Theorem dffo5 7096

Description: Alternate definition of an onto mapping. (Contributed by NM, 20-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
dffo5	⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 𝑥𝐹𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem dffo5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffo4 7095	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝐹𝑦))
2		rexex 3068	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝐹𝑦 → ∃𝑥 𝑥𝐹𝑦)
3	2	ralimi 3075	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝐹𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 𝑥𝐹𝑦)
4	3	anim2i 616	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝐹𝑦) → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 𝑥𝐹𝑦))
5		ffn 6708	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
6		fnbr 6648	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑥𝐹𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴)
7	6	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥𝐹𝑦 → 𝑥 ∈ 𝐴))
8	5, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝑥𝐹𝑦 → 𝑥 ∈ 𝐴))
9	8	ancrd 551	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝑥𝐹𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝐹𝑦)))
10	9	eximdv 1912	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (∃𝑥 𝑥𝐹𝑦 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝐹𝑦)))
11		df-rex 3063	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝐹𝑦 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝐹𝑦))
12	10, 11	imbitrrdi 251	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (∃𝑥 𝑥𝐹𝑦 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝐹𝑦))
13	12	ralimdv 3161	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 𝑥𝐹𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝐹𝑦))
14	13	imdistani 568	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 𝑥𝐹𝑦) → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝐹𝑦))
15	4, 14	impbii 208	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝐹𝑦) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 𝑥𝐹𝑦))
16	1, 15	bitri 275	1 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 𝑥𝐹𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098  ∀wral 3053  ∃wrex 3062   class class class wbr 5139   Fn wfn 6529  ⟶wf 6530  –onto→wfo 6532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-fo 6540  df-fv 6542

This theorem is referenced by: (None)