Theorem mapdom1 9143

Description: Order-preserving property of set exponentiation. Theorem 6L(c) of [Enderton] p. 149. (Contributed by NM, 27-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mapdom1	⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 ↑m 𝐶) ≼ (𝐵 ↑m 𝐶))

Proof of Theorem mapdom1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8961	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex2i 5712	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
3		domeng 8971	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
4	2, 3	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
5	4	ibi 270	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) → ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))
7		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ≈ 𝑥)
8		enrefg 8993	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ V → 𝐶 ≈ 𝐶)
9	8	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) → 𝐶 ≈ 𝐶)
10		mapen 9142	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝐶 ≈ 𝐶) → (𝐴 ↑m 𝐶) ≈ (𝑥 ↑m 𝐶))
11	7, 9, 10	syl2anr 609	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → (𝐴 ↑m 𝐶) ≈ (𝑥 ↑m 𝐶))
12		ovex 7447	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ↑m 𝐶) ∈ V
13	2	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
14		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
15		mapss 8899	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ↑m 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑m 𝐶))
16	13, 14, 15	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → (𝑥 ↑m 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑m 𝐶))
17		ssdomg 9009	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ↑m 𝐶) ∈ V → ((𝑥 ↑m 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑m 𝐶) → (𝑥 ↑m 𝐶) ≼ (𝐵 ↑m 𝐶)))
18	12, 16, 17	mpsyl 69	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → (𝑥 ↑m 𝐶) ≼ (𝐵 ↑m 𝐶))
19		endomtr 9021	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ↑m 𝐶) ≈ (𝑥 ↑m 𝐶) ∧ (𝑥 ↑m 𝐶) ≼ (𝐵 ↑m 𝐶)) → (𝐴 ↑m 𝐶) ≼ (𝐵 ↑m 𝐶))
20	11, 18, 19	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → (𝐴 ↑m 𝐶) ≼ (𝐵 ↑m 𝐶))
21	6, 20	exlimddv 1968	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐴 ↑m 𝐶) ≼ (𝐵 ↑m 𝐶))
22		elmapex 8850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
23	22	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶) → 𝐶 ∈ V)
24	23	con3i 155	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ↑m 𝐶))
25	24	eq0rdv 4365	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (𝐴 ↑m 𝐶) = ∅)
26	25	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → (𝐴 ↑m 𝐶) = ∅)
27	12	0dom 9108	. . 3 ⊢ ∅ ≼ (𝐵 ↑m 𝐶)
28	26, 27	eqbrtrdi 5144	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → (𝐴 ↑m 𝐶) ≼ (𝐵 ↑m 𝐶))
29	21, 28	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 ↑m 𝐶) ≼ (𝐵 ↑m 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  (class class class)co 7414   ↑_m cmap 8829   ≈ cen 8952   ≼ cdom 8953

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957

This theorem is used by:  mappwen  10118  pwcfsdom  10595  cfpwsdom  10596  rpnnen  16318  rexpen  16319  hauspwdom  23730