Theorem dmxrncnvepres 38683

Description: Domain of the range product with restricted converse epsilon relation. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
dmxrncnvepres	⊢ dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) = (dom (𝑅 ↾ 𝐴) ∖ {∅})

Proof of Theorem dmxrncnvepres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrnres 38676	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ⋉ ◡ E ) ↾ 𝐴) = ((𝑅 ↾ 𝐴) ⋉ ◡ E )
2		xrnres2 38677	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ⋉ ◡ E ) ↾ 𝐴) = (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴))
3	1, 2	eqtr3i 2762	. . 3 ⊢ ((𝑅 ↾ 𝐴) ⋉ ◡ E ) = (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴))
4	3	dmeqi 5861	. 2 ⊢ dom ((𝑅 ↾ 𝐴) ⋉ ◡ E ) = dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴))
5		dmxrncnvep 38640	. 2 ⊢ dom ((𝑅 ↾ 𝐴) ⋉ ◡ E ) = (dom (𝑅 ↾ 𝐴) ∖ {∅})
6	4, 5	eqtr3i 2762	1 ⊢ dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) = (dom (𝑅 ↾ 𝐴) ∖ {∅})

Syntax hints:   = wceq 1542   ∖ cdif 3900  ∅c0 4287  {csn 4582   E cep 5531  ^◡ccnv 5631  dom cdm 5632   ↾ cres 5634   ⋉ cxrn 38425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-eprel 5532  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fo 6506  df-fv 6508  df-oprab 7372  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-xrn 38631

This theorem is referenced by:  dmxrncnvepres2  38684  eldmxrncnvepres  38685  eldmxrncnvepres2  38686