MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapdom1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdom1 9181
Description: Order-preserving property of set exponentiation. Theorem 6L(c) of [Enderton] p. 149. (Contributed by NM, 27-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
mapdom1 (𝐴𝐵 → (𝐴m 𝐶) ≼ (𝐵m 𝐶))

Proof of Theorem mapdom1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 8990 . . . . . . 7 Rel ≼
21brrelex2i 5746 . . . . . 6 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
3 domeng 9002 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵)))
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵)))
54ibi 267 . . . 4 (𝐴𝐵 → ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵))
65adantr 480 . . 3 ((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) → ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵))
7 simpl 482 . . . . 5 ((𝐴𝑥𝑥𝐵) → 𝐴𝑥)
8 enrefg 9023 . . . . . 6 (𝐶 ∈ V → 𝐶𝐶)
98adantl 481 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) → 𝐶𝐶)
10 mapen 9180 . . . . 5 ((𝐴𝑥𝐶𝐶) → (𝐴m 𝐶) ≈ (𝑥m 𝐶))
117, 9, 10syl2anr 597 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → (𝐴m 𝐶) ≈ (𝑥m 𝐶))
12 ovex 7464 . . . . 5 (𝐵m 𝐶) ∈ V
132ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
14 simprr 773 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → 𝑥𝐵)
15 mapss 8928 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥m 𝐶) ⊆ (𝐵m 𝐶))
1613, 14, 15syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → (𝑥m 𝐶) ⊆ (𝐵m 𝐶))
17 ssdomg 9039 . . . . 5 ((𝐵m 𝐶) ∈ V → ((𝑥m 𝐶) ⊆ (𝐵m 𝐶) → (𝑥m 𝐶) ≼ (𝐵m 𝐶)))
1812, 16, 17mpsyl 68 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → (𝑥m 𝐶) ≼ (𝐵m 𝐶))
19 endomtr 9051 . . . 4 (((𝐴m 𝐶) ≈ (𝑥m 𝐶) ∧ (𝑥m 𝐶) ≼ (𝐵m 𝐶)) → (𝐴m 𝐶) ≼ (𝐵m 𝐶))
2011, 18, 19syl2anc 584 . . 3 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → (𝐴m 𝐶) ≼ (𝐵m 𝐶))
216, 20exlimddv 1933 . 2 ((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) → (𝐴m 𝐶) ≼ (𝐵m 𝐶))
22 elmapex 8887 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴m 𝐶) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
2322simprd 495 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴m 𝐶) → 𝐶 ∈ V)
2423con3i 154 . . . . 5 𝐶 ∈ V → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴m 𝐶))
2524eq0rdv 4413 . . . 4 𝐶 ∈ V → (𝐴m 𝐶) = ∅)
2625adantl 481 . . 3 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → (𝐴m 𝐶) = ∅)
27120dom 9145 . . 3 ∅ ≼ (𝐵m 𝐶)
2826, 27eqbrtrdi 5187 . 2 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → (𝐴m 𝐶) ≼ (𝐵m 𝐶))
2921, 28pm2.61dan 813 1 (𝐴𝐵 → (𝐴m 𝐶) ≼ (𝐵m 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  Vcvv 3478  wss 3963  c0 4339   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  m cmap 8865  cen 8981  cdom 8982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986
This theorem is referenced by:  mappwen  10150  pwcfsdom  10621  cfpwsdom  10622  rpnnen  16260  rexpen  16261  hauspwdom  23525
  Copyright terms: Public domain W3C validator