Theorem discsubclem 49553

Description: Lemma for discsubc 49554. (Contributed by Zhi Wang, 1-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
discsubc.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝑦, {(𝐼‘𝑥)}, ∅))

Assertion

Ref	Expression
discsubclem	⊢ 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆)

Distinct variable group:   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem discsubclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		discsubc.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝑦, {(𝐼‘𝑥)}, ∅))
2		snex 5377	. . 3 ⊢ {(𝐼‘𝑥)} ∈ V
3		0ex 5243	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
4	2, 3	ifex 4518	. 2 ⊢ if(𝑥 = 𝑦, {(𝐼‘𝑥)}, ∅) ∈ V
5	1, 4	fnmpoi 8017	1 ⊢ 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆)

Syntax hints:   = wceq 1542  ∅c0 4274  ifcif 4467  {csn 4568   × cxp 5623   Fn wfn 6488  ‘cfv 6493   ∈ cmpo 7363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7936  df-2nd 7937

This theorem is referenced by:  discsubc  49554  iinfconstbaslem  49555