Theorem iinfconstbaslem 49863

Description: Lemma for iinfconstbas 49864. (Contributed by Zhi Wang, 1-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
discsubc.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝑦, {(𝐼‘𝑥)}, ∅))
discsubc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
discsubc.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝐶)
discsubc.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
discsubc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
iinfconstbas.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((Subcat‘𝐶) ∩ {𝑗 ∣ 𝑗 Fn (𝑆 × 𝑆)}))

Assertion

Ref	Expression
iinfconstbaslem	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑗,𝐽   𝑆,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑗)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑗)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑗)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑗)   𝐼(𝑗)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem iinfconstbaslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		discsubc.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝑦, {(𝐼‘𝑥)}, ∅))
2		discsubc.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		discsubc.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝐶)
4		discsubc.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
5		discsubc.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6	1, 2, 3, 4, 5	discsubc 49862	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
7	1	discsubclem 49861	. . . . 5 ⊢ 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆)
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
9		fneq1 6626	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → (𝑗 Fn (𝑆 × 𝑆) ↔ 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆)))
10	6, 8, 9	elabd 3640	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ {𝑗 ∣ 𝑗 Fn (𝑆 × 𝑆)})
11	6, 10	elind 4153	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ((Subcat‘𝐶) ∩ {𝑗 ∣ 𝑗 Fn (𝑆 × 𝑆)}))
12		iinfconstbas.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((Subcat‘𝐶) ∩ {𝑗 ∣ 𝑗 Fn (𝑆 × 𝑆)}))
13	11, 12	eleqtrrd 2866	1 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {cab 2741   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  ifcif 4487  {csn 4589   × cxp 5659   Fn wfn 6531  ‘cfv 6536   ∈ cmpo 7412  Basecbs 17264  Catccat 17715  Idccid 17716  Subcatcsubc 17861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-cat 17719  df-cid 17720  df-homf 17721  df-ssc 17862  df-subc 17864

This theorem is referenced by:  iinfconstbas  49864