Theorem domfi 9117

Description: A set dominated by a finite set is finite. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem domfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domeng 8903	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑥(𝐵 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)))
2		ssfi 9101	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
3	2	adantrl 717	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → 𝑥 ∈ Fin)
4		enfii 9114	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 𝑥) → 𝐵 ∈ Fin)
5	4	adantrr 718	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝐵 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → 𝐵 ∈ Fin)
6	3, 5	sylancom 589	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → 𝐵 ∈ Fin)
7	6	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((𝐵 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin))
8	7	exlimdv 1935	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∃𝑥(𝐵 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin))
9	1, 8	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐵 ∈ Fin))
10	9	imp 406	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086   ≈ cen 8884   ≼ cdom 8885  Fincfn 8887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-om 7812  df-1o 8399  df-en 8888  df-dom 8889  df-fin 8891

This theorem is referenced by:  domtrfi  9121  domtrfir  9122  sdomdomtrfi  9129  php3  9137  onomeneq  9142  xpfir  9172  findcard3  9187  fofi  9217  fodomfir  9232  dmfi  9239  sdom2en01  10218  isfin1-2  10301  fin67  10311  fin1a2lem9  10324  gchdju1  10573  hashdomi  14336  symggen  19439  cmpsub  23378  ufinffr  23907  alexsubALT  24029  ovolicc2lem4  25500  aannenlem1  26308  madefi  27922  ffsrn  32819  locfinreflem  34003  lindsenlbs  37953  harinf  43483  kelac2lem  43513  disjinfi  45643