Theorem dmxrncnvepres 38799

Description: Domain of the range product with restricted converse epsilon relation. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
dmxrncnvepres	⊢ dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) = (dom (𝑅 ↾ 𝐴) ∖ {∅})

Proof of Theorem dmxrncnvepres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrnres 38792	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ⋉ ◡ E ) ↾ 𝐴) = ((𝑅 ↾ 𝐴) ⋉ ◡ E )
2		xrnres2 38793	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ⋉ ◡ E ) ↾ 𝐴) = (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴))
3	1, 2	eqtr3i 2764	. . 3 ⊢ ((𝑅 ↾ 𝐴) ⋉ ◡ E ) = (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴))
4	3	dmeqi 5846	. 2 ⊢ dom ((𝑅 ↾ 𝐴) ⋉ ◡ E ) = dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴))
5		dmxrncnvep 38756	. 2 ⊢ dom ((𝑅 ↾ 𝐴) ⋉ ◡ E ) = (dom (𝑅 ↾ 𝐴) ∖ {∅})
6	4, 5	eqtr3i 2764	1 ⊢ dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) = (dom (𝑅 ↾ 𝐴) ∖ {∅})

Syntax hints:   = wceq 1547   ∖ cdif 3880  ∅c0 4261  {csn 4555   E cep 5517  ^◡ccnv 5617  dom cdm 5618   ↾ cres 5620   ⋉ cxrn 38541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-eprel 5518  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-fo 6491  df-fv 6493  df-oprab 7360  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-xrn 38747

This theorem is referenced by:  dmxrncnvepres2  38800  eldmxrncnvepres  38801  eldmxrncnvepres2  38802