Theorem discsubclem 49174

Description: Lemma for discsubc 49175. (Contributed by Zhi Wang, 1-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
discsubc.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝑦, {(𝐼‘𝑥)}, ∅))

Assertion

Ref	Expression
discsubclem	⊢ 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆)

Distinct variable group:   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem discsubclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		discsubc.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝑦, {(𝐼‘𝑥)}, ∅))
2		snex 5372	. . 3 ⊢ {(𝐼‘𝑥)} ∈ V
3		0ex 5243	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
4	2, 3	ifex 4523	. 2 ⊢ if(𝑥 = 𝑦, {(𝐼‘𝑥)}, ∅) ∈ V
5	1, 4	fnmpoi 8002	1 ⊢ 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆)

Syntax hints:   = wceq 1541  ∅c0 4280  ifcif 4472  {csn 4573   × cxp 5612   Fn wfn 6476  ‘cfv 6481   ∈ cmpo 7348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922

This theorem is referenced by:  discsubc  49175  iinfconstbaslem  49176