Theorem erdsze2lem1 35197

Description: Lemma for erdsze2 35199. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
erdsze2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
erdsze2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
erdsze2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1→ℝ)
erdsze2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
erdsze2lem.n	⊢ 𝑁 = ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1))
erdsze2lem.l	⊢ (𝜑 → 𝑁 < (♯‘𝐴))

Assertion

Ref	Expression
erdsze2lem1	⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐹   𝑅,𝑓   𝑆,𝑓   𝑓,𝑁   𝜑,𝑓

Proof of Theorem erdsze2lem1

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erdsze2lem.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1))
2		erdsze2.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
3		nnm1nn0 12490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ → (𝑅 − 1) ∈ ℕ0)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 − 1) ∈ ℕ0)
5		erdsze2.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
6		nnm1nn0 12490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → (𝑆 − 1) ∈ ℕ0)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 1) ∈ ℕ0)
8	4, 7	nn0mulcld 12515	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) ∈ ℕ0)
9	1, 8	eqeltrid 2833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		peano2nn0 12489	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
11		hashfz1 14318	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
12	9, 10, 11	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...(𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘(1...(𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
14		erdsze2lem.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (♯‘𝐴))
15	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝑁 < (♯‘𝐴))
16		hashcl 14328	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
17		nn0ltp1le 12599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝐴)))
18	9, 16, 17	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝐴)))
19	15, 18	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝐴))
20	13, 19	eqbrtrd 5132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘(1...(𝑁 + 1))) ≤ (♯‘𝐴))
21		fzfid 13945	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
22		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
23		hashdom 14351	. . . . . 6 ⊢ (((1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘(1...(𝑁 + 1))) ≤ (♯‘𝐴) ↔ (1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴))
24	21, 22, 23	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘(1...(𝑁 + 1))) ≤ (♯‘𝐴) ↔ (1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴))
25	20, 24	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴)
26		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
27		fzfid 13945	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
28		isinffi 9952	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ (1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin) → ∃𝑓 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1→𝐴)
29	26, 27, 28	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑓 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1→𝐴)
30		erdsze2.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
31		reex 11166	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
32		ssexg 5281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
33	30, 31, 32	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
34	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ V)
35		brdomg 8933	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1→𝐴))
36	34, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1→𝐴))
37	29, 36	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴)
38	25, 37	pm2.61dan 812	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴)
39		domeng 8937	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑠((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)))
40	33, 39	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑠((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)))
41	38, 40	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴))
42		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) → 𝑠 ⊆ 𝐴)
43	30	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
44	42, 43	sstrd 3960	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) → 𝑠 ⊆ ℝ)
45		ltso 11261	. . . . 5 ⊢ < Or ℝ
46		soss 5569	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝑠))
47	44, 45, 46	mpisyl 21	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) → < Or 𝑠)
48		fzfid 13945	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) → (1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
49		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) → (1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠)
50		enfi 9157	. . . . . 6 ⊢ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 → ((1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin ↔ 𝑠 ∈ Fin))
51	49, 50	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) → ((1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin ↔ 𝑠 ∈ Fin))
52	48, 51	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) → 𝑠 ∈ Fin)
53		fz1iso 14434	. . . 4 ⊢ (( < Or 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin) → ∃𝑓 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠))
54	47, 52, 53	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) → ∃𝑓 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠))
55		isof1o 7301	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠) → 𝑓:(1...(♯‘𝑠))–1-1-onto→𝑠)
56	55	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → 𝑓:(1...(♯‘𝑠))–1-1-onto→𝑠)
57		hashen 14319	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin ∧ 𝑠 ∈ Fin) → ((♯‘(1...(𝑁 + 1))) = (♯‘𝑠) ↔ (1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠))
58	48, 52, 57	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) → ((♯‘(1...(𝑁 + 1))) = (♯‘𝑠) ↔ (1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠))
59	49, 58	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) → (♯‘(1...(𝑁 + 1))) = (♯‘𝑠))
60	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) → (♯‘(1...(𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
61	59, 60	eqtr3d 2767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) → (♯‘𝑠) = (𝑁 + 1))
62	61	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → (♯‘𝑠) = (𝑁 + 1))
63	62	oveq2d 7406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → (1...(♯‘𝑠)) = (1...(𝑁 + 1)))
64	63	f1oeq2d 6799	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → (𝑓:(1...(♯‘𝑠))–1-1-onto→𝑠 ↔ 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→𝑠))
65	56, 64	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→𝑠)
66		f1of1 6802	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→𝑠 → 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1→𝑠)
67	65, 66	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1→𝑠)
68		simplrr 777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → 𝑠 ⊆ 𝐴)
69		f1ss 6764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1→𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴) → 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1→𝐴)
70	67, 68, 69	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1→𝐴)
71		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠))
72		f1ofo 6810	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘𝑠))–1-1-onto→𝑠 → 𝑓:(1...(♯‘𝑠))–onto→𝑠)
73		forn 6778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘𝑠))–onto→𝑠 → ran 𝑓 = 𝑠)
74		isoeq5 7299	. . . . . . . . 9 ⊢ (ran 𝑓 = 𝑠 → (𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), ran 𝑓) ↔ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)))
75	56, 72, 73, 74	4syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → (𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), ran 𝑓) ↔ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)))
76	71, 75	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), ran 𝑓))
77		isoeq4 7298	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...(♯‘𝑠)) = (1...(𝑁 + 1)) → (𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), ran 𝑓) ↔ 𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓)))
78	63, 77	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → (𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), ran 𝑓) ↔ 𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓)))
79	76, 78	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → 𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓))
80	70, 79	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓)))
81	80	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) → (𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠) → (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓))))
82	81	eximdv 1917	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) → (∃𝑓 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠) → ∃𝑓(𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓))))
83	54, 82	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) → ∃𝑓(𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓)))
84	41, 83	exlimddv 1935	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110   Or wor 5548  ran crn 5642  –1-1→wf1 6511  –onto→wfo 6512  –1-1-onto→wf1o 6513  ‘cfv 6514   Isom wiso 6515  (class class class)co 7390   ≈ cen 8918   ≼ cdom 8919  Fincfn 8921  ℝcr 11074  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449  ...cfz 13475  ♯chash 14302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-hash 14303

This theorem is referenced by:  erdsze2  35199