Theorem mapdom2 8672

Description: Order-preserving property of set exponentiation. Theorem 6L(d) of [Enderton] p. 149. (Contributed by NM, 23-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mapdom2	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))

Proof of Theorem mapdom2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → 𝐶 = ∅)
2	1	oveq1d 7150	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐶 ↑m 𝐴) = (∅ ↑m 𝐴))
3		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅))
4		idd 24	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅))
5	4, 1	jctird 530	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐴 = ∅ → (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)))
6	3, 5	mtod 201	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → ¬ 𝐴 = ∅)
7	6	neqned 2994	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
8		map0b 8430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∅ ↑m 𝐴) = ∅)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (∅ ↑m 𝐴) = ∅)
10	2, 9	eqtrd 2833	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐶 ↑m 𝐴) = ∅)
11		ovex 7168	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ↑m 𝐵) ∈ V
12	11	0dom 8631	. . . . . 6 ⊢ ∅ ≼ (𝐶 ↑m 𝐵)
13	10, 12	eqbrtrdi 5069	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
14		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ 𝐵)
15		reldom 8498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Rel ≼
16	15	brrelex2i 5573	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
17	16	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ V)
18		domeng 8506	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
20	14, 19	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))
21		enrefg 8524	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ V → 𝐶 ≈ 𝐶)
22	21	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → 𝐶 ≈ 𝐶)
23		simprrl 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → 𝐴 ≈ 𝑥)
24		mapen 8665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ≈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≈ 𝑥) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≈ (𝐶 ↑m 𝑥))
25	22, 23, 24	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≈ (𝐶 ↑m 𝑥))
26		ovexd 7170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m 𝑥) ∈ V)
27		ovexd 7170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥)) ∈ V)
28		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → 𝐶 ≠ ∅)
29		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → 𝐶 ∈ V)
30	16	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → 𝐵 ∈ V)
31		difexg 5195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∖ 𝑥) ∈ V)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐵 ∖ 𝑥) ∈ V)
33		map0g 8431	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ (𝐵 ∖ 𝑥) ∈ V) → ((𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥)) = ∅ ↔ (𝐶 = ∅ ∧ (𝐵 ∖ 𝑥) ≠ ∅)))
34		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 = ∅ ∧ (𝐵 ∖ 𝑥) ≠ ∅) → 𝐶 = ∅)
35	33, 34	syl6bi 256	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ (𝐵 ∖ 𝑥) ∈ V) → ((𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥)) = ∅ → 𝐶 = ∅))
36	35	necon3d 3008	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ (𝐵 ∖ 𝑥) ∈ V) → (𝐶 ≠ ∅ → (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥)) ≠ ∅))
37	29, 32, 36	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ≠ ∅ → (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥)) ≠ ∅))
38	28, 37	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥)) ≠ ∅)
39		xpdom3 8598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐶 ↑m 𝑥) ∈ V ∧ (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥)) ∈ V ∧ (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥)) ≠ ∅) → (𝐶 ↑m 𝑥) ≼ ((𝐶 ↑m 𝑥) × (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥))))
40	26, 27, 38, 39	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m 𝑥) ≼ ((𝐶 ↑m 𝑥) × (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥))))
41		vex 3444	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑥 ∈ V
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → 𝑥 ∈ V)
43		disjdif 4379	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∩ (𝐵 ∖ 𝑥)) = ∅
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝑥 ∩ (𝐵 ∖ 𝑥)) = ∅)
45		mapunen 8670	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ V ∧ (𝐵 ∖ 𝑥) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑥 ∩ (𝐵 ∖ 𝑥)) = ∅) → (𝐶 ↑m (𝑥 ∪ (𝐵 ∖ 𝑥))) ≈ ((𝐶 ↑m 𝑥) × (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥))))
46	42, 32, 29, 44, 45	syl31anc 1370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m (𝑥 ∪ (𝐵 ∖ 𝑥))) ≈ ((𝐶 ↑m 𝑥) × (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥))))
47	46	ensymd 8543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → ((𝐶 ↑m 𝑥) × (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥))) ≈ (𝐶 ↑m (𝑥 ∪ (𝐵 ∖ 𝑥))))
48		simprrr 781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
49		undif 4388	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ (𝑥 ∪ (𝐵 ∖ 𝑥)) = 𝐵)
50	48, 49	sylib 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝑥 ∪ (𝐵 ∖ 𝑥)) = 𝐵)
51	50	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m (𝑥 ∪ (𝐵 ∖ 𝑥))) = (𝐶 ↑m 𝐵))
52	47, 51	breqtrd 5056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → ((𝐶 ↑m 𝑥) × (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥))) ≈ (𝐶 ↑m 𝐵))
53		domentr 8551	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶 ↑m 𝑥) ≼ ((𝐶 ↑m 𝑥) × (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥))) ∧ ((𝐶 ↑m 𝑥) × (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥))) ≈ (𝐶 ↑m 𝐵)) → (𝐶 ↑m 𝑥) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
54	40, 52, 53	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m 𝑥) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
55		endomtr 8550	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 ↑m 𝐴) ≈ (𝐶 ↑m 𝑥) ∧ (𝐶 ↑m 𝑥) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵)) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
56	25, 54, 55	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
57	56	expr 460	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵)))
58	57	exlimdv 1934	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → (∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵)))
59	20, 58	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
60	59	adantlr 714	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
61	13, 60	pm2.61dane 3074	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
62	61	an32s 651	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
63	62	ex 416	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) → (𝐶 ∈ V → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵)))
64		reldmmap 8398	. . . 4 ⊢ Rel dom ↑m
65	64	ovprc1 7174	. . 3 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (𝐶 ↑m 𝐴) = ∅)
66	65, 12	eqbrtrdi 5069	. 2 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
67	63, 66	pm2.61d1 183	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878   ∪ cun 3879   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243   class class class wbr 5030   × cxp 5517  (class class class)co 7135   ↑_m cmap 8389   ≈ cen 8489   ≼ cdom 8490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494

This theorem is referenced by:  mapdom3  8673  cfpwsdom  9995  hauspwdom  22106