MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapdom1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdom1 9142
Description: Order-preserving property of set exponentiation. Theorem 6L(c) of [Enderton] p. 149. (Contributed by NM, 27-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
mapdom1 (𝐴𝐵 → (𝐴m 𝐶) ≼ (𝐵m 𝐶))

Proof of Theorem mapdom1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 8945 . . . . . . 7 Rel ≼
21brrelex2i 5734 . . . . . 6 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
3 domeng 8958 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵)))
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵)))
54ibi 267 . . . 4 (𝐴𝐵 → ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵))
65adantr 482 . . 3 ((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) → ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵))
7 simpl 484 . . . . 5 ((𝐴𝑥𝑥𝐵) → 𝐴𝑥)
8 enrefg 8980 . . . . . 6 (𝐶 ∈ V → 𝐶𝐶)
98adantl 483 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) → 𝐶𝐶)
10 mapen 9141 . . . . 5 ((𝐴𝑥𝐶𝐶) → (𝐴m 𝐶) ≈ (𝑥m 𝐶))
117, 9, 10syl2anr 598 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → (𝐴m 𝐶) ≈ (𝑥m 𝐶))
12 ovex 7442 . . . . 5 (𝐵m 𝐶) ∈ V
132ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
14 simprr 772 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → 𝑥𝐵)
15 mapss 8883 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥m 𝐶) ⊆ (𝐵m 𝐶))
1613, 14, 15syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → (𝑥m 𝐶) ⊆ (𝐵m 𝐶))
17 ssdomg 8996 . . . . 5 ((𝐵m 𝐶) ∈ V → ((𝑥m 𝐶) ⊆ (𝐵m 𝐶) → (𝑥m 𝐶) ≼ (𝐵m 𝐶)))
1812, 16, 17mpsyl 68 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → (𝑥m 𝐶) ≼ (𝐵m 𝐶))
19 endomtr 9008 . . . 4 (((𝐴m 𝐶) ≈ (𝑥m 𝐶) ∧ (𝑥m 𝐶) ≼ (𝐵m 𝐶)) → (𝐴m 𝐶) ≼ (𝐵m 𝐶))
2011, 18, 19syl2anc 585 . . 3 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → (𝐴m 𝐶) ≼ (𝐵m 𝐶))
216, 20exlimddv 1939 . 2 ((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) → (𝐴m 𝐶) ≼ (𝐵m 𝐶))
22 elmapex 8842 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴m 𝐶) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
2322simprd 497 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴m 𝐶) → 𝐶 ∈ V)
2423con3i 154 . . . . 5 𝐶 ∈ V → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴m 𝐶))
2524eq0rdv 4405 . . . 4 𝐶 ∈ V → (𝐴m 𝐶) = ∅)
2625adantl 483 . . 3 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → (𝐴m 𝐶) = ∅)
27120dom 9106 . . 3 ∅ ≼ (𝐵m 𝐶)
2826, 27eqbrtrdi 5188 . 2 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → (𝐴m 𝐶) ≼ (𝐵m 𝐶))
2921, 28pm2.61dan 812 1 (𝐴𝐵 → (𝐴m 𝐶) ≼ (𝐵m 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  Vcvv 3475  wss 3949  c0 4323   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  m cmap 8820  cen 8936  cdom 8937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941
This theorem is referenced by:  mappwen  10107  pwcfsdom  10578  cfpwsdom  10579  rpnnen  16170  rexpen  16171  hauspwdom  23005
  Copyright terms: Public domain W3C validator