MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domfin4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domfin4 10246
Description: A set dominated by a Dedekind finite set is Dedekind finite. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
domfin4 ((𝐴 ∈ FinIV𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ FinIV)

Proof of Theorem domfin4
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domeng 8901 . . 3 (𝐴 ∈ FinIV → (𝐵𝐴 ↔ ∃𝑥(𝐵𝑥𝑥𝐴)))
21biimpa 477 . 2 ((𝐴 ∈ FinIV𝐵𝐴) → ∃𝑥(𝐵𝑥𝑥𝐴))
3 ensym 8942 . . . 4 (𝐵𝑥𝑥𝐵)
43ad2antrl 726 . . 3 (((𝐴 ∈ FinIV𝐵𝐴) ∧ (𝐵𝑥𝑥𝐴)) → 𝑥𝐵)
5 ssfin4 10245 . . . 4 ((𝐴 ∈ FinIV𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ FinIV)
65ad2ant2rl 747 . . 3 (((𝐴 ∈ FinIV𝐵𝐴) ∧ (𝐵𝑥𝑥𝐴)) → 𝑥 ∈ FinIV)
7 fin4en1 10244 . . 3 (𝑥𝐵 → (𝑥 ∈ FinIV𝐵 ∈ FinIV))
84, 6, 7sylc 65 . 2 (((𝐴 ∈ FinIV𝐵𝐴) ∧ (𝐵𝑥𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ FinIV)
92, 8exlimddv 1938 1 ((𝐴 ∈ FinIV𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ FinIV)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wex 1781  wcel 2106  wss 3910   class class class wbr 5105  cen 8879  cdom 8880  FinIVcfin4 10215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-er 8647  df-en 8883  df-dom 8884  df-fin4 10222
This theorem is referenced by:  infpssALT  10248
  Copyright terms: Public domain W3C validator