Theorem domfi 9113

Description: A set dominated by a finite set is finite. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem domfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domeng 8899	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑥(𝐵 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)))
2		ssfi 9097	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
3	2	adantrl 716	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → 𝑥 ∈ Fin)
4		enfii 9110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 𝑥) → 𝐵 ∈ Fin)
5	4	adantrr 717	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝐵 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → 𝐵 ∈ Fin)
6	3, 5	sylancom 588	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → 𝐵 ∈ Fin)
7	6	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((𝐵 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin))
8	7	exlimdv 1934	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∃𝑥(𝐵 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin))
9	1, 8	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐵 ∈ Fin))
10	9	imp 406	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5098   ≈ cen 8880   ≼ cdom 8881  Fincfn 8883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-om 7809  df-1o 8397  df-en 8884  df-dom 8885  df-fin 8887

This theorem is referenced by:  domtrfi  9117  domtrfir  9118  sdomdomtrfi  9125  php3  9133  onomeneq  9138  xpfir  9168  findcard3  9183  fofi  9213  fodomfir  9228  dmfi  9235  sdom2en01  10212  isfin1-2  10295  fin67  10305  fin1a2lem9  10318  gchdju1  10567  hashdomi  14303  symggen  19399  cmpsub  23344  ufinffr  23873  alexsubALT  23995  ovolicc2lem4  25477  aannenlem1  26292  madefi  27909  ffsrn  32807  locfinreflem  33997  lindsenlbs  37816  harinf  43286  kelac2lem  43316  disjinfi  45446