Theorem dmxrncnvepres2 38618

Description: Domain of the range product with restricted converse epsilon relation. (Contributed by Peter Mazsa, 29-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
dmxrncnvepres2	⊢ dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) = (𝐴 ∩ (dom 𝑅 ∖ {∅}))

Proof of Theorem dmxrncnvepres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmres 5971	. . 3 ⊢ dom (𝑅 ↾ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝑅)
2	1	difeq1i 4074	. 2 ⊢ (dom (𝑅 ↾ 𝐴) ∖ {∅}) = ((𝐴 ∩ dom 𝑅) ∖ {∅})
3		dmxrncnvepres 38617	. 2 ⊢ dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) = (dom (𝑅 ↾ 𝐴) ∖ {∅})
4		indif2 4233	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ (dom 𝑅 ∖ {∅})) = ((𝐴 ∩ dom 𝑅) ∖ {∅})
5	2, 3, 4	3eqtr4i 2769	1 ⊢ dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) = (𝐴 ∩ (dom 𝑅 ∖ {∅}))

Syntax hints:   = wceq 1541   ∖ cdif 3898   ∩ cin 3900  ∅c0 4285  {csn 4580   E cep 5523  ^◡ccnv 5623  dom cdm 5624   ↾ cres 5626   ⋉ cxrn 38375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-eprel 5524  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fo 6498  df-fv 6500  df-oprab 7362  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-xrn 38565

This theorem is referenced by:  dfblockliftmap2  38635