Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdsze2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erdsze2lem1 35188
Description: Lemma for erdsze2 35190. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze2.r (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
erdsze2.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
erdsze2.f (𝜑𝐹:𝐴1-1→ℝ)
erdsze2.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
erdsze2lem.n 𝑁 = ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1))
erdsze2lem.l (𝜑𝑁 < (♯‘𝐴))
Assertion
Ref Expression
erdsze2lem1 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐹   𝑅,𝑓   𝑆,𝑓   𝑓,𝑁   𝜑,𝑓

Proof of Theorem erdsze2lem1
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erdsze2lem.n . . . . . . . . 9 𝑁 = ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1))
2 erdsze2.r . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
3 nnm1nn0 12565 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℕ → (𝑅 − 1) ∈ ℕ0)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑅 − 1) ∈ ℕ0)
5 erdsze2.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
6 nnm1nn0 12565 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ ℕ → (𝑆 − 1) ∈ ℕ0)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 − 1) ∈ ℕ0)
84, 7nn0mulcld 12590 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) ∈ ℕ0)
91, 8eqeltrid 2843 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
10 peano2nn0 12564 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
11 hashfz1 14382 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
129, 10, 113syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(1...(𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
1312adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ Fin) → (♯‘(1...(𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
14 erdsze2lem.l . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 < (♯‘𝐴))
1514adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ Fin) → 𝑁 < (♯‘𝐴))
16 hashcl 14392 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
17 nn0ltp1le 12674 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝐴)))
189, 16, 17syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ Fin) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝐴)))
1915, 18mpbid 232 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ Fin) → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝐴))
2013, 19eqbrtrd 5170 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ Fin) → (♯‘(1...(𝑁 + 1))) ≤ (♯‘𝐴))
21 fzfid 14011 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ Fin) → (1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
22 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
23 hashdom 14415 . . . . . 6 (((1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘(1...(𝑁 + 1))) ≤ (♯‘𝐴) ↔ (1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴))
2421, 22, 23syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘(1...(𝑁 + 1))) ≤ (♯‘𝐴) ↔ (1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴))
2520, 24mpbid 232 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ Fin) → (1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴)
26 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
27 fzfid 14011 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
28 isinffi 10030 . . . . . 6 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ (1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin) → ∃𝑓 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴)
2926, 27, 28syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑓 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴)
30 erdsze2.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
31 reex 11244 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
32 ssexg 5329 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
3330, 31, 32sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ V)
3433adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ V)
35 brdomg 8996 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → ((1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴))
3634, 35syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴))
3729, 36mpbird 257 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴)
3825, 37pm2.61dan 813 . . 3 (𝜑 → (1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴)
39 domeng 9002 . . . 4 (𝐴 ∈ V → ((1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑠((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)))
4033, 39syl 17 . . 3 (𝜑 → ((1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑠((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)))
4138, 40mpbid 232 . 2 (𝜑 → ∃𝑠((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴))
42 simprr 773 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → 𝑠𝐴)
4330adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
4442, 43sstrd 4006 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → 𝑠 ⊆ ℝ)
45 ltso 11339 . . . . 5 < Or ℝ
46 soss 5617 . . . . 5 (𝑠 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝑠))
4744, 45, 46mpisyl 21 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → < Or 𝑠)
48 fzfid 14011 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → (1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
49 simprl 771 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → (1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠)
50 enfi 9225 . . . . . 6 ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 → ((1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin ↔ 𝑠 ∈ Fin))
5149, 50syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → ((1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin ↔ 𝑠 ∈ Fin))
5248, 51mpbid 232 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → 𝑠 ∈ Fin)
53 fz1iso 14498 . . . 4 (( < Or 𝑠𝑠 ∈ Fin) → ∃𝑓 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠))
5447, 52, 53syl2anc 584 . . 3 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → ∃𝑓 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠))
55 isof1o 7343 . . . . . . . . . 10 (𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠) → 𝑓:(1...(♯‘𝑠))–1-1-onto𝑠)
5655adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → 𝑓:(1...(♯‘𝑠))–1-1-onto𝑠)
57 hashen 14383 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin ∧ 𝑠 ∈ Fin) → ((♯‘(1...(𝑁 + 1))) = (♯‘𝑠) ↔ (1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠))
5848, 52, 57syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → ((♯‘(1...(𝑁 + 1))) = (♯‘𝑠) ↔ (1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠))
5949, 58mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → (♯‘(1...(𝑁 + 1))) = (♯‘𝑠))
6012adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → (♯‘(1...(𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
6159, 60eqtr3d 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → (♯‘𝑠) = (𝑁 + 1))
6261adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → (♯‘𝑠) = (𝑁 + 1))
6362oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → (1...(♯‘𝑠)) = (1...(𝑁 + 1)))
6463f1oeq2d 6845 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → (𝑓:(1...(♯‘𝑠))–1-1-onto𝑠𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto𝑠))
6556, 64mpbid 232 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto𝑠)
66 f1of1 6848 . . . . . . . 8 (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto𝑠𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝑠)
6765, 66syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝑠)
68 simplrr 778 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → 𝑠𝐴)
69 f1ss 6810 . . . . . . 7 ((𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝑠𝑠𝐴) → 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴)
7067, 68, 69syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴)
71 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠))
72 f1ofo 6856 . . . . . . . . 9 (𝑓:(1...(♯‘𝑠))–1-1-onto𝑠𝑓:(1...(♯‘𝑠))–onto𝑠)
73 forn 6824 . . . . . . . . 9 (𝑓:(1...(♯‘𝑠))–onto𝑠 → ran 𝑓 = 𝑠)
74 isoeq5 7341 . . . . . . . . 9 (ran 𝑓 = 𝑠 → (𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), ran 𝑓) ↔ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)))
7556, 72, 73, 744syl 19 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → (𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), ran 𝑓) ↔ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)))
7671, 75mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), ran 𝑓))
77 isoeq4 7340 . . . . . . . 8 ((1...(♯‘𝑠)) = (1...(𝑁 + 1)) → (𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), ran 𝑓) ↔ 𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓)))
7863, 77syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → (𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), ran 𝑓) ↔ 𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓)))
7976, 78mpbid 232 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → 𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓))
8070, 79jca 511 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓)))
8180ex 412 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → (𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠) → (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓))))
8281eximdv 1915 . . 3 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → (∃𝑓 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠) → ∃𝑓(𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓))))
8354, 82mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → ∃𝑓(𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓)))
8441, 83exlimddv 1933 1 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  Vcvv 3478  wss 3963   class class class wbr 5148   Or wor 5596  ran crn 5690  1-1wf1 6560  ontowfo 6561  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563   Isom wiso 6564  (class class class)co 7431  cen 8981  cdom 8982  Fincfn 8984  cr 11152  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  cn 12264  0cn0 12524  ...cfz 13544  chash 14366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367
This theorem is referenced by:  erdsze2  35190
  Copyright terms: Public domain W3C validator