Theorem discsubclem 49900

Description: Lemma for discsubc 49901. (Contributed by Zhi Wang, 1-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
discsubc.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝑦, {(𝐼‘𝑥)}, ∅))

Assertion

Ref	Expression
discsubclem	⊢ 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆)

Distinct variable group:   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥, 𝑦)   𝐽(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem discsubclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		discsubc.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝑦, {(𝐼‘𝑥)}, ∅))
2		snex 5412	. . 3 ⊢ {(𝐼‘𝑥)} ∈ V
3		0ex 5272	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
4	2, 3	ifex 4540	. 2 ⊢ if(𝑥 = 𝑦, {(𝐼‘𝑥)}, ∅) ∈ V
5	1, 4	fnmpoi 8073	1 ⊢ 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ∅c0 4286  ifcif 4489  {csn 4591   × cxp 5661   Fn wfn 6535  ‘cfv 6540   ∈ cmpo 7421

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7992  df-2nd 7993

This theorem is used by:  discsubc  49901  iinfconstbaslem  49902