Theorem dmxrncnvepres 38441

Description: Domain of the range product with restricted converse epsilon relation. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
dmxrncnvepres	⊢ dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) = (dom (𝑅 ↾ 𝐴) ∖ {∅})

Proof of Theorem dmxrncnvepres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrnres 38434	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ⋉ ◡ E ) ↾ 𝐴) = ((𝑅 ↾ 𝐴) ⋉ ◡ E )
2		xrnres2 38435	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ⋉ ◡ E ) ↾ 𝐴) = (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴))
3	1, 2	eqtr3i 2756	. . 3 ⊢ ((𝑅 ↾ 𝐴) ⋉ ◡ E ) = (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴))
4	3	dmeqi 5839	. 2 ⊢ dom ((𝑅 ↾ 𝐴) ⋉ ◡ E ) = dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴))
5		dmxrncnvep 38408	. 2 ⊢ dom ((𝑅 ↾ 𝐴) ⋉ ◡ E ) = (dom (𝑅 ↾ 𝐴) ∖ {∅})
6	4, 5	eqtr3i 2756	1 ⊢ dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) = (dom (𝑅 ↾ 𝐴) ∖ {∅})

Syntax hints:   = wceq 1541   ∖ cdif 3894  ∅c0 4278  {csn 4571   E cep 5510  ^◡ccnv 5610  dom cdm 5611   ↾ cres 5613   ⋉ cxrn 38214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pr 5365  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-eprel 5511  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-fo 6482  df-fv 6484  df-oprab 7345  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-xrn 38399

This theorem is referenced by:  eldmxrncnvepres  38442  eldmxrncnvepres2  38443