Theorem mapdom2 8884

Description: Order-preserving property of set exponentiation. Theorem 6L(d) of [Enderton] p. 149. (Contributed by NM, 23-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mapdom2	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))

Proof of Theorem mapdom2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → 𝐶 = ∅)
2	1	oveq1d 7270	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐶 ↑m 𝐴) = (∅ ↑m 𝐴))
3		simplr 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅))
4		idd 24	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅))
5	4, 1	jctird 526	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐴 = ∅ → (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)))
6	3, 5	mtod 197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → ¬ 𝐴 = ∅)
7	6	neqned 2949	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
8		map0b 8629	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∅ ↑m 𝐴) = ∅)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (∅ ↑m 𝐴) = ∅)
10	2, 9	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐶 ↑m 𝐴) = ∅)
11		ovex 7288	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ↑m 𝐵) ∈ V
12	11	0dom 8843	. . . . . 6 ⊢ ∅ ≼ (𝐶 ↑m 𝐵)
13	10, 12	eqbrtrdi 5109	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
14		simpll 763	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ 𝐵)
15		reldom 8697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Rel ≼
16	15	brrelex2i 5635	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
17	16	ad2antrr 722	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ V)
18		domeng 8707	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
20	14, 19	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))
21		enrefg 8727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ V → 𝐶 ≈ 𝐶)
22	21	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → 𝐶 ≈ 𝐶)
23		simprrl 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → 𝐴 ≈ 𝑥)
24		mapen 8877	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ≈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≈ 𝑥) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≈ (𝐶 ↑m 𝑥))
25	22, 23, 24	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≈ (𝐶 ↑m 𝑥))
26		ovexd 7290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m 𝑥) ∈ V)
27		ovexd 7290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥)) ∈ V)
28		simprl 767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → 𝐶 ≠ ∅)
29		simplr 765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → 𝐶 ∈ V)
30	16	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → 𝐵 ∈ V)
31	30	difexd 5248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐵 ∖ 𝑥) ∈ V)
32		map0g 8630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ (𝐵 ∖ 𝑥) ∈ V) → ((𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥)) = ∅ ↔ (𝐶 = ∅ ∧ (𝐵 ∖ 𝑥) ≠ ∅)))
33		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 = ∅ ∧ (𝐵 ∖ 𝑥) ≠ ∅) → 𝐶 = ∅)
34	32, 33	syl6bi 252	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ (𝐵 ∖ 𝑥) ∈ V) → ((𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥)) = ∅ → 𝐶 = ∅))
35	34	necon3d 2963	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ (𝐵 ∖ 𝑥) ∈ V) → (𝐶 ≠ ∅ → (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥)) ≠ ∅))
36	29, 31, 35	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ≠ ∅ → (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥)) ≠ ∅))
37	28, 36	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥)) ≠ ∅)
38		xpdom3 8810	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐶 ↑m 𝑥) ∈ V ∧ (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥)) ∈ V ∧ (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥)) ≠ ∅) → (𝐶 ↑m 𝑥) ≼ ((𝐶 ↑m 𝑥) × (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥))))
39	26, 27, 37, 38	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m 𝑥) ≼ ((𝐶 ↑m 𝑥) × (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥))))
40		vex 3426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑥 ∈ V
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → 𝑥 ∈ V)
42		disjdif 4402	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∩ (𝐵 ∖ 𝑥)) = ∅
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝑥 ∩ (𝐵 ∖ 𝑥)) = ∅)
44		mapunen 8882	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ V ∧ (𝐵 ∖ 𝑥) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑥 ∩ (𝐵 ∖ 𝑥)) = ∅) → (𝐶 ↑m (𝑥 ∪ (𝐵 ∖ 𝑥))) ≈ ((𝐶 ↑m 𝑥) × (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥))))
45	41, 31, 29, 43, 44	syl31anc 1371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m (𝑥 ∪ (𝐵 ∖ 𝑥))) ≈ ((𝐶 ↑m 𝑥) × (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥))))
46	45	ensymd 8746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → ((𝐶 ↑m 𝑥) × (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥))) ≈ (𝐶 ↑m (𝑥 ∪ (𝐵 ∖ 𝑥))))
47		simprrr 778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
48		undif 4412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ (𝑥 ∪ (𝐵 ∖ 𝑥)) = 𝐵)
49	47, 48	sylib 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝑥 ∪ (𝐵 ∖ 𝑥)) = 𝐵)
50	49	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m (𝑥 ∪ (𝐵 ∖ 𝑥))) = (𝐶 ↑m 𝐵))
51	46, 50	breqtrd 5096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → ((𝐶 ↑m 𝑥) × (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥))) ≈ (𝐶 ↑m 𝐵))
52		domentr 8754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶 ↑m 𝑥) ≼ ((𝐶 ↑m 𝑥) × (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥))) ∧ ((𝐶 ↑m 𝑥) × (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥))) ≈ (𝐶 ↑m 𝐵)) → (𝐶 ↑m 𝑥) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
53	39, 51, 52	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m 𝑥) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
54		endomtr 8753	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 ↑m 𝐴) ≈ (𝐶 ↑m 𝑥) ∧ (𝐶 ↑m 𝑥) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵)) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
55	25, 53, 54	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
56	55	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵)))
57	56	exlimdv 1937	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → (∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵)))
58	20, 57	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
59	58	adantlr 711	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
60	13, 59	pm2.61dane 3031	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
61	60	an32s 648	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
62	61	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) → (𝐶 ∈ V → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵)))
63		reldmmap 8582	. . . 4 ⊢ Rel dom ↑m
64	63	ovprc1 7294	. . 3 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (𝐶 ↑m 𝐴) = ∅)
65	64, 12	eqbrtrdi 5109	. 2 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
66	62, 65	pm2.61d1 180	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253   class class class wbr 5070   × cxp 5578  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573   ≈ cen 8688   ≼ cdom 8689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693

This theorem is referenced by:  mapdom3  8885  cfpwsdom  10271  hauspwdom  22560