MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domfi 9188
Description: A set dominated by a finite set is finite. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
domfi ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem domfi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domeng 8954 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐵𝐴 ↔ ∃𝑥(𝐵𝑥𝑥𝐴)))
2 ssfi 9169 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
32adantrl 714 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝑥𝑥𝐴)) → 𝑥 ∈ Fin)
4 enfii 9185 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑥) → 𝐵 ∈ Fin)
54adantrr 715 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝐵𝑥𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ Fin)
63, 5sylancom 588 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝑥𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ Fin)
76ex 413 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → ((𝐵𝑥𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ Fin))
87exlimdv 1936 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (∃𝑥(𝐵𝑥𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ Fin))
91, 8sylbid 239 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (𝐵𝐴𝐵 ∈ Fin))
109imp 407 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wex 1781  wcel 2106  wss 3947   class class class wbr 5147  cen 8932  cdom 8933  Fincfn 8935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-om 7852  df-1o 8462  df-en 8936  df-dom 8937  df-fin 8939
This theorem is referenced by:  domtrfi  9192  domtrfir  9193  sdomdomtrfi  9200  php3  9208  onomeneq  9224  xpfir  9262  findcard3  9281  dmfi  9326  fofi  9334  pwfilemOLD  9342  pwfiOLD  9343  sdom2en01  10293  isfin1-2  10376  fin67  10386  fin1a2lem9  10399  gchdju1  10647  hashdomi  14336  symggen  19332  cmpsub  22895  ufinffr  23424  alexsubALT  23546  ovolicc2lem4  25028  aannenlem1  25832  ffsrn  31941  locfinreflem  32808  lindsenlbs  36471  harinf  41758  kelac2lem  41791  disjinfi  43876
  Copyright terms: Public domain W3C validator