Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapdom2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdom2 8687
 Description: Order-preserving property of set exponentiation. Theorem 6L(d) of [Enderton] p. 149. (Contributed by NM, 23-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
mapdom2 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) → (𝐶m 𝐴) ≼ (𝐶m 𝐵))

Proof of Theorem mapdom2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → 𝐶 = ∅)
21oveq1d 7166 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐶m 𝐴) = (∅ ↑m 𝐴))
3 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅))
4 idd 24 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅))
54, 1jctird 530 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐴 = ∅ → (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)))
63, 5mtod 201 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → ¬ 𝐴 = ∅)
76neqned 3021 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
8 map0b 8445 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ ∅ → (∅ ↑m 𝐴) = ∅)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (∅ ↑m 𝐴) = ∅)
102, 9eqtrd 2859 . . . . . 6 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐶m 𝐴) = ∅)
11 ovex 7184 . . . . . . 7 (𝐶m 𝐵) ∈ V
12110dom 8646 . . . . . 6 ∅ ≼ (𝐶m 𝐵)
1310, 12eqbrtrdi 5092 . . . . 5 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐶m 𝐴) ≼ (𝐶m 𝐵))
14 simpll 766 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → 𝐴𝐵)
15 reldom 8513 . . . . . . . . . . 11 Rel ≼
1615brrelex2i 5597 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ V)
18 domeng 8521 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ V → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵)))
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵)))
2014, 19mpbid 235 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵))
21 enrefg 8539 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ V → 𝐶𝐶)
2221ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → 𝐶𝐶)
23 simprrl 780 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → 𝐴𝑥)
24 mapen 8680 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶𝐶𝐴𝑥) → (𝐶m 𝐴) ≈ (𝐶m 𝑥))
2522, 23, 24syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐶m 𝐴) ≈ (𝐶m 𝑥))
26 ovexd 7186 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐶m 𝑥) ∈ V)
27 ovexd 7186 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐶m (𝐵𝑥)) ∈ V)
28 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → 𝐶 ≠ ∅)
29 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → 𝐶 ∈ V)
3016ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → 𝐵 ∈ V)
31 difexg 5218 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ V → (𝐵𝑥) ∈ V)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐵𝑥) ∈ V)
33 map0g 8446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 ∈ V ∧ (𝐵𝑥) ∈ V) → ((𝐶m (𝐵𝑥)) = ∅ ↔ (𝐶 = ∅ ∧ (𝐵𝑥) ≠ ∅)))
34 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 = ∅ ∧ (𝐵𝑥) ≠ ∅) → 𝐶 = ∅)
3533, 34syl6bi 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ V ∧ (𝐵𝑥) ∈ V) → ((𝐶m (𝐵𝑥)) = ∅ → 𝐶 = ∅))
3635necon3d 3035 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ V ∧ (𝐵𝑥) ∈ V) → (𝐶 ≠ ∅ → (𝐶m (𝐵𝑥)) ≠ ∅))
3729, 32, 36syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐶 ≠ ∅ → (𝐶m (𝐵𝑥)) ≠ ∅))
3828, 37mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐶m (𝐵𝑥)) ≠ ∅)
39 xpdom3 8613 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶m 𝑥) ∈ V ∧ (𝐶m (𝐵𝑥)) ∈ V ∧ (𝐶m (𝐵𝑥)) ≠ ∅) → (𝐶m 𝑥) ≼ ((𝐶m 𝑥) × (𝐶m (𝐵𝑥))))
4026, 27, 38, 39syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐶m 𝑥) ≼ ((𝐶m 𝑥) × (𝐶m (𝐵𝑥))))
41 vex 3483 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ V
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → 𝑥 ∈ V)
43 disjdif 4404 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∩ (𝐵𝑥)) = ∅
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝑥 ∩ (𝐵𝑥)) = ∅)
45 mapunen 8685 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ V ∧ (𝐵𝑥) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑥 ∩ (𝐵𝑥)) = ∅) → (𝐶m (𝑥 ∪ (𝐵𝑥))) ≈ ((𝐶m 𝑥) × (𝐶m (𝐵𝑥))))
4642, 32, 29, 44, 45syl31anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐶m (𝑥 ∪ (𝐵𝑥))) ≈ ((𝐶m 𝑥) × (𝐶m (𝐵𝑥))))
4746ensymd 8558 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → ((𝐶m 𝑥) × (𝐶m (𝐵𝑥))) ≈ (𝐶m (𝑥 ∪ (𝐵𝑥))))
48 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → 𝑥𝐵)
49 undif 4413 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐵 ↔ (𝑥 ∪ (𝐵𝑥)) = 𝐵)
5048, 49sylib 221 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝑥 ∪ (𝐵𝑥)) = 𝐵)
5150oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐶m (𝑥 ∪ (𝐵𝑥))) = (𝐶m 𝐵))
5247, 51breqtrd 5079 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → ((𝐶m 𝑥) × (𝐶m (𝐵𝑥))) ≈ (𝐶m 𝐵))
53 domentr 8566 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶m 𝑥) ≼ ((𝐶m 𝑥) × (𝐶m (𝐵𝑥))) ∧ ((𝐶m 𝑥) × (𝐶m (𝐵𝑥))) ≈ (𝐶m 𝐵)) → (𝐶m 𝑥) ≼ (𝐶m 𝐵))
5440, 52, 53syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐶m 𝑥) ≼ (𝐶m 𝐵))
55 endomtr 8565 . . . . . . . . . 10 (((𝐶m 𝐴) ≈ (𝐶m 𝑥) ∧ (𝐶m 𝑥) ≼ (𝐶m 𝐵)) → (𝐶m 𝐴) ≼ (𝐶m 𝐵))
5625, 54, 55syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐶m 𝐴) ≼ (𝐶m 𝐵))
5756expr 460 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → ((𝐴𝑥𝑥𝐵) → (𝐶m 𝐴) ≼ (𝐶m 𝐵)))
5857exlimdv 1935 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → (∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵) → (𝐶m 𝐴) ≼ (𝐶m 𝐵)))
5920, 58mpd 15 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → (𝐶m 𝐴) ≼ (𝐶m 𝐵))
6059adantlr 714 . . . . 5 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → (𝐶m 𝐴) ≼ (𝐶m 𝐵))
6113, 60pm2.61dane 3101 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) → (𝐶m 𝐴) ≼ (𝐶m 𝐵))
6261an32s 651 . . 3 (((𝐴𝐵 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐶m 𝐴) ≼ (𝐶m 𝐵))
6362ex 416 . 2 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) → (𝐶 ∈ V → (𝐶m 𝐴) ≼ (𝐶m 𝐵)))
64 reldmmap 8413 . . . 4 Rel dom ↑m
6564ovprc1 7190 . . 3 𝐶 ∈ V → (𝐶m 𝐴) = ∅)
6665, 12eqbrtrdi 5092 . 2 𝐶 ∈ V → (𝐶m 𝐴) ≼ (𝐶m 𝐵))
6763, 66pm2.61d1 183 1 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) → (𝐶m 𝐴) ≼ (𝐶m 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  Vcvv 3480   ∖ cdif 3916   ∪ cun 3917   ∩ cin 3918   ⊆ wss 3919  ∅c0 4276   class class class wbr 5053   × cxp 5541  (class class class)co 7151   ↑m cmap 8404   ≈ cen 8504   ≼ cdom 8505 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-er 8287  df-map 8406  df-en 8508  df-dom 8509 This theorem is referenced by:  mapdom3  8688  cfpwsdom  10006  hauspwdom  22115
 Copyright terms: Public domain W3C validator