Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdsze2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erdsze2lem1 34493
Description: Lemma for erdsze2 34495. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze2.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
erdsze2.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„•)
erdsze2.f (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ดโ€“1-1โ†’โ„)
erdsze2.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โІ โ„)
erdsze2lem.n ๐‘ = ((๐‘… โˆ’ 1) ยท (๐‘† โˆ’ 1))
erdsze2lem.l (๐œ‘ โ†’ ๐‘ < (โ™ฏโ€˜๐ด))
Assertion
Ref Expression
erdsze2lem1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...(๐‘ + 1))โ€“1-1โ†’๐ด โˆง ๐‘“ Isom < , < ((1...(๐‘ + 1)), ran ๐‘“)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘“   ๐‘“,๐น   ๐‘…,๐‘“   ๐‘†,๐‘“   ๐‘“,๐‘   ๐œ‘,๐‘“

Proof of Theorem erdsze2lem1
Dummy variable ๐‘  is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erdsze2lem.n . . . . . . . . 9 ๐‘ = ((๐‘… โˆ’ 1) ยท (๐‘† โˆ’ 1))
2 erdsze2.r . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
3 nnm1nn0 12518 . . . . . . . . . . 11 (๐‘… โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘… โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
5 erdsze2.s . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„•)
6 nnm1nn0 12518 . . . . . . . . . . 11 (๐‘† โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘† โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
84, 7nn0mulcld 12542 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… โˆ’ 1) ยท (๐‘† โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•0)
91, 8eqeltrid 2836 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
10 peano2nn0 12517 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0)
11 hashfz1 14311 . . . . . . . 8 ((๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...(๐‘ + 1))) = (๐‘ + 1))
129, 10, 113syl 18 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...(๐‘ + 1))) = (๐‘ + 1))
1312adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...(๐‘ + 1))) = (๐‘ + 1))
14 erdsze2lem.l . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ < (โ™ฏโ€˜๐ด))
1514adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ ๐‘ < (โ™ฏโ€˜๐ด))
16 hashcl 14321 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
17 nn0ltp1le 12625 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ < (โ™ฏโ€˜๐ด) โ†” (๐‘ + 1) โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด)))
189, 16, 17syl2an 595 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘ < (โ™ฏโ€˜๐ด) โ†” (๐‘ + 1) โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด)))
1915, 18mpbid 231 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘ + 1) โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด))
2013, 19eqbrtrd 5170 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...(๐‘ + 1))) โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด))
21 fzfid 13943 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ (1...(๐‘ + 1)) โˆˆ Fin)
22 simpr 484 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
23 hashdom 14344 . . . . . 6 (((1...(๐‘ + 1)) โˆˆ Fin โˆง ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(1...(๐‘ + 1))) โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด) โ†” (1...(๐‘ + 1)) โ‰ผ ๐ด))
2421, 22, 23syl2anc 583 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(1...(๐‘ + 1))) โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด) โ†” (1...(๐‘ + 1)) โ‰ผ ๐ด))
2520, 24mpbid 231 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ (1...(๐‘ + 1)) โ‰ผ ๐ด)
26 simpr 484 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ ยฌ ๐ด โˆˆ Fin)
27 fzfid 13943 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ (1...(๐‘ + 1)) โˆˆ Fin)
28 isinffi 9991 . . . . . 6 ((ยฌ ๐ด โˆˆ Fin โˆง (1...(๐‘ + 1)) โˆˆ Fin) โ†’ โˆƒ๐‘“ ๐‘“:(1...(๐‘ + 1))โ€“1-1โ†’๐ด)
2926, 27, 28syl2anc 583 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ โˆƒ๐‘“ ๐‘“:(1...(๐‘ + 1))โ€“1-1โ†’๐ด)
30 erdsze2.a . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โІ โ„)
31 reex 11205 . . . . . . . 8 โ„ โˆˆ V
32 ssexg 5323 . . . . . . . 8 ((๐ด โІ โ„ โˆง โ„ โˆˆ V) โ†’ ๐ด โˆˆ V)
3330, 31, 32sylancl 585 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ V)
3433adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ ๐ด โˆˆ V)
35 brdomg 8956 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ V โ†’ ((1...(๐‘ + 1)) โ‰ผ ๐ด โ†” โˆƒ๐‘“ ๐‘“:(1...(๐‘ + 1))โ€“1-1โ†’๐ด))
3634, 35syl 17 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ ((1...(๐‘ + 1)) โ‰ผ ๐ด โ†” โˆƒ๐‘“ ๐‘“:(1...(๐‘ + 1))โ€“1-1โ†’๐ด))
3729, 36mpbird 257 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ (1...(๐‘ + 1)) โ‰ผ ๐ด)
3825, 37pm2.61dan 810 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1...(๐‘ + 1)) โ‰ผ ๐ด)
39 domeng 8962 . . . 4 (๐ด โˆˆ V โ†’ ((1...(๐‘ + 1)) โ‰ผ ๐ด โ†” โˆƒ๐‘ ((1...(๐‘ + 1)) โ‰ˆ ๐‘  โˆง ๐‘  โІ ๐ด)))
4033, 39syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((1...(๐‘ + 1)) โ‰ผ ๐ด โ†” โˆƒ๐‘ ((1...(๐‘ + 1)) โ‰ˆ ๐‘  โˆง ๐‘  โІ ๐ด)))
4138, 40mpbid 231 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ ((1...(๐‘ + 1)) โ‰ˆ ๐‘  โˆง ๐‘  โІ ๐ด))
42 simprr 770 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((1...(๐‘ + 1)) โ‰ˆ ๐‘  โˆง ๐‘  โІ ๐ด)) โ†’ ๐‘  โІ ๐ด)
4330adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((1...(๐‘ + 1)) โ‰ˆ ๐‘  โˆง ๐‘  โІ ๐ด)) โ†’ ๐ด โІ โ„)
4442, 43sstrd 3992 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((1...(๐‘ + 1)) โ‰ˆ ๐‘  โˆง ๐‘  โІ ๐ด)) โ†’ ๐‘  โІ โ„)
45 ltso 11299 . . . . 5 < Or โ„
46 soss 5608 . . . . 5 (๐‘  โІ โ„ โ†’ ( < Or โ„ โ†’ < Or ๐‘ ))
4744, 45, 46mpisyl 21 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ((1...(๐‘ + 1)) โ‰ˆ ๐‘  โˆง ๐‘  โІ ๐ด)) โ†’ < Or ๐‘ )
48 fzfid 13943 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((1...(๐‘ + 1)) โ‰ˆ ๐‘  โˆง ๐‘  โІ ๐ด)) โ†’ (1...(๐‘ + 1)) โˆˆ Fin)
49 simprl 768 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((1...(๐‘ + 1)) โ‰ˆ ๐‘  โˆง ๐‘  โІ ๐ด)) โ†’ (1...(๐‘ + 1)) โ‰ˆ ๐‘ )
50 enfi 9194 . . . . . 6 ((1...(๐‘ + 1)) โ‰ˆ ๐‘  โ†’ ((1...(๐‘ + 1)) โˆˆ Fin โ†” ๐‘  โˆˆ Fin))
5149, 50syl 17 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((1...(๐‘ + 1)) โ‰ˆ ๐‘  โˆง ๐‘  โІ ๐ด)) โ†’ ((1...(๐‘ + 1)) โˆˆ Fin โ†” ๐‘  โˆˆ Fin))
5248, 51mpbid 231 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ((1...(๐‘ + 1)) โ‰ˆ ๐‘  โˆง ๐‘  โІ ๐ด)) โ†’ ๐‘  โˆˆ Fin)
53 fz1iso 14428 . . . 4 (( < Or ๐‘  โˆง ๐‘  โˆˆ Fin) โ†’ โˆƒ๐‘“ ๐‘“ Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐‘ )), ๐‘ ))
5447, 52, 53syl2anc 583 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ((1...(๐‘ + 1)) โ‰ˆ ๐‘  โˆง ๐‘  โІ ๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘“ ๐‘“ Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐‘ )), ๐‘ ))
55 isof1o 7323 . . . . . . . . . 10 (๐‘“ Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐‘ )), ๐‘ ) โ†’ ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐‘ ))โ€“1-1-ontoโ†’๐‘ )
5655adantl 481 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ((1...(๐‘ + 1)) โ‰ˆ ๐‘  โˆง ๐‘  โІ ๐ด)) โˆง ๐‘“ Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐‘ )), ๐‘ )) โ†’ ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐‘ ))โ€“1-1-ontoโ†’๐‘ )
57 hashen 14312 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...(๐‘ + 1)) โˆˆ Fin โˆง ๐‘  โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(1...(๐‘ + 1))) = (โ™ฏโ€˜๐‘ ) โ†” (1...(๐‘ + 1)) โ‰ˆ ๐‘ ))
5848, 52, 57syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ((1...(๐‘ + 1)) โ‰ˆ ๐‘  โˆง ๐‘  โІ ๐ด)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(1...(๐‘ + 1))) = (โ™ฏโ€˜๐‘ ) โ†” (1...(๐‘ + 1)) โ‰ˆ ๐‘ ))
5949, 58mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((1...(๐‘ + 1)) โ‰ˆ ๐‘  โˆง ๐‘  โІ ๐ด)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...(๐‘ + 1))) = (โ™ฏโ€˜๐‘ ))
6012adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((1...(๐‘ + 1)) โ‰ˆ ๐‘  โˆง ๐‘  โІ ๐ด)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...(๐‘ + 1))) = (๐‘ + 1))
6159, 60eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((1...(๐‘ + 1)) โ‰ˆ ๐‘  โˆง ๐‘  โІ ๐ด)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ ) = (๐‘ + 1))
6261adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ((1...(๐‘ + 1)) โ‰ˆ ๐‘  โˆง ๐‘  โІ ๐ด)) โˆง ๐‘“ Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐‘ )), ๐‘ )) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ ) = (๐‘ + 1))
6362oveq2d 7428 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ((1...(๐‘ + 1)) โ‰ˆ ๐‘  โˆง ๐‘  โІ ๐ด)) โˆง ๐‘“ Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐‘ )), ๐‘ )) โ†’ (1...(โ™ฏโ€˜๐‘ )) = (1...(๐‘ + 1)))
6463f1oeq2d 6829 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ((1...(๐‘ + 1)) โ‰ˆ ๐‘  โˆง ๐‘  โІ ๐ด)) โˆง ๐‘“ Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐‘ )), ๐‘ )) โ†’ (๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐‘ ))โ€“1-1-ontoโ†’๐‘  โ†” ๐‘“:(1...(๐‘ + 1))โ€“1-1-ontoโ†’๐‘ ))
6556, 64mpbid 231 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ((1...(๐‘ + 1)) โ‰ˆ ๐‘  โˆง ๐‘  โІ ๐ด)) โˆง ๐‘“ Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐‘ )), ๐‘ )) โ†’ ๐‘“:(1...(๐‘ + 1))โ€“1-1-ontoโ†’๐‘ )
66 f1of1 6832 . . . . . . . 8 (๐‘“:(1...(๐‘ + 1))โ€“1-1-ontoโ†’๐‘  โ†’ ๐‘“:(1...(๐‘ + 1))โ€“1-1โ†’๐‘ )
6765, 66syl 17 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ((1...(๐‘ + 1)) โ‰ˆ ๐‘  โˆง ๐‘  โІ ๐ด)) โˆง ๐‘“ Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐‘ )), ๐‘ )) โ†’ ๐‘“:(1...(๐‘ + 1))โ€“1-1โ†’๐‘ )
68 simplrr 775 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ((1...(๐‘ + 1)) โ‰ˆ ๐‘  โˆง ๐‘  โІ ๐ด)) โˆง ๐‘“ Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐‘ )), ๐‘ )) โ†’ ๐‘  โІ ๐ด)
69 f1ss 6793 . . . . . . 7 ((๐‘“:(1...(๐‘ + 1))โ€“1-1โ†’๐‘  โˆง ๐‘  โІ ๐ด) โ†’ ๐‘“:(1...(๐‘ + 1))โ€“1-1โ†’๐ด)
7067, 68, 69syl2anc 583 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ((1...(๐‘ + 1)) โ‰ˆ ๐‘  โˆง ๐‘  โІ ๐ด)) โˆง ๐‘“ Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐‘ )), ๐‘ )) โ†’ ๐‘“:(1...(๐‘ + 1))โ€“1-1โ†’๐ด)
71 simpr 484 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ((1...(๐‘ + 1)) โ‰ˆ ๐‘  โˆง ๐‘  โІ ๐ด)) โˆง ๐‘“ Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐‘ )), ๐‘ )) โ†’ ๐‘“ Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐‘ )), ๐‘ ))
72 f1ofo 6840 . . . . . . . . 9 (๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐‘ ))โ€“1-1-ontoโ†’๐‘  โ†’ ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐‘ ))โ€“ontoโ†’๐‘ )
73 forn 6808 . . . . . . . . 9 (๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐‘ ))โ€“ontoโ†’๐‘  โ†’ ran ๐‘“ = ๐‘ )
74 isoeq5 7321 . . . . . . . . 9 (ran ๐‘“ = ๐‘  โ†’ (๐‘“ Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐‘ )), ran ๐‘“) โ†” ๐‘“ Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐‘ )), ๐‘ )))
7556, 72, 73, 744syl 19 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ((1...(๐‘ + 1)) โ‰ˆ ๐‘  โˆง ๐‘  โІ ๐ด)) โˆง ๐‘“ Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐‘ )), ๐‘ )) โ†’ (๐‘“ Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐‘ )), ran ๐‘“) โ†” ๐‘“ Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐‘ )), ๐‘ )))
7671, 75mpbird 257 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ((1...(๐‘ + 1)) โ‰ˆ ๐‘  โˆง ๐‘  โІ ๐ด)) โˆง ๐‘“ Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐‘ )), ๐‘ )) โ†’ ๐‘“ Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐‘ )), ran ๐‘“))
77 isoeq4 7320 . . . . . . . 8 ((1...(โ™ฏโ€˜๐‘ )) = (1...(๐‘ + 1)) โ†’ (๐‘“ Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐‘ )), ran ๐‘“) โ†” ๐‘“ Isom < , < ((1...(๐‘ + 1)), ran ๐‘“)))
7863, 77syl 17 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ((1...(๐‘ + 1)) โ‰ˆ ๐‘  โˆง ๐‘  โІ ๐ด)) โˆง ๐‘“ Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐‘ )), ๐‘ )) โ†’ (๐‘“ Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐‘ )), ran ๐‘“) โ†” ๐‘“ Isom < , < ((1...(๐‘ + 1)), ran ๐‘“)))
7976, 78mpbid 231 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ((1...(๐‘ + 1)) โ‰ˆ ๐‘  โˆง ๐‘  โІ ๐ด)) โˆง ๐‘“ Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐‘ )), ๐‘ )) โ†’ ๐‘“ Isom < , < ((1...(๐‘ + 1)), ran ๐‘“))
8070, 79jca 511 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ((1...(๐‘ + 1)) โ‰ˆ ๐‘  โˆง ๐‘  โІ ๐ด)) โˆง ๐‘“ Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐‘ )), ๐‘ )) โ†’ (๐‘“:(1...(๐‘ + 1))โ€“1-1โ†’๐ด โˆง ๐‘“ Isom < , < ((1...(๐‘ + 1)), ran ๐‘“)))
8180ex 412 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ((1...(๐‘ + 1)) โ‰ˆ ๐‘  โˆง ๐‘  โІ ๐ด)) โ†’ (๐‘“ Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐‘ )), ๐‘ ) โ†’ (๐‘“:(1...(๐‘ + 1))โ€“1-1โ†’๐ด โˆง ๐‘“ Isom < , < ((1...(๐‘ + 1)), ran ๐‘“))))
8281eximdv 1919 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ((1...(๐‘ + 1)) โ‰ˆ ๐‘  โˆง ๐‘  โІ ๐ด)) โ†’ (โˆƒ๐‘“ ๐‘“ Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐‘ )), ๐‘ ) โ†’ โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...(๐‘ + 1))โ€“1-1โ†’๐ด โˆง ๐‘“ Isom < , < ((1...(๐‘ + 1)), ran ๐‘“))))
8354, 82mpd 15 . 2 ((๐œ‘ โˆง ((1...(๐‘ + 1)) โ‰ˆ ๐‘  โˆง ๐‘  โІ ๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...(๐‘ + 1))โ€“1-1โ†’๐ด โˆง ๐‘“ Isom < , < ((1...(๐‘ + 1)), ran ๐‘“)))
8441, 83exlimddv 1937 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...(๐‘ + 1))โ€“1-1โ†’๐ด โˆง ๐‘“ Isom < , < ((1...(๐‘ + 1)), ran ๐‘“)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1540  โˆƒwex 1780   โˆˆ wcel 2105  Vcvv 3473   โІ wss 3948   class class class wbr 5148   Or wor 5587  ran crn 5677  โ€“1-1โ†’wf1 6540  โ€“ontoโ†’wfo 6541  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6542  โ€˜cfv 6543   Isom wiso 6544  (class class class)co 7412   โ‰ˆ cen 8940   โ‰ผ cdom 8941  Fincfn 8943  โ„cr 11113  1c1 11115   + caddc 11117   ยท cmul 11119   < clt 11253   โ‰ค cle 11254   โˆ’ cmin 11449  โ„•cn 12217  โ„•0cn0 12477  ...cfz 13489  โ™ฏchash 14295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-oadd 8474  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-hash 14296
This theorem is referenced by:  erdsze2  34495
  Copyright terms: Public domain W3C validator