Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdsze2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erdsze2lem1 34944
Description: Lemma for erdsze2 34946. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze2.r (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
erdsze2.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
erdsze2.f (𝜑𝐹:𝐴1-1→ℝ)
erdsze2.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
erdsze2lem.n 𝑁 = ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1))
erdsze2lem.l (𝜑𝑁 < (♯‘𝐴))
Assertion
Ref Expression
erdsze2lem1 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐹   𝑅,𝑓   𝑆,𝑓   𝑓,𝑁   𝜑,𝑓

Proof of Theorem erdsze2lem1
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erdsze2lem.n . . . . . . . . 9 𝑁 = ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1))
2 erdsze2.r . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
3 nnm1nn0 12546 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℕ → (𝑅 − 1) ∈ ℕ0)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑅 − 1) ∈ ℕ0)
5 erdsze2.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
6 nnm1nn0 12546 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ ℕ → (𝑆 − 1) ∈ ℕ0)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 − 1) ∈ ℕ0)
84, 7nn0mulcld 12570 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) ∈ ℕ0)
91, 8eqeltrid 2829 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
10 peano2nn0 12545 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
11 hashfz1 14341 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
129, 10, 113syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(1...(𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
1312adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ Fin) → (♯‘(1...(𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
14 erdsze2lem.l . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 < (♯‘𝐴))
1514adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ Fin) → 𝑁 < (♯‘𝐴))
16 hashcl 14351 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
17 nn0ltp1le 12653 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝐴)))
189, 16, 17syl2an 594 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ Fin) → (𝑁 < (♯‘𝐴) ↔ (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝐴)))
1915, 18mpbid 231 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ Fin) → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝐴))
2013, 19eqbrtrd 5171 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ Fin) → (♯‘(1...(𝑁 + 1))) ≤ (♯‘𝐴))
21 fzfid 13974 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ Fin) → (1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
22 simpr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
23 hashdom 14374 . . . . . 6 (((1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘(1...(𝑁 + 1))) ≤ (♯‘𝐴) ↔ (1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴))
2421, 22, 23syl2anc 582 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘(1...(𝑁 + 1))) ≤ (♯‘𝐴) ↔ (1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴))
2520, 24mpbid 231 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ Fin) → (1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴)
26 simpr 483 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
27 fzfid 13974 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
28 isinffi 10017 . . . . . 6 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ (1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin) → ∃𝑓 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴)
2926, 27, 28syl2anc 582 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑓 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴)
30 erdsze2.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
31 reex 11231 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
32 ssexg 5324 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
3330, 31, 32sylancl 584 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ V)
3433adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ V)
35 brdomg 8977 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → ((1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴))
3634, 35syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴))
3729, 36mpbird 256 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴)
3825, 37pm2.61dan 811 . . 3 (𝜑 → (1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴)
39 domeng 8983 . . . 4 (𝐴 ∈ V → ((1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑠((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)))
4033, 39syl 17 . . 3 (𝜑 → ((1...(𝑁 + 1)) ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑠((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)))
4138, 40mpbid 231 . 2 (𝜑 → ∃𝑠((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴))
42 simprr 771 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → 𝑠𝐴)
4330adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
4442, 43sstrd 3987 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → 𝑠 ⊆ ℝ)
45 ltso 11326 . . . . 5 < Or ℝ
46 soss 5610 . . . . 5 (𝑠 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝑠))
4744, 45, 46mpisyl 21 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → < Or 𝑠)
48 fzfid 13974 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → (1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
49 simprl 769 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → (1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠)
50 enfi 9215 . . . . . 6 ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠 → ((1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin ↔ 𝑠 ∈ Fin))
5149, 50syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → ((1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin ↔ 𝑠 ∈ Fin))
5248, 51mpbid 231 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → 𝑠 ∈ Fin)
53 fz1iso 14459 . . . 4 (( < Or 𝑠𝑠 ∈ Fin) → ∃𝑓 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠))
5447, 52, 53syl2anc 582 . . 3 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → ∃𝑓 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠))
55 isof1o 7330 . . . . . . . . . 10 (𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠) → 𝑓:(1...(♯‘𝑠))–1-1-onto𝑠)
5655adantl 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → 𝑓:(1...(♯‘𝑠))–1-1-onto𝑠)
57 hashen 14342 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin ∧ 𝑠 ∈ Fin) → ((♯‘(1...(𝑁 + 1))) = (♯‘𝑠) ↔ (1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠))
5848, 52, 57syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → ((♯‘(1...(𝑁 + 1))) = (♯‘𝑠) ↔ (1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠))
5949, 58mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → (♯‘(1...(𝑁 + 1))) = (♯‘𝑠))
6012adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → (♯‘(1...(𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
6159, 60eqtr3d 2767 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → (♯‘𝑠) = (𝑁 + 1))
6261adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → (♯‘𝑠) = (𝑁 + 1))
6362oveq2d 7435 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → (1...(♯‘𝑠)) = (1...(𝑁 + 1)))
6463f1oeq2d 6834 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → (𝑓:(1...(♯‘𝑠))–1-1-onto𝑠𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto𝑠))
6556, 64mpbid 231 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto𝑠)
66 f1of1 6837 . . . . . . . 8 (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto𝑠𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝑠)
6765, 66syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝑠)
68 simplrr 776 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → 𝑠𝐴)
69 f1ss 6798 . . . . . . 7 ((𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝑠𝑠𝐴) → 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴)
7067, 68, 69syl2anc 582 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → 𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴)
71 simpr 483 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠))
72 f1ofo 6845 . . . . . . . . 9 (𝑓:(1...(♯‘𝑠))–1-1-onto𝑠𝑓:(1...(♯‘𝑠))–onto𝑠)
73 forn 6813 . . . . . . . . 9 (𝑓:(1...(♯‘𝑠))–onto𝑠 → ran 𝑓 = 𝑠)
74 isoeq5 7328 . . . . . . . . 9 (ran 𝑓 = 𝑠 → (𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), ran 𝑓) ↔ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)))
7556, 72, 73, 744syl 19 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → (𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), ran 𝑓) ↔ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)))
7671, 75mpbird 256 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), ran 𝑓))
77 isoeq4 7327 . . . . . . . 8 ((1...(♯‘𝑠)) = (1...(𝑁 + 1)) → (𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), ran 𝑓) ↔ 𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓)))
7863, 77syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → (𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), ran 𝑓) ↔ 𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓)))
7976, 78mpbid 231 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → 𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓))
8070, 79jca 510 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠)) → (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓)))
8180ex 411 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → (𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠) → (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓))))
8281eximdv 1912 . . 3 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → (∃𝑓 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑠)), 𝑠) → ∃𝑓(𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓))))
8354, 82mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ ((1...(𝑁 + 1)) ≈ 𝑠𝑠𝐴)) → ∃𝑓(𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓)))
8441, 83exlimddv 1930 1 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1𝐴𝑓 Isom < , < ((1...(𝑁 + 1)), ran 𝑓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  Vcvv 3461  wss 3944   class class class wbr 5149   Or wor 5589  ran crn 5679  1-1wf1 6546  ontowfo 6547  1-1-ontowf1o 6548  cfv 6549   Isom wiso 6550  (class class class)co 7419  cen 8961  cdom 8962  Fincfn 8964  cr 11139  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145   < clt 11280  cle 11281  cmin 11476  cn 12245  0cn0 12505  ...cfz 13519  chash 14325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-n0 12506  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-hash 14326
This theorem is referenced by:  erdsze2  34946
  Copyright terms: Public domain W3C validator