MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domfi 8341
Description: A set dominated by a finite set is finite. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
domfi ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem domfi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domeng 8127 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐵𝐴 ↔ ∃𝑥(𝐵𝑥𝑥𝐴)))
2 ssfi 8340 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
32adantrl 695 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝑥𝑥𝐴)) → 𝑥 ∈ Fin)
4 enfii 8337 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑥) → 𝐵 ∈ Fin)
54adantrr 696 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝐵𝑥𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ Fin)
63, 5sylancom 576 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝑥𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ Fin)
76ex 397 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → ((𝐵𝑥𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ Fin))
87exlimdv 2013 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (∃𝑥(𝐵𝑥𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ Fin))
91, 8sylbid 230 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (𝐵𝐴𝐵 ∈ Fin))
109imp 393 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wex 1852  wcel 2145  wss 3723   class class class wbr 4787  cen 8110  cdom 8111  Fincfn 8113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-om 7217  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-fin 8117
This theorem is referenced by:  xpfir  8342  dmfi  8404  fofi  8412  pwfilem  8420  pwfi  8421  sdom2en01  9330  isfin1-2  9413  fin67  9423  fin1a2lem9  9436  gchcda1  9684  hashdomi  13371  symggen  18097  cmpsub  21424  ufinffr  21953  alexsubALT  22075  ovolicc2lem4  23508  aannenlem1  24303  ffsrn  29844  locfinreflem  30247  lindsenlbs  33736  harinf  38125  kelac2lem  38158  disjinfi  39897
  Copyright terms: Public domain W3C validator