Theorem mapdom2 9148

Description: Order-preserving property of set exponentiation. Theorem 6L(d) of [Enderton] p. 149. (Contributed by NM, 23-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mapdom2	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))

Proof of Theorem mapdom2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → 𝐶 = ∅)
2	1	oveq1d 7424	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐶 ↑m 𝐴) = (∅ ↑m 𝐴))
3		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅))
4		idd 24	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅))
5	4, 1	jctird 528	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐴 = ∅ → (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)))
6	3, 5	mtod 197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → ¬ 𝐴 = ∅)
7	6	neqned 2948	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
8		map0b 8877	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∅ ↑m 𝐴) = ∅)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (∅ ↑m 𝐴) = ∅)
10	2, 9	eqtrd 2773	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐶 ↑m 𝐴) = ∅)
11		ovex 7442	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ↑m 𝐵) ∈ V
12	11	0dom 9106	. . . . . 6 ⊢ ∅ ≼ (𝐶 ↑m 𝐵)
13	10, 12	eqbrtrdi 5188	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
14		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ 𝐵)
15		reldom 8945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Rel ≼
16	15	brrelex2i 5734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
17	16	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ V)
18		domeng 8958	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
20	14, 19	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))
21		enrefg 8980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ V → 𝐶 ≈ 𝐶)
22	21	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → 𝐶 ≈ 𝐶)
23		simprrl 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → 𝐴 ≈ 𝑥)
24		mapen 9141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ≈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≈ 𝑥) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≈ (𝐶 ↑m 𝑥))
25	22, 23, 24	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≈ (𝐶 ↑m 𝑥))
26		ovexd 7444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m 𝑥) ∈ V)
27		ovexd 7444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥)) ∈ V)
28		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → 𝐶 ≠ ∅)
29		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → 𝐶 ∈ V)
30	16	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → 𝐵 ∈ V)
31	30	difexd 5330	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐵 ∖ 𝑥) ∈ V)
32		map0g 8878	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ (𝐵 ∖ 𝑥) ∈ V) → ((𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥)) = ∅ ↔ (𝐶 = ∅ ∧ (𝐵 ∖ 𝑥) ≠ ∅)))
33		simpl 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 = ∅ ∧ (𝐵 ∖ 𝑥) ≠ ∅) → 𝐶 = ∅)
34	32, 33	syl6bi 253	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ (𝐵 ∖ 𝑥) ∈ V) → ((𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥)) = ∅ → 𝐶 = ∅))
35	34	necon3d 2962	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ (𝐵 ∖ 𝑥) ∈ V) → (𝐶 ≠ ∅ → (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥)) ≠ ∅))
36	29, 31, 35	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ≠ ∅ → (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥)) ≠ ∅))
37	28, 36	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥)) ≠ ∅)
38		xpdom3 9070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐶 ↑m 𝑥) ∈ V ∧ (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥)) ∈ V ∧ (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥)) ≠ ∅) → (𝐶 ↑m 𝑥) ≼ ((𝐶 ↑m 𝑥) × (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥))))
39	26, 27, 37, 38	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m 𝑥) ≼ ((𝐶 ↑m 𝑥) × (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥))))
40		vex 3479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑥 ∈ V
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → 𝑥 ∈ V)
42		disjdif 4472	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∩ (𝐵 ∖ 𝑥)) = ∅
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝑥 ∩ (𝐵 ∖ 𝑥)) = ∅)
44		mapunen 9146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ V ∧ (𝐵 ∖ 𝑥) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑥 ∩ (𝐵 ∖ 𝑥)) = ∅) → (𝐶 ↑m (𝑥 ∪ (𝐵 ∖ 𝑥))) ≈ ((𝐶 ↑m 𝑥) × (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥))))
45	41, 31, 29, 43, 44	syl31anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m (𝑥 ∪ (𝐵 ∖ 𝑥))) ≈ ((𝐶 ↑m 𝑥) × (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥))))
46	45	ensymd 9001	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → ((𝐶 ↑m 𝑥) × (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥))) ≈ (𝐶 ↑m (𝑥 ∪ (𝐵 ∖ 𝑥))))
47		simprrr 781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
48		undif 4482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ (𝑥 ∪ (𝐵 ∖ 𝑥)) = 𝐵)
49	47, 48	sylib 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝑥 ∪ (𝐵 ∖ 𝑥)) = 𝐵)
50	49	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m (𝑥 ∪ (𝐵 ∖ 𝑥))) = (𝐶 ↑m 𝐵))
51	46, 50	breqtrd 5175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → ((𝐶 ↑m 𝑥) × (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥))) ≈ (𝐶 ↑m 𝐵))
52		domentr 9009	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶 ↑m 𝑥) ≼ ((𝐶 ↑m 𝑥) × (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥))) ∧ ((𝐶 ↑m 𝑥) × (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥))) ≈ (𝐶 ↑m 𝐵)) → (𝐶 ↑m 𝑥) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
53	39, 51, 52	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m 𝑥) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
54		endomtr 9008	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 ↑m 𝐴) ≈ (𝐶 ↑m 𝑥) ∧ (𝐶 ↑m 𝑥) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵)) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
55	25, 53, 54	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
56	55	expr 458	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵)))
57	56	exlimdv 1937	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → (∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵)))
58	20, 57	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
59	58	adantlr 714	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
60	13, 59	pm2.61dane 3030	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
61	60	an32s 651	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
62	61	ex 414	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) → (𝐶 ∈ V → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵)))
63		reldmmap 8829	. . . 4 ⊢ Rel dom ↑m
64	63	ovprc1 7448	. . 3 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (𝐶 ↑m 𝐴) = ∅)
65	64, 12	eqbrtrdi 5188	. 2 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
66	62, 65	pm2.61d1 180	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  ∃wex 1782   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  Vcvv 3475   ∖ cdif 3946   ∪ cun 3947   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323   class class class wbr 5149   × cxp 5675  (class class class)co 7409   ↑_m cmap 8820   ≈ cen 8936   ≼ cdom 8937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941

This theorem is referenced by:  mapdom3  9149  cfpwsdom  10579  hauspwdom  23005