Theorem mapdom2 9188

Description: Order-preserving property of set exponentiation. Theorem 6L(d) of [Enderton] p. 149. (Contributed by NM, 23-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mapdom2	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))

Proof of Theorem mapdom2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → 𝐶 = ∅)
2	1	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐶 ↑m 𝐴) = (∅ ↑m 𝐴))
3		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅))
4		idd 24	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅))
5	4, 1	jctird 526	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐴 = ∅ → (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)))
6	3, 5	mtod 198	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → ¬ 𝐴 = ∅)
7	6	neqned 2947	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
8		map0b 8923	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∅ ↑m 𝐴) = ∅)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (∅ ↑m 𝐴) = ∅)
10	2, 9	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐶 ↑m 𝐴) = ∅)
11		ovex 7464	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ↑m 𝐵) ∈ V
12	11	0dom 9146	. . . . . 6 ⊢ ∅ ≼ (𝐶 ↑m 𝐵)
13	10, 12	eqbrtrdi 5182	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
14		simpll 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ 𝐵)
15		reldom 8991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Rel ≼
16	15	brrelex2i 5742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
17	16	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ V)
18		domeng 9003	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
20	14, 19	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))
21		enrefg 9024	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ V → 𝐶 ≈ 𝐶)
22	21	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → 𝐶 ≈ 𝐶)
23		simprrl 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → 𝐴 ≈ 𝑥)
24		mapen 9181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ≈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≈ 𝑥) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≈ (𝐶 ↑m 𝑥))
25	22, 23, 24	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≈ (𝐶 ↑m 𝑥))
26		ovexd 7466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m 𝑥) ∈ V)
27		ovexd 7466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥)) ∈ V)
28		simprl 771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → 𝐶 ≠ ∅)
29		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → 𝐶 ∈ V)
30	16	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → 𝐵 ∈ V)
31	30	difexd 5331	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐵 ∖ 𝑥) ∈ V)
32		map0g 8924	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ (𝐵 ∖ 𝑥) ∈ V) → ((𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥)) = ∅ ↔ (𝐶 = ∅ ∧ (𝐵 ∖ 𝑥) ≠ ∅)))
33		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 = ∅ ∧ (𝐵 ∖ 𝑥) ≠ ∅) → 𝐶 = ∅)
34	32, 33	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ (𝐵 ∖ 𝑥) ∈ V) → ((𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥)) = ∅ → 𝐶 = ∅))
35	34	necon3d 2961	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ (𝐵 ∖ 𝑥) ∈ V) → (𝐶 ≠ ∅ → (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥)) ≠ ∅))
36	29, 31, 35	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ≠ ∅ → (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥)) ≠ ∅))
37	28, 36	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥)) ≠ ∅)
38		xpdom3 9110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐶 ↑m 𝑥) ∈ V ∧ (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥)) ∈ V ∧ (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥)) ≠ ∅) → (𝐶 ↑m 𝑥) ≼ ((𝐶 ↑m 𝑥) × (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥))))
39	26, 27, 37, 38	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m 𝑥) ≼ ((𝐶 ↑m 𝑥) × (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥))))
40		vex 3484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑥 ∈ V
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → 𝑥 ∈ V)
42		disjdif 4472	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∩ (𝐵 ∖ 𝑥)) = ∅
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝑥 ∩ (𝐵 ∖ 𝑥)) = ∅)
44		mapunen 9186	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ V ∧ (𝐵 ∖ 𝑥) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑥 ∩ (𝐵 ∖ 𝑥)) = ∅) → (𝐶 ↑m (𝑥 ∪ (𝐵 ∖ 𝑥))) ≈ ((𝐶 ↑m 𝑥) × (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥))))
45	41, 31, 29, 43, 44	syl31anc 1375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m (𝑥 ∪ (𝐵 ∖ 𝑥))) ≈ ((𝐶 ↑m 𝑥) × (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥))))
46	45	ensymd 9045	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → ((𝐶 ↑m 𝑥) × (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥))) ≈ (𝐶 ↑m (𝑥 ∪ (𝐵 ∖ 𝑥))))
47		simprrr 782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
48		undif 4482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ (𝑥 ∪ (𝐵 ∖ 𝑥)) = 𝐵)
49	47, 48	sylib 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝑥 ∪ (𝐵 ∖ 𝑥)) = 𝐵)
50	49	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m (𝑥 ∪ (𝐵 ∖ 𝑥))) = (𝐶 ↑m 𝐵))
51	46, 50	breqtrd 5169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → ((𝐶 ↑m 𝑥) × (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥))) ≈ (𝐶 ↑m 𝐵))
52		domentr 9053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶 ↑m 𝑥) ≼ ((𝐶 ↑m 𝑥) × (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥))) ∧ ((𝐶 ↑m 𝑥) × (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥))) ≈ (𝐶 ↑m 𝐵)) → (𝐶 ↑m 𝑥) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
53	39, 51, 52	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m 𝑥) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
54		endomtr 9052	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 ↑m 𝐴) ≈ (𝐶 ↑m 𝑥) ∧ (𝐶 ↑m 𝑥) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵)) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
55	25, 53, 54	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
56	55	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵)))
57	56	exlimdv 1933	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → (∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵)))
58	20, 57	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
59	58	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
60	13, 59	pm2.61dane 3029	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
61	60	an32s 652	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
62	61	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) → (𝐶 ∈ V → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵)))
63		reldmmap 8875	. . . 4 ⊢ Rel dom ↑m
64	63	ovprc1 7470	. . 3 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (𝐶 ↑m 𝐴) = ∅)
65	64, 12	eqbrtrdi 5182	. 2 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
66	62, 65	pm2.61d1 180	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  Vcvv 3480   ∖ cdif 3948   ∪ cun 3949   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333   class class class wbr 5143   × cxp 5683  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8866   ≈ cen 8982   ≼ cdom 8983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987

This theorem is referenced by:  mapdom3  9189  cfpwsdom  10624  hauspwdom  23509