MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ufldom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ufldom 22562
Description: The ultrafilter lemma property is a cardinal invariant, so since it transfers to subsets it also transfers over set dominance. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ufldom ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) → 𝑌 ∈ UFL)

Proof of Theorem ufldom
Dummy variables 𝑢 𝑥 𝑓 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domeng 8515 . . 3 (𝑋 ∈ UFL → (𝑌𝑋 ↔ ∃𝑥(𝑌𝑥𝑥𝑋)))
2 bren 8510 . . . . . . . 8 (𝑌𝑥 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑌1-1-onto𝑥)
32biimpi 218 . . . . . . 7 (𝑌𝑥 → ∃𝑓 𝑓:𝑌1-1-onto𝑥)
4 ssufl 22518 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ UFL)
5 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) → 𝑥 ∈ UFL)
6 filfbas 22448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) → 𝑔 ∈ (fBas‘𝑌))
76adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) → 𝑔 ∈ (fBas‘𝑌))
8 f1of 6608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑓:𝑌𝑥)
98ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) → 𝑓:𝑌𝑥)
10 fmfil 22544 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ UFL ∧ 𝑔 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑓:𝑌𝑥) → ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ∈ (Fil‘𝑥))
115, 7, 9, 10syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) → ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ∈ (Fil‘𝑥))
12 ufli 22514 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ UFL ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ∈ (Fil‘𝑥)) → ∃𝑦 ∈ (UFil‘𝑥)((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)
135, 11, 12syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) → ∃𝑦 ∈ (UFil‘𝑥)((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)
14 f1odm 6612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓:𝑌1-1-onto𝑥 → dom 𝑓 = 𝑌)
1514adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) → dom 𝑓 = 𝑌)
16 vex 3496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑓 ∈ V
1716dmex 7608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 dom 𝑓 ∈ V
1815, 17eqeltrrdi 2920 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) → 𝑌 ∈ V)
1918ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑌 ∈ V)
20 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑦 ∈ (UFil‘𝑥))
21 f1ocnv 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑓:𝑥1-1-onto𝑌)
2221ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑓:𝑥1-1-onto𝑌)
23 f1of 6608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:𝑥1-1-onto𝑌𝑓:𝑥𝑌)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑓:𝑥𝑌)
25 fmufil 22559 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑌 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ 𝑓:𝑥𝑌) → ((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦) ∈ (UFil‘𝑌))
2619, 20, 24, 25syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦) ∈ (UFil‘𝑌))
27 f1ococnv1 6636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓:𝑌1-1-onto𝑥 → (𝑓𝑓) = ( I ↾ 𝑌))
2827ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → (𝑓𝑓) = ( I ↾ 𝑌))
2928oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → (𝑌 FilMap (𝑓𝑓)) = (𝑌 FilMap ( I ↾ 𝑌)))
3029fveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑌 FilMap (𝑓𝑓))‘𝑔) = ((𝑌 FilMap ( I ↾ 𝑌))‘𝑔))
315adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑥 ∈ UFL)
327adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑔 ∈ (fBas‘𝑌))
338ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑓:𝑌𝑥)
34 fmco 22561 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑌 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ UFL ∧ 𝑔 ∈ (fBas‘𝑌)) ∧ (𝑓:𝑥𝑌𝑓:𝑌𝑥)) → ((𝑌 FilMap (𝑓𝑓))‘𝑔) = ((𝑌 FilMap 𝑓)‘((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔)))
3519, 31, 32, 24, 33, 34syl32anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑌 FilMap (𝑓𝑓))‘𝑔) = ((𝑌 FilMap 𝑓)‘((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔)))
36 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌))
37 fmid 22560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) → ((𝑌 FilMap ( I ↾ 𝑌))‘𝑔) = 𝑔)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑌 FilMap ( I ↾ 𝑌))‘𝑔) = 𝑔)
3930, 35, 383eqtr3d 2862 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑌 FilMap 𝑓)‘((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔)) = 𝑔)
4011adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ∈ (Fil‘𝑥))
41 filfbas 22448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ∈ (Fil‘𝑥) → ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ∈ (fBas‘𝑥))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ∈ (fBas‘𝑥))
43 ufilfil 22504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) → 𝑦 ∈ (Fil‘𝑥))
44 filfbas 22448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (Fil‘𝑥) → 𝑦 ∈ (fBas‘𝑥))
4520, 43, 443syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑦 ∈ (fBas‘𝑥))
46 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)
47 fmss 22546 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑌 ∈ V ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ∈ (fBas‘𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (fBas‘𝑥)) ∧ (𝑓:𝑥𝑌 ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑌 FilMap 𝑓)‘((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔)) ⊆ ((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦))
4819, 42, 45, 24, 46, 47syl32anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑌 FilMap 𝑓)‘((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔)) ⊆ ((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦))
4939, 48eqsstrrd 4004 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑔 ⊆ ((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦))
50 sseq2 3991 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = ((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦) → (𝑔𝑢𝑔 ⊆ ((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦)))
5150rspcev 3621 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦) ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝑔 ⊆ ((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦)) → ∃𝑢 ∈ (UFil‘𝑌)𝑔𝑢)
5226, 49, 51syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ∃𝑢 ∈ (UFil‘𝑌)𝑔𝑢)
5313, 52rexlimddv 3289 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) → ∃𝑢 ∈ (UFil‘𝑌)𝑔𝑢)
5453ralrimiva 3180 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) → ∀𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)∃𝑢 ∈ (UFil‘𝑌)𝑔𝑢)
55 isufl 22513 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ V → (𝑌 ∈ UFL ↔ ∀𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)∃𝑢 ∈ (UFil‘𝑌)𝑔𝑢))
5618, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) → (𝑌 ∈ UFL ↔ ∀𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)∃𝑢 ∈ (UFil‘𝑌)𝑔𝑢))
5754, 56mpbird 259 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) → 𝑌 ∈ UFL)
5857ex 415 . . . . . . . . 9 (𝑓:𝑌1-1-onto𝑥 → (𝑥 ∈ UFL → 𝑌 ∈ UFL))
5958exlimiv 1924 . . . . . . . 8 (∃𝑓 𝑓:𝑌1-1-onto𝑥 → (𝑥 ∈ UFL → 𝑌 ∈ UFL))
6059imp 409 . . . . . . 7 ((∃𝑓 𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) → 𝑌 ∈ UFL)
613, 4, 60syl2an 597 . . . . . 6 ((𝑌𝑥 ∧ (𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑥𝑋)) → 𝑌 ∈ UFL)
6261an12s 647 . . . . 5 ((𝑋 ∈ UFL ∧ (𝑌𝑥𝑥𝑋)) → 𝑌 ∈ UFL)
6362ex 415 . . . 4 (𝑋 ∈ UFL → ((𝑌𝑥𝑥𝑋) → 𝑌 ∈ UFL))
6463exlimdv 1927 . . 3 (𝑋 ∈ UFL → (∃𝑥(𝑌𝑥𝑥𝑋) → 𝑌 ∈ UFL))
651, 64sylbid 242 . 2 (𝑋 ∈ UFL → (𝑌𝑋𝑌 ∈ UFL))
6665imp 409 1 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) → 𝑌 ∈ UFL)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1530  wex 1773  wcel 2107  wral 3136  wrex 3137  Vcvv 3493  wss 3934   class class class wbr 5057   I cid 5452  ccnv 5547  dom cdm 5548  cres 5550  ccom 5552  wf 6344  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348  (class class class)co 7148  cen 8498  cdom 8499  fBascfbas 20525  Filcfil 22445  UFilcufil 22499  UFLcufl 22500   FilMap cfm 22533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-fin 8505  df-fi 8867  df-rest 16688  df-fbas 20534  df-fg 20535  df-fil 22446  df-ufil 22501  df-ufl 22502  df-fm 22538
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator