Theorem domfi 8874

Description: A set dominated by a finite set is finite. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem domfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domeng 8620	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑥(𝐵 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)))
2		ssfi 8829	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
3	2	adantrl 716	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → 𝑥 ∈ Fin)
4		enfii 8841	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 𝑥) → 𝐵 ∈ Fin)
5	4	adantrr 717	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝐵 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → 𝐵 ∈ Fin)
6	3, 5	sylancom 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → 𝐵 ∈ Fin)
7	6	ex 416	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((𝐵 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin))
8	7	exlimdv 1941	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∃𝑥(𝐵 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin))
9	1, 8	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐵 ∈ Fin))
10	9	imp 410	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399  ∃wex 1787   ∈ wcel 2112   ⊆ wss 3853   class class class wbr 5039   ≈ cen 8601   ≼ cdom 8602  Fincfn 8604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307  ax-un 7501

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-om 7623  df-1o 8180  df-en 8605  df-dom 8606  df-fin 8608

This theorem is referenced by:  xpfir  8875  dmfi  8932  fofi  8940  pwfilemOLD  8948  pwfiOLD  8949  sdom2en01  9881  isfin1-2  9964  fin67  9974  fin1a2lem9  9987  gchdju1  10235  hashdomi  13912  symggen  18816  cmpsub  22251  ufinffr  22780  alexsubALT  22902  ovolicc2lem4  24371  aannenlem1  25175  ffsrn  30738  locfinreflem  31458  lindsenlbs  35458  harinf  40500  kelac2lem  40533  disjinfi  42345