MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapdom1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdom1 9089
Description: Order-preserving property of set exponentiation. Theorem 6L(c) of [Enderton] p. 149. (Contributed by NM, 27-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
mapdom1 (𝐴𝐵 → (𝐴m 𝐶) ≼ (𝐵m 𝐶))

Proof of Theorem mapdom1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 8892 . . . . . . 7 Rel ≼
21brrelex2i 5690 . . . . . 6 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
3 domeng 8905 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵)))
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵)))
54ibi 267 . . . 4 (𝐴𝐵 → ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵))
65adantr 482 . . 3 ((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) → ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵))
7 simpl 484 . . . . 5 ((𝐴𝑥𝑥𝐵) → 𝐴𝑥)
8 enrefg 8927 . . . . . 6 (𝐶 ∈ V → 𝐶𝐶)
98adantl 483 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) → 𝐶𝐶)
10 mapen 9088 . . . . 5 ((𝐴𝑥𝐶𝐶) → (𝐴m 𝐶) ≈ (𝑥m 𝐶))
117, 9, 10syl2anr 598 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → (𝐴m 𝐶) ≈ (𝑥m 𝐶))
12 ovex 7391 . . . . 5 (𝐵m 𝐶) ∈ V
132ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
14 simprr 772 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → 𝑥𝐵)
15 mapss 8830 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥m 𝐶) ⊆ (𝐵m 𝐶))
1613, 14, 15syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → (𝑥m 𝐶) ⊆ (𝐵m 𝐶))
17 ssdomg 8943 . . . . 5 ((𝐵m 𝐶) ∈ V → ((𝑥m 𝐶) ⊆ (𝐵m 𝐶) → (𝑥m 𝐶) ≼ (𝐵m 𝐶)))
1812, 16, 17mpsyl 68 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → (𝑥m 𝐶) ≼ (𝐵m 𝐶))
19 endomtr 8955 . . . 4 (((𝐴m 𝐶) ≈ (𝑥m 𝐶) ∧ (𝑥m 𝐶) ≼ (𝐵m 𝐶)) → (𝐴m 𝐶) ≼ (𝐵m 𝐶))
2011, 18, 19syl2anc 585 . . 3 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → (𝐴m 𝐶) ≼ (𝐵m 𝐶))
216, 20exlimddv 1939 . 2 ((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) → (𝐴m 𝐶) ≼ (𝐵m 𝐶))
22 elmapex 8789 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴m 𝐶) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
2322simprd 497 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴m 𝐶) → 𝐶 ∈ V)
2423con3i 154 . . . . 5 𝐶 ∈ V → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴m 𝐶))
2524eq0rdv 4365 . . . 4 𝐶 ∈ V → (𝐴m 𝐶) = ∅)
2625adantl 483 . . 3 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → (𝐴m 𝐶) = ∅)
27120dom 9053 . . 3 ∅ ≼ (𝐵m 𝐶)
2826, 27eqbrtrdi 5145 . 2 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → (𝐴m 𝐶) ≼ (𝐵m 𝐶))
2921, 28pm2.61dan 812 1 (𝐴𝐵 → (𝐴m 𝐶) ≼ (𝐵m 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  Vcvv 3444  wss 3911  c0 4283   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  m cmap 8768  cen 8883  cdom 8884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888
This theorem is referenced by:  mappwen  10053  pwcfsdom  10524  cfpwsdom  10525  rpnnen  16114  rexpen  16115  hauspwdom  22868
  Copyright terms: Public domain W3C validator