dalem-ccly 38859	. . . . . . 7 ⊢ (𝜓 → ¬ 𝑐 ≤ 𝑌)
29	28	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ¬ 𝑐 ≤ 𝑌)
30	18	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐾 ∈ Lat)
31	7, 6	dalemcceb 38863	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜓 → 𝑐 ∈ (Base‘𝐾))
32	31	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑐 ∈ (Base‘𝐾))
33	7	dalemddea 38858	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜓 → 𝑑 ∈ 𝐴)
34	22, 6	atbase 38462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 ∈ 𝐴 → 𝑑 ∈ (Base‘𝐾))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜓 → 𝑑 ∈ (Base‘𝐾))
36	35	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑑 ∈ (Base‘𝐾))
37	22, 4, 5	latlej1 18405	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑐 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑))
38	30, 32, 36, 37	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑐 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑))
39		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
40	22, 39	llnbase 38683	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑐 ∨ 𝑑) ∈ (LLines‘𝐾) → (𝑐 ∨ 𝑑) ∈ (Base‘𝐾))
41	8, 40	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑐 ∨ 𝑑) ∈ (Base‘𝐾))
42	21	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
43	22, 4	lattr 18401	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑐 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑐 ∨ 𝑑) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑐 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑) ∧ (𝑐 ∨ 𝑑) ≤ 𝑌) → 𝑐 ≤ 𝑌))
44	30, 32, 41, 42, 43	syl13anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑐 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑) ∧ (𝑐 ∨ 𝑑) ≤ 𝑌) → 𝑐 ≤ 𝑌))
45	38, 44	mpand 691	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑐 ∨ 𝑑) ≤ 𝑌 → 𝑐 ≤ 𝑌))
46	29, 45	mtod 197	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ¬ (𝑐 ∨ 𝑑) ≤ 𝑌)
47	46	3adant2 1129	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → ¬ (𝑐 ∨ 𝑑) ≤ 𝑌)
48		nbrne2 5167	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∨ 𝑆) ≤ 𝑌 ∧ ¬ (𝑐 ∨ 𝑑) ≤ 𝑌) → (𝑃 ∨ 𝑆) ≠ (𝑐 ∨ 𝑑))
49	27, 47, 48	syl2anc 582	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → (𝑃 ∨ 𝑆) ≠ (𝑐 ∨ 𝑑))
50	49	necomd 2994	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → (𝑐 ∨ 𝑑) ≠ (𝑃 ∨ 𝑆))
51		hlatl 38533	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
52	2, 51	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ AtLat)
53	52	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐾 ∈ AtLat)
54	1	dalempea 38800	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
55	1	dalemsea 38803	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴)
56	22, 5, 6	hlatjcl 38540	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
57	2, 54, 55, 56	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
58	57	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
59		dalem21.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
60	22, 59	latmcl 18397	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑐 ∨ 𝑑) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑐 ∨ 𝑑) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
61	30, 41, 58, 60	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑐 ∨ 𝑑) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
62	1, 4, 5, 6, 10, 11	dalemcea 38834	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
63	62	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐶 ∈ 𝐴)
64	7	dalemclccjdd 38862	. . . . . 6 ⊢ (𝜓 → 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑))
65	64	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑))
66	1	dalemclpjs 38808	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆))
67	66	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆))
68	1, 6	dalemceb 38812	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘𝐾))
69	68	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐶 ∈ (Base‘𝐾))
70	22, 4, 59	latlem12 18423	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐶 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑐 ∨ 𝑑) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑) ∧ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆)) ↔ 𝐶 ≤ ((𝑐 ∨ 𝑑) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆))))
71	30, 69, 41, 58, 70	syl13anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑) ∧ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆)) ↔ 𝐶 ≤ ((𝑐 ∨ 𝑑) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆))))
72	65, 67, 71	mpbi2and 708	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐶 ≤ ((𝑐 ∨ 𝑑) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)))
73		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
74	22, 4, 73, 6	atlen0 38483	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ ((𝑐 ∨ 𝑑) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ ((𝑐 ∨ 𝑑) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆))) → ((𝑐 ∨ 𝑑) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ≠ (0.‘𝐾))
75	53, 61, 63, 72, 74	syl31anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑐 ∨ 𝑑) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ≠ (0.‘𝐾))
76	75	3adant2 1129	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → ((𝑐 ∨ 𝑑) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ≠ (0.‘𝐾))
77	59, 73, 6, 39	2llnmat 38698	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑐 ∨ 𝑑) ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾)) ∧ ((𝑐 ∨ 𝑑) ≠ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ((𝑐 ∨ 𝑑) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ≠ (0.‘𝐾))) → ((𝑐 ∨ 𝑑) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴)
78	3, 9, 13, 50, 76, 77	syl32anc 1376	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → ((𝑐 ∨ 𝑑) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938   class class class wbr 5147  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  lecple 17208  joincjn 18268  meetcmee 18269  0.cp0 18380  Latclat 18388  Atomscatm 38436  AtLatcal 38437  HLchlt 38523  LLinesclln 38665  LPlanesclpl 38666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-llines 38672  df-lplanes 38673

This theorem is referenced by:  dalem22  38869