Theorem iinfconstbaslem 49555

Description: Lemma for iinfconstbas 49556. (Contributed by Zhi Wang, 1-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
discsubc.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝑦, {(𝐼‘𝑥)}, ∅))
discsubc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
discsubc.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝐶)
discsubc.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
discsubc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
iinfconstbas.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((Subcat‘𝐶) ∩ {𝑗 ∣ 𝑗 Fn (𝑆 × 𝑆)}))

Assertion

Ref	Expression
iinfconstbaslem	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑗,𝐽   𝑆,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑗)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑗)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑗)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑗)   𝐼(𝑗)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem iinfconstbaslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		discsubc.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝑦, {(𝐼‘𝑥)}, ∅))
2		discsubc.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		discsubc.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝐶)
4		discsubc.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
5		discsubc.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6	1, 2, 3, 4, 5	discsubc 49554	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
7	1	discsubclem 49553	. . . . 5 ⊢ 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆)
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
9		fneq1 6584	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → (𝑗 Fn (𝑆 × 𝑆) ↔ 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆)))
10	6, 8, 9	elabd 3625	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ {𝑗 ∣ 𝑗 Fn (𝑆 × 𝑆)})
11	6, 10	elind 4141	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ((Subcat‘𝐶) ∩ {𝑗 ∣ 𝑗 Fn (𝑆 × 𝑆)}))
12		iinfconstbas.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((Subcat‘𝐶) ∩ {𝑗 ∣ 𝑗 Fn (𝑆 × 𝑆)}))
13	11, 12	eleqtrrd 2840	1 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ifcif 4467  {csn 4568   × cxp 5623   Fn wfn 6488  ‘cfv 6493   ∈ cmpo 7363  Basecbs 17173  Catccat 17624  Idccid 17625  Subcatcsubc 17770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-cat 17628  df-cid 17629  df-homf 17630  df-ssc 17771  df-subc 17773

This theorem is referenced by:  iinfconstbas  49556