Theorem mapdom2 9120

Description: Order-preserving property of set exponentiation. Theorem 6L(d) of [Enderton] p. 149. (Contributed by NM, 23-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mapdom2	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))

Proof of Theorem mapdom2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → 𝐶 = ∅)
2	1	oveq1d 7411	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐶 ↑m 𝐴) = (∅ ↑m 𝐴))
3		simplr 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅))
4		idd 24	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅))
5	4, 1	jctird 534	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐴 = ∅ → (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)))
6	3, 5	mtod 200	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → ¬ 𝐴 = ∅)
7	6	neqned 2964	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
8		map0b 8865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∅ ↑m 𝐴) = ∅)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (∅ ↑m 𝐴) = ∅)
10	2, 9	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐶 ↑m 𝐴) = ∅)
11		ovex 7429	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ↑m 𝐵) ∈ V
12	11	0dom 9079	. . . . . 6 ⊢ ∅ ≼ (𝐶 ↑m 𝐵)
13	10, 12	eqbrtrdi 5139	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
14		simpll 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ 𝐵)
15		reldom 8933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Rel ≼
16	15	brrelex2i 5704	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
17	16	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ V)
18		domeng 8943	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
20	14, 19	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))
21		enrefg 8965	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ V → 𝐶 ≈ 𝐶)
22	21	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → 𝐶 ≈ 𝐶)
23		simprrl 790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → 𝐴 ≈ 𝑥)
24		mapen 9113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ≈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≈ 𝑥) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≈ (𝐶 ↑m 𝑥))
25	22, 23, 24	syl2anc 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≈ (𝐶 ↑m 𝑥))
26		ovexd 7431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m 𝑥) ∈ V)
27		ovexd 7431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥)) ∈ V)
28		simprl 780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → 𝐶 ≠ ∅)
29		simplr 778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → 𝐶 ∈ V)
30	16	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → 𝐵 ∈ V)
31	30	difexd 5287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐵 ∖ 𝑥) ∈ V)
32		map0g 8866	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ (𝐵 ∖ 𝑥) ∈ V) → ((𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥)) = ∅ ↔ (𝐶 = ∅ ∧ (𝐵 ∖ 𝑥) ≠ ∅)))
33		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 = ∅ ∧ (𝐵 ∖ 𝑥) ≠ ∅) → 𝐶 = ∅)
34	32, 33	biimtrdi 255	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ (𝐵 ∖ 𝑥) ∈ V) → ((𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥)) = ∅ → 𝐶 = ∅))
35	34	necon3d 2978	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ (𝐵 ∖ 𝑥) ∈ V) → (𝐶 ≠ ∅ → (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥)) ≠ ∅))
36	29, 31, 35	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ≠ ∅ → (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥)) ≠ ∅))
37	28, 36	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥)) ≠ ∅)
38		xpdom3 9047	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐶 ↑m 𝑥) ∈ V ∧ (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥)) ∈ V ∧ (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥)) ≠ ∅) → (𝐶 ↑m 𝑥) ≼ ((𝐶 ↑m 𝑥) × (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥))))
39	26, 27, 37, 38	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m 𝑥) ≼ ((𝐶 ↑m 𝑥) × (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥))))
40		vex 3458	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑥 ∈ V
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → 𝑥 ∈ V)
42		disjdif 4426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∩ (𝐵 ∖ 𝑥)) = ∅
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝑥 ∩ (𝐵 ∖ 𝑥)) = ∅)
44		mapunen 9118	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ V ∧ (𝐵 ∖ 𝑥) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑥 ∩ (𝐵 ∖ 𝑥)) = ∅) → (𝐶 ↑m (𝑥 ∪ (𝐵 ∖ 𝑥))) ≈ ((𝐶 ↑m 𝑥) × (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥))))
45	41, 31, 29, 43, 44	syl31anc 1392	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m (𝑥 ∪ (𝐵 ∖ 𝑥))) ≈ ((𝐶 ↑m 𝑥) × (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥))))
46	45	ensymd 8986	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → ((𝐶 ↑m 𝑥) × (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥))) ≈ (𝐶 ↑m (𝑥 ∪ (𝐵 ∖ 𝑥))))
47		simprrr 791	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
48		undif 4436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ (𝑥 ∪ (𝐵 ∖ 𝑥)) = 𝐵)
49	47, 48	sylib 220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝑥 ∪ (𝐵 ∖ 𝑥)) = 𝐵)
50	49	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m (𝑥 ∪ (𝐵 ∖ 𝑥))) = (𝐶 ↑m 𝐵))
51	46, 50	breqtrd 5126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → ((𝐶 ↑m 𝑥) × (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥))) ≈ (𝐶 ↑m 𝐵))
52		domentr 8994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶 ↑m 𝑥) ≼ ((𝐶 ↑m 𝑥) × (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥))) ∧ ((𝐶 ↑m 𝑥) × (𝐶 ↑m (𝐵 ∖ 𝑥))) ≈ (𝐶 ↑m 𝐵)) → (𝐶 ↑m 𝑥) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
53	39, 51, 52	syl2anc 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m 𝑥) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
54		endomtr 8993	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 ↑m 𝐴) ≈ (𝐶 ↑m 𝑥) ∧ (𝐶 ↑m 𝑥) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵)) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
55	25, 53, 54	syl2anc 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
56	55	expr 460	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵)))
57	56	exlimdv 1953	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → (∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵)))
58	20, 57	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
59	58	adantlr 725	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
60	13, 59	pm2.61dane 3044	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
61	60	an32s 662	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
62	61	ex 416	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) → (𝐶 ∈ V → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵)))
63		reldmmap 8816	. . . 4 ⊢ Rel dom ↑m
64	63	ovprc1 7435	. . 3 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (𝐶 ↑m 𝐴) = ∅)
65	64, 12	eqbrtrdi 5139	. 2 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))
66	62, 65	pm2.61d1 181	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) → (𝐶 ↑m 𝐴) ≼ (𝐶 ↑m 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560  ∃wex 1799   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  Vcvv 3454   ∖ cdif 3901   ∪ cun 3902   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285   class class class wbr 5100   × cxp 5645  (class class class)co 7396   ↑_m cmap 8808   ≈ cen 8924   ≼ cdom 8925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929

This theorem is referenced by:  mapdom3  9121  cfpwsdom  10542  hauspwdom  23561