Theorem dmxrncnvepres2 38557

Description: Domain of the range product with restricted converse epsilon relation. (Contributed by Peter Mazsa, 29-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
dmxrncnvepres2	⊢ dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) = (𝐴 ∩ (dom 𝑅 ∖ {∅}))

Proof of Theorem dmxrncnvepres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmres 5969	. . 3 ⊢ dom (𝑅 ↾ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝑅)
2	1	difeq1i 4072	. 2 ⊢ (dom (𝑅 ↾ 𝐴) ∖ {∅}) = ((𝐴 ∩ dom 𝑅) ∖ {∅})
3		dmxrncnvepres 38556	. 2 ⊢ dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) = (dom (𝑅 ↾ 𝐴) ∖ {∅})
4		indif2 4231	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ (dom 𝑅 ∖ {∅})) = ((𝐴 ∩ dom 𝑅) ∖ {∅})
5	2, 3, 4	3eqtr4i 2767	1 ⊢ dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) = (𝐴 ∩ (dom 𝑅 ∖ {∅}))

Syntax hints:   = wceq 1541   ∖ cdif 3896   ∩ cin 3898  ∅c0 4283  {csn 4578   E cep 5521  ^◡ccnv 5621  dom cdm 5622   ↾ cres 5624   ⋉ cxrn 38314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-eprel 5522  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fo 6496  df-fv 6498  df-oprab 7360  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-xrn 38504

This theorem is referenced by:  dfblockliftmap2  38574