MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapdom2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdom2 8421
Description: Order-preserving property of set exponentiation. Theorem 6L(d) of [Enderton] p. 149. (Contributed by NM, 23-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
mapdom2 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) → (𝐶𝑚 𝐴) ≼ (𝐶𝑚 𝐵))

Proof of Theorem mapdom2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 479 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → 𝐶 = ∅)
21oveq1d 6939 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐶𝑚 𝐴) = (∅ ↑𝑚 𝐴))
3 simplr 759 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅))
4 idd 24 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅))
54, 1jctird 522 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐴 = ∅ → (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)))
63, 5mtod 190 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → ¬ 𝐴 = ∅)
76neqned 2976 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
8 map0b 8183 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ ∅ → (∅ ↑𝑚 𝐴) = ∅)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (∅ ↑𝑚 𝐴) = ∅)
102, 9eqtrd 2814 . . . . . 6 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐶𝑚 𝐴) = ∅)
11 ovex 6956 . . . . . . 7 (𝐶𝑚 𝐵) ∈ V
12110dom 8380 . . . . . 6 ∅ ≼ (𝐶𝑚 𝐵)
1310, 12syl6eqbr 4927 . . . . 5 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐶𝑚 𝐴) ≼ (𝐶𝑚 𝐵))
14 simpll 757 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → 𝐴𝐵)
15 reldom 8249 . . . . . . . . . . 11 Rel ≼
1615brrelex2i 5409 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
1716ad2antrr 716 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ V)
18 domeng 8257 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ V → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵)))
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵)))
2014, 19mpbid 224 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵))
21 enrefg 8275 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ V → 𝐶𝐶)
2221ad2antlr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → 𝐶𝐶)
23 simprrl 771 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → 𝐴𝑥)
24 mapen 8414 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶𝐶𝐴𝑥) → (𝐶𝑚 𝐴) ≈ (𝐶𝑚 𝑥))
2522, 23, 24syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐶𝑚 𝐴) ≈ (𝐶𝑚 𝑥))
26 ovexd 6958 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐶𝑚 𝑥) ∈ V)
27 ovexd 6958 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐶𝑚 (𝐵𝑥)) ∈ V)
28 simprl 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → 𝐶 ≠ ∅)
29 simplr 759 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → 𝐶 ∈ V)
3016ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → 𝐵 ∈ V)
31 difexg 5047 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ V → (𝐵𝑥) ∈ V)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐵𝑥) ∈ V)
33 map0g 8184 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 ∈ V ∧ (𝐵𝑥) ∈ V) → ((𝐶𝑚 (𝐵𝑥)) = ∅ ↔ (𝐶 = ∅ ∧ (𝐵𝑥) ≠ ∅)))
34 simpl 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 = ∅ ∧ (𝐵𝑥) ≠ ∅) → 𝐶 = ∅)
3533, 34syl6bi 245 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ V ∧ (𝐵𝑥) ∈ V) → ((𝐶𝑚 (𝐵𝑥)) = ∅ → 𝐶 = ∅))
3635necon3d 2990 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ V ∧ (𝐵𝑥) ∈ V) → (𝐶 ≠ ∅ → (𝐶𝑚 (𝐵𝑥)) ≠ ∅))
3729, 32, 36syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐶 ≠ ∅ → (𝐶𝑚 (𝐵𝑥)) ≠ ∅))
3828, 37mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐶𝑚 (𝐵𝑥)) ≠ ∅)
39 xpdom3 8348 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶𝑚 𝑥) ∈ V ∧ (𝐶𝑚 (𝐵𝑥)) ∈ V ∧ (𝐶𝑚 (𝐵𝑥)) ≠ ∅) → (𝐶𝑚 𝑥) ≼ ((𝐶𝑚 𝑥) × (𝐶𝑚 (𝐵𝑥))))
4026, 27, 38, 39syl3anc 1439 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐶𝑚 𝑥) ≼ ((𝐶𝑚 𝑥) × (𝐶𝑚 (𝐵𝑥))))
41 vex 3401 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ V
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → 𝑥 ∈ V)
43 disjdif 4264 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∩ (𝐵𝑥)) = ∅
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝑥 ∩ (𝐵𝑥)) = ∅)
45 mapunen 8419 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ V ∧ (𝐵𝑥) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑥 ∩ (𝐵𝑥)) = ∅) → (𝐶𝑚 (𝑥 ∪ (𝐵𝑥))) ≈ ((𝐶𝑚 𝑥) × (𝐶𝑚 (𝐵𝑥))))
4642, 32, 29, 44, 45syl31anc 1441 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐶𝑚 (𝑥 ∪ (𝐵𝑥))) ≈ ((𝐶𝑚 𝑥) × (𝐶𝑚 (𝐵𝑥))))
4746ensymd 8294 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → ((𝐶𝑚 𝑥) × (𝐶𝑚 (𝐵𝑥))) ≈ (𝐶𝑚 (𝑥 ∪ (𝐵𝑥))))
48 simprrr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → 𝑥𝐵)
49 undif 4273 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐵 ↔ (𝑥 ∪ (𝐵𝑥)) = 𝐵)
5048, 49sylib 210 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝑥 ∪ (𝐵𝑥)) = 𝐵)
5150oveq2d 6940 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐶𝑚 (𝑥 ∪ (𝐵𝑥))) = (𝐶𝑚 𝐵))
5247, 51breqtrd 4914 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → ((𝐶𝑚 𝑥) × (𝐶𝑚 (𝐵𝑥))) ≈ (𝐶𝑚 𝐵))
53 domentr 8302 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶𝑚 𝑥) ≼ ((𝐶𝑚 𝑥) × (𝐶𝑚 (𝐵𝑥))) ∧ ((𝐶𝑚 𝑥) × (𝐶𝑚 (𝐵𝑥))) ≈ (𝐶𝑚 𝐵)) → (𝐶𝑚 𝑥) ≼ (𝐶𝑚 𝐵))
5440, 52, 53syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐶𝑚 𝑥) ≼ (𝐶𝑚 𝐵))
55 endomtr 8301 . . . . . . . . . 10 (((𝐶𝑚 𝐴) ≈ (𝐶𝑚 𝑥) ∧ (𝐶𝑚 𝑥) ≼ (𝐶𝑚 𝐵)) → (𝐶𝑚 𝐴) ≼ (𝐶𝑚 𝐵))
5625, 54, 55syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐶𝑚 𝐴) ≼ (𝐶𝑚 𝐵))
5756expr 450 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → ((𝐴𝑥𝑥𝐵) → (𝐶𝑚 𝐴) ≼ (𝐶𝑚 𝐵)))
5857exlimdv 1976 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → (∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵) → (𝐶𝑚 𝐴) ≼ (𝐶𝑚 𝐵)))
5920, 58mpd 15 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → (𝐶𝑚 𝐴) ≼ (𝐶𝑚 𝐵))
6059adantlr 705 . . . . 5 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → (𝐶𝑚 𝐴) ≼ (𝐶𝑚 𝐵))
6113, 60pm2.61dane 3057 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) → (𝐶𝑚 𝐴) ≼ (𝐶𝑚 𝐵))
6261an32s 642 . . 3 (((𝐴𝐵 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐶𝑚 𝐴) ≼ (𝐶𝑚 𝐵))
6362ex 403 . 2 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) → (𝐶 ∈ V → (𝐶𝑚 𝐴) ≼ (𝐶𝑚 𝐵)))
64 reldmmap 8151 . . . 4 Rel dom ↑𝑚
6564ovprc1 6962 . . 3 𝐶 ∈ V → (𝐶𝑚 𝐴) = ∅)
6665, 12syl6eqbr 4927 . 2 𝐶 ∈ V → (𝐶𝑚 𝐴) ≼ (𝐶𝑚 𝐵))
6763, 66pm2.61d1 173 1 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) → (𝐶𝑚 𝐴) ≼ (𝐶𝑚 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wex 1823  wcel 2107  wne 2969  Vcvv 3398  cdif 3789  cun 3790  cin 3791  wss 3792  c0 4141   class class class wbr 4888   × cxp 5355  (class class class)co 6924  𝑚 cmap 8142  cen 8240  cdom 8241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245
This theorem is referenced by:  mapdom3  8422  cfpwsdom  9743  hauspwdom  21724
  Copyright terms: Public domain W3C validator