MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ufldom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ufldom 23329
Description: The ultrafilter lemma property is a cardinal invariant, so since it transfers to subsets it also transfers over set dominance. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ufldom ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) → 𝑌 ∈ UFL)

Proof of Theorem ufldom
Dummy variables 𝑢 𝑥 𝑓 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domeng 8905 . . 3 (𝑋 ∈ UFL → (𝑌𝑋 ↔ ∃𝑥(𝑌𝑥𝑥𝑋)))
2 bren 8896 . . . . . . . 8 (𝑌𝑥 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑌1-1-onto𝑥)
32biimpi 215 . . . . . . 7 (𝑌𝑥 → ∃𝑓 𝑓:𝑌1-1-onto𝑥)
4 ssufl 23285 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ UFL)
5 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) → 𝑥 ∈ UFL)
6 filfbas 23215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) → 𝑔 ∈ (fBas‘𝑌))
76adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) → 𝑔 ∈ (fBas‘𝑌))
8 f1of 6785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑓:𝑌𝑥)
98ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) → 𝑓:𝑌𝑥)
10 fmfil 23311 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ UFL ∧ 𝑔 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑓:𝑌𝑥) → ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ∈ (Fil‘𝑥))
115, 7, 9, 10syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) → ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ∈ (Fil‘𝑥))
12 ufli 23281 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ UFL ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ∈ (Fil‘𝑥)) → ∃𝑦 ∈ (UFil‘𝑥)((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)
135, 11, 12syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) → ∃𝑦 ∈ (UFil‘𝑥)((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)
14 f1odm 6789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓:𝑌1-1-onto𝑥 → dom 𝑓 = 𝑌)
1514adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) → dom 𝑓 = 𝑌)
16 vex 3448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑓 ∈ V
1716dmex 7849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 dom 𝑓 ∈ V
1815, 17eqeltrrdi 2843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) → 𝑌 ∈ V)
1918ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑌 ∈ V)
20 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑦 ∈ (UFil‘𝑥))
21 f1ocnv 6797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑓:𝑥1-1-onto𝑌)
2221ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑓:𝑥1-1-onto𝑌)
23 f1of 6785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:𝑥1-1-onto𝑌𝑓:𝑥𝑌)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑓:𝑥𝑌)
25 fmufil 23326 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑌 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ 𝑓:𝑥𝑌) → ((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦) ∈ (UFil‘𝑌))
2619, 20, 24, 25syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦) ∈ (UFil‘𝑌))
27 f1ococnv1 6814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓:𝑌1-1-onto𝑥 → (𝑓𝑓) = ( I ↾ 𝑌))
2827ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → (𝑓𝑓) = ( I ↾ 𝑌))
2928oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → (𝑌 FilMap (𝑓𝑓)) = (𝑌 FilMap ( I ↾ 𝑌)))
3029fveq1d 6845 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑌 FilMap (𝑓𝑓))‘𝑔) = ((𝑌 FilMap ( I ↾ 𝑌))‘𝑔))
315adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑥 ∈ UFL)
327adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑔 ∈ (fBas‘𝑌))
338ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑓:𝑌𝑥)
34 fmco 23328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑌 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ UFL ∧ 𝑔 ∈ (fBas‘𝑌)) ∧ (𝑓:𝑥𝑌𝑓:𝑌𝑥)) → ((𝑌 FilMap (𝑓𝑓))‘𝑔) = ((𝑌 FilMap 𝑓)‘((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔)))
3519, 31, 32, 24, 33, 34syl32anc 1379 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑌 FilMap (𝑓𝑓))‘𝑔) = ((𝑌 FilMap 𝑓)‘((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔)))
36 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌))
37 fmid 23327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) → ((𝑌 FilMap ( I ↾ 𝑌))‘𝑔) = 𝑔)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑌 FilMap ( I ↾ 𝑌))‘𝑔) = 𝑔)
3930, 35, 383eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑌 FilMap 𝑓)‘((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔)) = 𝑔)
4011adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ∈ (Fil‘𝑥))
41 filfbas 23215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ∈ (Fil‘𝑥) → ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ∈ (fBas‘𝑥))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ∈ (fBas‘𝑥))
43 ufilfil 23271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) → 𝑦 ∈ (Fil‘𝑥))
44 filfbas 23215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (Fil‘𝑥) → 𝑦 ∈ (fBas‘𝑥))
4520, 43, 443syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑦 ∈ (fBas‘𝑥))
46 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)
47 fmss 23313 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑌 ∈ V ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ∈ (fBas‘𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (fBas‘𝑥)) ∧ (𝑓:𝑥𝑌 ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑌 FilMap 𝑓)‘((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔)) ⊆ ((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦))
4819, 42, 45, 24, 46, 47syl32anc 1379 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑌 FilMap 𝑓)‘((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔)) ⊆ ((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦))
4939, 48eqsstrrd 3984 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑔 ⊆ ((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦))
50 sseq2 3971 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = ((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦) → (𝑔𝑢𝑔 ⊆ ((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦)))
5150rspcev 3580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦) ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝑔 ⊆ ((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦)) → ∃𝑢 ∈ (UFil‘𝑌)𝑔𝑢)
5226, 49, 51syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ∃𝑢 ∈ (UFil‘𝑌)𝑔𝑢)
5313, 52rexlimddv 3155 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) → ∃𝑢 ∈ (UFil‘𝑌)𝑔𝑢)
5453ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) → ∀𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)∃𝑢 ∈ (UFil‘𝑌)𝑔𝑢)
55 isufl 23280 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ V → (𝑌 ∈ UFL ↔ ∀𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)∃𝑢 ∈ (UFil‘𝑌)𝑔𝑢))
5618, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) → (𝑌 ∈ UFL ↔ ∀𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)∃𝑢 ∈ (UFil‘𝑌)𝑔𝑢))
5754, 56mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) → 𝑌 ∈ UFL)
5857ex 414 . . . . . . . . 9 (𝑓:𝑌1-1-onto𝑥 → (𝑥 ∈ UFL → 𝑌 ∈ UFL))
5958exlimiv 1934 . . . . . . . 8 (∃𝑓 𝑓:𝑌1-1-onto𝑥 → (𝑥 ∈ UFL → 𝑌 ∈ UFL))
6059imp 408 . . . . . . 7 ((∃𝑓 𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) → 𝑌 ∈ UFL)
613, 4, 60syl2an 597 . . . . . 6 ((𝑌𝑥 ∧ (𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑥𝑋)) → 𝑌 ∈ UFL)
6261an12s 648 . . . . 5 ((𝑋 ∈ UFL ∧ (𝑌𝑥𝑥𝑋)) → 𝑌 ∈ UFL)
6362ex 414 . . . 4 (𝑋 ∈ UFL → ((𝑌𝑥𝑥𝑋) → 𝑌 ∈ UFL))
6463exlimdv 1937 . . 3 (𝑋 ∈ UFL → (∃𝑥(𝑌𝑥𝑥𝑋) → 𝑌 ∈ UFL))
651, 64sylbid 239 . 2 (𝑋 ∈ UFL → (𝑌𝑋𝑌 ∈ UFL))
6665imp 408 1 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) → 𝑌 ∈ UFL)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3444  wss 3911   class class class wbr 5106   I cid 5531  ccnv 5633  dom cdm 5634  cres 5636  ccom 5638  wf 6493  1-1-ontowf1o 6496  cfv 6497  (class class class)co 7358  cen 8883  cdom 8884  fBascfbas 20800  Filcfil 23212  UFilcufil 23266  UFLcufl 23267   FilMap cfm 23300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-fin 8890  df-fi 9352  df-rest 17309  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-fil 23213  df-ufil 23268  df-ufl 23269  df-fm 23305
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator