Theorem discsubclem 49042

Description: Lemma for discsubc 49043. (Contributed by Zhi Wang, 1-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
discsubc.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝑦, {(𝐼‘𝑥)}, ∅))

Assertion

Ref	Expression
discsubclem	⊢ 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆)

Distinct variable group:   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem discsubclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		discsubc.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝑦, {(𝐼‘𝑥)}, ∅))
2		snex 5393	. . 3 ⊢ {(𝐼‘𝑥)} ∈ V
3		0ex 5264	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
4	2, 3	ifex 4541	. 2 ⊢ if(𝑥 = 𝑦, {(𝐼‘𝑥)}, ∅) ∈ V
5	1, 4	fnmpoi 8051	1 ⊢ 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆)

Syntax hints:   = wceq 1540  ∅c0 4298  ifcif 4490  {csn 4591   × cxp 5638   Fn wfn 6508  ‘cfv 6513   ∈ cmpo 7391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pr 5389  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-fv 6521  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-1st 7970  df-2nd 7971

This theorem is referenced by:  discsubc  49043  iinfconstbaslem  49044