Theorem erdsze2lem1 35446

Description: Lemma for erdsze2 35448. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
erdsze2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
erdsze2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
erdsze2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1→ℝ)
erdsze2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
erdsze2lem.n	⊢ 𝑁 = ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1))
erdsze2lem.l	⊢ (𝜑 → 𝑁 < (♯‘𝐴))

Assertion

Ref	Expression
erdsze2lem1	⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐹   𝑅,𝑓   𝑆,𝑓   𝑓,𝑁   𝜑,𝑓

Proof of Theorem erdsze2lem1

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erdsze2lem.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1))
2		erdsze2.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
3		nnm1nn0 12473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ → (𝑅 − 1) ∈ ℕ0)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 − 1) ∈ ℕ0)
5		erdsze2.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
6		nnm1nn0 12473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → (𝑆 − 1) ∈ ℕ0)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 1) ∈ ℕ0)
8	4, 7	nn0mulcld 12498	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) ∈ ℕ0)
9	1, 8	eqeltrid 2845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		peano2nn0 12472	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
11		hashfz1 14303	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
12	9, 10, 11	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...(𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
13	12	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘(1...(𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
14		erdsze2lem.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (♯‘𝐴))
15	14	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝑁 < (♯‘𝐴))
16		hashcl 14313	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
17		nn0ltp1le 12582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝐴)))
18	9, 16, 17	syl2an 603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝐴)))
19	15, 18	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝐴))
20	13, 19	eqbrtrd 5097	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘(1...(𝑁 + 1))) ≤ (♯‘𝐴))
21		fzfid 13930	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
22		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
23		hashdom 14336	. . . . . 6 ⊢ (((1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘(1...(𝑁 + 1))) ≤ (♯‘𝐴) ↔ (1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴))
24	21, 22, 23	syl2anc 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘(1...(𝑁 + 1))) ≤ (♯‘𝐴) ↔ (1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴))
25	20, 24	mpbid 234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴)
26		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
27		fzfid 13930	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
28		isinffi 9911	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ (1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin) → ∃𝑓 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1→𝐴)
29	26, 27, 28	syl2anc 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑓 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1→𝐴)
30		erdsze2.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
31		reex 11124	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
32		ssexg 5254	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
33	30, 31, 32	sylancl 593	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
34	33	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ V)
35		brdomg 8899	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1→𝐴))
36	34, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1→𝐴))
37	29, 36	mpbird 259	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴)
38	25, 37	pm2.61dan 819	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴)
39		domeng 8903	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑠((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)))
40	33, 39	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑠((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)))
41	38, 40	mpbid 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴))
42		simprr 779	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) → 𝑠 ⊆ 𝐴)
43	30	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
44	42, 43	sstrd 3927	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) → 𝑠 ⊆ ℝ)
45		ltso 11221	. . . . 5 ⊢ < Or ℝ
46		soss 5549	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝑠))
47	44, 45, 46	mpisyl 21	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) → < Or 𝑠)
48		fzfid 13930	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) → (1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
49		simprl 777	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) → (1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠)
50		enfi 9115	. . . . . 6 ⊢ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 → ((1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin ↔ 𝑠 ∈ Fin))
51	49, 50	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) → ((1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin ↔ 𝑠 ∈ Fin))
52	48, 51	mpbid 234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) → 𝑠 ∈ Fin)
53		fz1iso 14419	. . . 4 ⊢ (( < Or 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ Fin) → ∃𝑓 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠))
54	47, 52, 53	syl2anc 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) → ∃𝑓 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠))
55		isof1o 7271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠) → 𝑓:(1...(♯‘𝑠))–1-1-onto→𝑠)
56	55	adantl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → 𝑓:(1...(♯‘𝑠))–1-1-onto→𝑠)
57		hashen 14304	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin ∧ 𝑠 ∈ Fin) → ((♯‘(1...(𝑁 + 1))) = (♯‘𝑠) ↔ (1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠))
58	48, 52, 57	syl2anc 591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) → ((♯‘(1...(𝑁 + 1))) = (♯‘𝑠) ↔ (1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠))
59	49, 58	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) → (♯‘(1...(𝑁 + 1))) = (♯‘𝑠))
60	12	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) → (♯‘(1...(𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
61	59, 60	eqtr3d 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) → (♯‘𝑠) = (𝑁 + 1))
62	61	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → (♯‘𝑠) = (𝑁 + 1))
63	62	oveq2d 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → (1...(♯‘𝑠)) = (1...(𝑁 + 1)))
64	63	f1oeq2d 6767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → (𝑓:(1...(♯‘𝑠))–1-1-onto→𝑠 ↔ 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→𝑠))
65	56, 64	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→𝑠)
66		f1of1 6770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→𝑠 → 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1→𝑠)
67	65, 66	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1→𝑠)
68		simplrr 784	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → 𝑠 ⊆ 𝐴)
69		f1ss 6732	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1→𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴) → 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1→𝐴)
70	67, 68, 69	syl2anc 591	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1→𝐴)
71		simpr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠))
72		f1ofo 6778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘𝑠))–1-1-onto→𝑠 → 𝑓:(1...(♯‘𝑠))–onto→𝑠)
73		forn 6746	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘𝑠))–onto→𝑠 → ran 𝑓 = 𝑠)
74		isoeq5 7269	. . . . . . . . 9 ⊢ (ran 𝑓 = 𝑠 → (𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), ran 𝑓) ↔ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)))
75	56, 72, 73, 74	4syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → (𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), ran 𝑓) ↔ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)))
76	71, 75	mpbird 259	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), ran 𝑓))
77		isoeq4 7268	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...(♯‘𝑠)) = (1...(𝑁 + 1)) → (𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), ran 𝑓) ↔ 𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓)))
78	63, 77	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → (𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), ran 𝑓) ↔ 𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓)))
79	76, 78	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → 𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓))
80	70, 79	jca 517	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓)))
81	80	ex 414	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) → (𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠) → (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓))))
82	81	eximdv 1925	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) → (∃𝑓 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠) → ∃𝑓(𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓))))
83	54, 82	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴)) → ∃𝑓(𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓)))
84	41, 83	exlimddv 1943	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1→𝐴 ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548  ∃wex 1787   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433   ⊆ wss 3885   class class class wbr 5075   Or wor 5528  ran crn 5622  –1-1→wf1 6486  –onto→wfo 6487  –1-1-onto→wf1o 6488  ‘cfv 6489   Isom wiso 6490  (class class class)co 7360   ≈ cen 8884   ≼ cdom 8885  Fincfn 8887  ℝcr 11032  1c1 11034   + caddc 11036   · cmul 11038   < clt 11174   ≤ cle 11175   − cmin 11372  ℕcn 12169  ℕ₀cn0 12432  ...cfz 13456  ♯chash 14287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-oadd 8403  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-n0 12433  df-xnn0 12506  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-hash 14288

This theorem is referenced by:  erdsze2  35448