Theorem iinfconstbaslem 49902

Description: Lemma for iinfconstbas 49903. (Contributed by Zhi Wang, 1-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
discsubc.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝑦, {(𝐼‘𝑥)}, ∅))
discsubc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
discsubc.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝐶)
discsubc.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
discsubc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
iinfconstbas.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((Subcat‘𝐶) ∩ {𝑗 ∣ 𝑗 Fn (𝑆 × 𝑆)}))

Assertion

Ref	Expression
iinfconstbaslem	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑗,𝐽   𝑆,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑗)   𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑗)   𝐵(𝑥, 𝑦, 𝑗)   𝐶(𝑥, 𝑦, 𝑗)   𝐼(𝑗)   𝐽(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem iinfconstbaslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		discsubc.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝑦, {(𝐼‘𝑥)}, ∅))
2		discsubc.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		discsubc.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝐶)
4		discsubc.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
5		discsubc.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6	1, 2, 3, 4, 5	discsubc 49901	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
7	1	discsubclem 49900	. . . . 5 ⊢ 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆)
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
9		fneq1 6630	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → (𝑗 Fn (𝑆 × 𝑆) ↔ 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆)))
10	6, 8, 9	elabd 3642	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ {𝑗 ∣ 𝑗 Fn (𝑆 × 𝑆)})
11	6, 10	elind 4153	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ((Subcat‘𝐶) ∩ {𝑗 ∣ 𝑗 Fn (𝑆 × 𝑆)}))
12		iinfconstbas.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((Subcat‘𝐶) ∩ {𝑗 ∣ 𝑗 Fn (𝑆 × 𝑆)}))
13	11, 12	eleqtrrd 2868	1 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {cab 2743   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  ifcif 4489  {csn 4591   × cxp 5661   Fn wfn 6535  ‘cfv 6540   ∈ cmpo 7421  Basecbs 17293  Catccat 17744  Idccid 17745  Subcatcsubc 17890

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-cat 17748  df-cid 17749  df-homf 17750  df-ssc 17891  df-subc 17893

This theorem is used by:  iinfconstbas  49903