Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem21 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalem21 38503
Description: Lemma for dath 38545. Show that lines 𝑐𝑑 and 𝑃𝑆 intersect at an atom. (Contributed by NM, 2-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalem.ph (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
dalem.l = (le‘𝐾)
dalem.j = (join‘𝐾)
dalem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalem.ps (𝜓 ↔ ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ ¬ 𝑐 𝑌 ∧ (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 (𝑐 𝑑))))
dalem21.m = (meet‘𝐾)
dalem21.o 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
dalem21.y 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
dalem21.z 𝑍 = ((𝑆 𝑇) 𝑈)
Assertion
Ref Expression
dalem21 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → ((𝑐 𝑑) (𝑃 𝑆)) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem dalem21
StepHypRef Expression
1 dalem.ph . . . 4 (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
21dalemkehl 38432 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ HL)
323ad2ant1 1134 . 2 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝐾 ∈ HL)
4 dalem.l . . . 4 = (le‘𝐾)
5 dalem.j . . . 4 = (join‘𝐾)
6 dalem.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 dalem.ps . . . 4 (𝜓 ↔ ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ ¬ 𝑐 𝑌 ∧ (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 (𝑐 𝑑))))
81, 4, 5, 6, 7dalemcjden 38501 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑐 𝑑) ∈ (LLines‘𝐾))
983adant2 1132 . 2 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → (𝑐 𝑑) ∈ (LLines‘𝐾))
10 dalem21.o . . . 4 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
11 dalem21.y . . . 4 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
121, 4, 5, 6, 10, 11dalempjsen 38462 . . 3 (𝜑 → (𝑃 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
13123ad2ant1 1134 . 2 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → (𝑃 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
141, 4, 5, 6, 10, 11dalemply 38463 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 𝑌)
1514adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 = 𝑍) → 𝑃 𝑌)
16 dalem21.z . . . . . . 7 𝑍 = ((𝑆 𝑇) 𝑈)
171, 4, 5, 6, 16dalemsly 38464 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 = 𝑍) → 𝑆 𝑌)
181dalemkelat 38433 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ Lat)
191, 6dalempeb 38448 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
201, 6dalemseb 38451 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
211, 10dalemyeb 38458 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
22 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2322, 4, 5latjle12 18399 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 𝑌𝑆 𝑌) ↔ (𝑃 𝑆) 𝑌))
2418, 19, 20, 21, 23syl13anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃 𝑌𝑆 𝑌) ↔ (𝑃 𝑆) 𝑌))
2524adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 = 𝑍) → ((𝑃 𝑌𝑆 𝑌) ↔ (𝑃 𝑆) 𝑌))
2615, 17, 25mpbi2and 711 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = 𝑍) → (𝑃 𝑆) 𝑌)
27263adant3 1133 . . . 4 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → (𝑃 𝑆) 𝑌)
287dalem-ccly 38494 . . . . . . 7 (𝜓 → ¬ 𝑐 𝑌)
2928adantl 483 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → ¬ 𝑐 𝑌)
3018adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → 𝐾 ∈ Lat)
317, 6dalemcceb 38498 . . . . . . . . 9 (𝜓𝑐 ∈ (Base‘𝐾))
3231adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → 𝑐 ∈ (Base‘𝐾))
337dalemddea 38493 . . . . . . . . . 10 (𝜓𝑑𝐴)
3422, 6atbase 38097 . . . . . . . . . 10 (𝑑𝐴𝑑 ∈ (Base‘𝐾))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜓𝑑 ∈ (Base‘𝐾))
3635adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → 𝑑 ∈ (Base‘𝐾))
3722, 4, 5latlej1 18397 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑐 (𝑐 𝑑))
3830, 32, 36, 37syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → 𝑐 (𝑐 𝑑))
39 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
4022, 39llnbase 38318 . . . . . . . . 9 ((𝑐 𝑑) ∈ (LLines‘𝐾) → (𝑐 𝑑) ∈ (Base‘𝐾))
418, 40syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (𝑐 𝑑) ∈ (Base‘𝐾))
4221adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
4322, 4lattr 18393 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑐 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑐 𝑑) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑐 (𝑐 𝑑) ∧ (𝑐 𝑑) 𝑌) → 𝑐 𝑌))
4430, 32, 41, 42, 43syl13anc 1373 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → ((𝑐 (𝑐 𝑑) ∧ (𝑐 𝑑) 𝑌) → 𝑐 𝑌))
4538, 44mpand 694 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → ((𝑐 𝑑) 𝑌𝑐 𝑌))
4629, 45mtod 197 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → ¬ (𝑐 𝑑) 𝑌)
47463adant2 1132 . . . 4 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → ¬ (𝑐 𝑑) 𝑌)
48 nbrne2 5167 . . . 4 (((𝑃 𝑆) 𝑌 ∧ ¬ (𝑐 𝑑) 𝑌) → (𝑃 𝑆) ≠ (𝑐 𝑑))
4927, 47, 48syl2anc 585 . . 3 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → (𝑃 𝑆) ≠ (𝑐 𝑑))
5049necomd 2997 . 2 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → (𝑐 𝑑) ≠ (𝑃 𝑆))
51 hlatl 38168 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
522, 51syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ AtLat)
5352adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 𝐾 ∈ AtLat)
541dalempea 38435 . . . . . . 7 (𝜑𝑃𝐴)
551dalemsea 38438 . . . . . . 7 (𝜑𝑆𝐴)
5622, 5, 6hlatjcl 38175 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑆𝐴) → (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
572, 54, 55, 56syl3anc 1372 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
5857adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
59 dalem21.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
6022, 59latmcl 18389 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑐 𝑑) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑐 𝑑) (𝑃 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
6130, 41, 58, 60syl3anc 1372 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((𝑐 𝑑) (𝑃 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
621, 4, 5, 6, 10, 11dalemcea 38469 . . . . 5 (𝜑𝐶𝐴)
6362adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 𝐶𝐴)
647dalemclccjdd 38497 . . . . . 6 (𝜓𝐶 (𝑐 𝑑))
6564adantl 483 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝐶 (𝑐 𝑑))
661dalemclpjs 38443 . . . . . 6 (𝜑𝐶 (𝑃 𝑆))
6766adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝐶 (𝑃 𝑆))
681, 6dalemceb 38447 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ (Base‘𝐾))
6968adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝐶 ∈ (Base‘𝐾))
7022, 4, 59latlem12 18415 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐶 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑐 𝑑) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝐶 (𝑐 𝑑) ∧ 𝐶 (𝑃 𝑆)) ↔ 𝐶 ((𝑐 𝑑) (𝑃 𝑆))))
7130, 69, 41, 58, 70syl13anc 1373 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → ((𝐶 (𝑐 𝑑) ∧ 𝐶 (𝑃 𝑆)) ↔ 𝐶 ((𝑐 𝑑) (𝑃 𝑆))))
7265, 67, 71mpbi2and 711 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 𝐶 ((𝑐 𝑑) (𝑃 𝑆)))
73 eqid 2733 . . . . 5 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
7422, 4, 73, 6atlen0 38118 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ ((𝑐 𝑑) (𝑃 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐶 ((𝑐 𝑑) (𝑃 𝑆))) → ((𝑐 𝑑) (𝑃 𝑆)) ≠ (0.‘𝐾))
7553, 61, 63, 72, 74syl31anc 1374 . . 3 ((𝜑𝜓) → ((𝑐 𝑑) (𝑃 𝑆)) ≠ (0.‘𝐾))
76753adant2 1132 . 2 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → ((𝑐 𝑑) (𝑃 𝑆)) ≠ (0.‘𝐾))
7759, 73, 6, 392llnmat 38333 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑐 𝑑) ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾)) ∧ ((𝑐 𝑑) ≠ (𝑃 𝑆) ∧ ((𝑐 𝑑) (𝑃 𝑆)) ≠ (0.‘𝐾))) → ((𝑐 𝑑) (𝑃 𝑆)) ∈ 𝐴)
783, 9, 13, 50, 76, 77syl32anc 1379 1 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → ((𝑐 𝑑) (𝑃 𝑆)) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941   class class class wbr 5147  cfv 6540  (class class class)co 7404  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  meetcmee 18261  0.cp0 18372  Latclat 18380  Atomscatm 38071  AtLatcal 38072  HLchlt 38158  LLinesclln 38300  LPlanesclpl 38301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 37984  df-ol 37986  df-oml 37987  df-covers 38074  df-ats 38075  df-atl 38106  df-cvlat 38130  df-hlat 38159  df-llines 38307  df-lplanes 38308
This theorem is referenced by:  dalem22  38504
  Copyright terms: Public domain W3C validator