Theorem vtoclbg 3522

Description: Implicit substitution of a class for a setvar variable. (Contributed by NM, 29-Apr-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtoclbg.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
vtoclbg.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜃))
vtoclbg.3	⊢ (𝜑 ↔ 𝜓)

Assertion

Ref	Expression
vtoclbg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝜒 ↔ 𝜃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem vtoclbg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtoclbg.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
2		vtoclbg.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜃))
3	1, 2	bibi12d 348	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝜑 ↔ 𝜓) ↔ (𝜒 ↔ 𝜃)))
4		vtoclbg.3	. 2 ⊢ (𝜑 ↔ 𝜓)
5	3, 4	vtoclg 3520	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝜒 ↔ 𝜃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2146

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-tru 1572  df-ex 1812  df-sb 2101  df-clab 2742  df-clel 2838

This theorem is used by:  alexeqg  3607  pm13.183  3622  elab6g  3625  elabgw  3633  sbc8g  3749  sbc2or  3750  sbccow  3764  sbcco  3767  sbc5ALT  3770  sbcie2g  3781  eqsbc1  3787  sbcng  3788  sbcimg  3789  sbcan  3790  sbcor  3791  sbcbig  3792  sbcal  3800  sbcex2  3801  sbcel1v  3806  sbcreu  3826  csbiebg  3882  sbcel12  4371  sbceqg  4372  csbie2df  4403  preq12bg  4810  elintrabg  4923  sbcbr123  5162  inisegn0  6101  fsn2g  7147  funfvima3  7249  elixpsn  8976  ixpsnf1o  8977  domeng  9000  elhf2g  9921  rankcf  10872  kardeng  35896  eldm3  36653  elima4  36667  brsset  36778  brbigcup  36787  elfix2  36793  elfunsg  36805  elsingles  36807  funpartlem  36833  ellines  37044  bj-elpwgALT  38108  cover2g  38790