Theorem iinfconstbaslem 49728

Description: Lemma for iinfconstbas 49729. (Contributed by Zhi Wang, 1-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
discsubc.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝑦, {(𝐼‘𝑥)}, ∅))
discsubc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
discsubc.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝐶)
discsubc.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
discsubc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
iinfconstbas.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((Subcat‘𝐶) ∩ {𝑗 ∣ 𝑗 Fn (𝑆 × 𝑆)}))

Assertion

Ref	Expression
iinfconstbaslem	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑗,𝐽   𝑆,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑗)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑗)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑗)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑗)   𝐼(𝑗)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem iinfconstbaslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		discsubc.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝑦, {(𝐼‘𝑥)}, ∅))
2		discsubc.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		discsubc.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝐶)
4		discsubc.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
5		discsubc.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6	1, 2, 3, 4, 5	discsubc 49727	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
7	1	discsubclem 49726	. . . . 5 ⊢ 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆)
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
9		fneq1 6627	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → (𝑗 Fn (𝑆 × 𝑆) ↔ 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆)))
10	6, 8, 9	elabd 3649	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ {𝑗 ∣ 𝑗 Fn (𝑆 × 𝑆)})
11	6, 10	elind 4161	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ((Subcat‘𝐶) ∩ {𝑗 ∣ 𝑗 Fn (𝑆 × 𝑆)}))
12		iinfconstbas.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((Subcat‘𝐶) ∩ {𝑗 ∣ 𝑗 Fn (𝑆 × 𝑆)}))
13	11, 12	eleqtrrd 2872	1 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {cab 2747   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  ifcif 4492  {csn 4594   × cxp 5660   Fn wfn 6532  ‘cfv 6537   ∈ cmpo 7413  Basecbs 17269  Catccat 17720  Idccid 17721  Subcatcsubc 17866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-cat 17724  df-cid 17725  df-homf 17726  df-ssc 17867  df-subc 17869

This theorem is referenced by:  iinfconstbas  49729