Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdsze2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erdsze2lem1 33797
Description: Lemma for erdsze2 33799. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze2.r (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
erdsze2.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
erdsze2.f (𝜑𝐹:𝐴1-1→ℝ)
erdsze2.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
erdsze2lem.n 𝑁 = ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1))
erdsze2lem.l (𝜑𝑁 < (♯‘𝐴))
Assertion
Ref Expression
erdsze2lem1 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐹   𝑅,𝑓   𝑆,𝑓   𝑓,𝑁   𝜑,𝑓

Proof of Theorem erdsze2lem1
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erdsze2lem.n . . . . . . . . 9 𝑁 = ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1))
2 erdsze2.r . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
3 nnm1nn0 12454 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℕ → (𝑅 − 1) ∈ ℕ0)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑅 − 1) ∈ ℕ0)
5 erdsze2.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
6 nnm1nn0 12454 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ ℕ → (𝑆 − 1) ∈ ℕ0)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 − 1) ∈ ℕ0)
84, 7nn0mulcld 12478 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) ∈ ℕ0)
91, 8eqeltrid 2842 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
10 peano2nn0 12453 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
11 hashfz1 14246 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
129, 10, 113syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(1...(𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
1312adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ Fin) → (♯‘(1...(𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
14 erdsze2lem.l . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 < (♯‘𝐴))
1514adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ Fin) → 𝑁 < (♯‘𝐴))
16 hashcl 14256 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
17 nn0ltp1le 12561 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝐴)))
189, 16, 17syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ Fin) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝐴)))
1915, 18mpbid 231 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ Fin) → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝐴))
2013, 19eqbrtrd 5127 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ Fin) → (♯‘(1...(𝑁 + 1))) ≤ (♯‘𝐴))
21 fzfid 13878 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ Fin) → (1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
22 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
23 hashdom 14279 . . . . . 6 (((1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘(1...(𝑁 + 1))) ≤ (♯‘𝐴) ↔ (1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴))
2421, 22, 23syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘(1...(𝑁 + 1))) ≤ (♯‘𝐴) ↔ (1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴))
2520, 24mpbid 231 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ Fin) → (1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴)
26 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
27 fzfid 13878 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
28 isinffi 9928 . . . . . 6 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ (1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin) → ∃𝑓 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴)
2926, 27, 28syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑓 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴)
30 erdsze2.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
31 reex 11142 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
32 ssexg 5280 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
3330, 31, 32sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ V)
3433adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ V)
35 brdomg 8896 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → ((1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴))
3634, 35syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴))
3729, 36mpbird 256 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴)
3825, 37pm2.61dan 811 . . 3 (𝜑 → (1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴)
39 domeng 8902 . . . 4 (𝐴 ∈ V → ((1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑠((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)))
4033, 39syl 17 . . 3 (𝜑 → ((1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑠((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)))
4138, 40mpbid 231 . 2 (𝜑 → ∃𝑠((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴))
42 simprr 771 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → 𝑠𝐴)
4330adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
4442, 43sstrd 3954 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → 𝑠 ⊆ ℝ)
45 ltso 11235 . . . . 5 < Or ℝ
46 soss 5565 . . . . 5 (𝑠 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝑠))
4744, 45, 46mpisyl 21 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → < Or 𝑠)
48 fzfid 13878 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → (1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
49 simprl 769 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → (1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠)
50 enfi 9134 . . . . . 6 ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 → ((1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin ↔ 𝑠 ∈ Fin))
5149, 50syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → ((1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin ↔ 𝑠 ∈ Fin))
5248, 51mpbid 231 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → 𝑠 ∈ Fin)
53 fz1iso 14361 . . . 4 (( < Or 𝑠𝑠 ∈ Fin) → ∃𝑓 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠))
5447, 52, 53syl2anc 584 . . 3 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → ∃𝑓 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠))
55 isof1o 7268 . . . . . . . . . 10 (𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠) → 𝑓:(1...(♯‘𝑠))–1-1-onto𝑠)
5655adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → 𝑓:(1...(♯‘𝑠))–1-1-onto𝑠)
57 hashen 14247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin ∧ 𝑠 ∈ Fin) → ((♯‘(1...(𝑁 + 1))) = (♯‘𝑠) ↔ (1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠))
5848, 52, 57syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → ((♯‘(1...(𝑁 + 1))) = (♯‘𝑠) ↔ (1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠))
5949, 58mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → (♯‘(1...(𝑁 + 1))) = (♯‘𝑠))
6012adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → (♯‘(1...(𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
6159, 60eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → (♯‘𝑠) = (𝑁 + 1))
6261adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → (♯‘𝑠) = (𝑁 + 1))
6362oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → (1...(♯‘𝑠)) = (1...(𝑁 + 1)))
6463f1oeq2d 6780 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → (𝑓:(1...(♯‘𝑠))–1-1-onto𝑠𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto𝑠))
6556, 64mpbid 231 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto𝑠)
66 f1of1 6783 . . . . . . . 8 (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto𝑠𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝑠)
6765, 66syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝑠)
68 simplrr 776 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → 𝑠𝐴)
69 f1ss 6744 . . . . . . 7 ((𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝑠𝑠𝐴) → 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴)
7067, 68, 69syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴)
71 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠))
72 f1ofo 6791 . . . . . . . . 9 (𝑓:(1...(♯‘𝑠))–1-1-onto𝑠𝑓:(1...(♯‘𝑠))–onto𝑠)
73 forn 6759 . . . . . . . . 9 (𝑓:(1...(♯‘𝑠))–onto𝑠 → ran 𝑓 = 𝑠)
74 isoeq5 7266 . . . . . . . . 9 (ran 𝑓 = 𝑠 → (𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), ran 𝑓) ↔ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)))
7556, 72, 73, 744syl 19 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → (𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), ran 𝑓) ↔ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)))
7671, 75mpbird 256 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), ran 𝑓))
77 isoeq4 7265 . . . . . . . 8 ((1...(♯‘𝑠)) = (1...(𝑁 + 1)) → (𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), ran 𝑓) ↔ 𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓)))
7863, 77syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → (𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), ran 𝑓) ↔ 𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓)))
7976, 78mpbid 231 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → 𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓))
8070, 79jca 512 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓)))
8180ex 413 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → (𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠) → (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓))))
8281eximdv 1920 . . 3 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → (∃𝑓 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠) → ∃𝑓(𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓))))
8354, 82mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → ∃𝑓(𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓)))
8441, 83exlimddv 1938 1 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  Vcvv 3445  wss 3910   class class class wbr 5105   Or wor 5544  ran crn 5634  1-1wf1 6493  ontowfo 6494  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496   Isom wiso 6497  (class class class)co 7357  cen 8880  cdom 8881  Fincfn 8883  cr 11050  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  cn 12153  0cn0 12413  ...cfz 13424  chash 14230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-hash 14231
This theorem is referenced by:  erdsze2  33799
  Copyright terms: Public domain W3C validator