MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domfin4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domfin4 9925
Description: A set dominated by a Dedekind finite set is Dedekind finite. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
domfin4 ((𝐴 ∈ FinIV𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ FinIV)

Proof of Theorem domfin4
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domeng 8642 . . 3 (𝐴 ∈ FinIV → (𝐵𝐴 ↔ ∃𝑥(𝐵𝑥𝑥𝐴)))
21biimpa 480 . 2 ((𝐴 ∈ FinIV𝐵𝐴) → ∃𝑥(𝐵𝑥𝑥𝐴))
3 ensym 8677 . . . 4 (𝐵𝑥𝑥𝐵)
43ad2antrl 728 . . 3 (((𝐴 ∈ FinIV𝐵𝐴) ∧ (𝐵𝑥𝑥𝐴)) → 𝑥𝐵)
5 ssfin4 9924 . . . 4 ((𝐴 ∈ FinIV𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ FinIV)
65ad2ant2rl 749 . . 3 (((𝐴 ∈ FinIV𝐵𝐴) ∧ (𝐵𝑥𝑥𝐴)) → 𝑥 ∈ FinIV)
7 fin4en1 9923 . . 3 (𝑥𝐵 → (𝑥 ∈ FinIV𝐵 ∈ FinIV))
84, 6, 7sylc 65 . 2 (((𝐴 ∈ FinIV𝐵𝐴) ∧ (𝐵𝑥𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ FinIV)
92, 8exlimddv 1943 1 ((𝐴 ∈ FinIV𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ FinIV)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wex 1787  wcel 2110  wss 3866   class class class wbr 5053  cen 8623  cdom 8624  FinIVcfin4 9894
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-fin4 9901
This theorem is referenced by:  infpssALT  9927
  Copyright terms: Public domain W3C validator