MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgrelexlema Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgrelexlema 19659
Description: If two words 𝐴, 𝐡 are related under the free group equivalence, then there exist two extension sequences π‘Ž, 𝑏 such that π‘Ž ends at 𝐴, 𝑏 ends at 𝐡, and π‘Ž and 𝐡 have the same starting point. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
efgval.r ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
efgred.d 𝐷 = (π‘Š βˆ– βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘₯))
efgred.s 𝑆 = (π‘š ∈ {𝑑 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∣ ((π‘‘β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜π‘‘))(π‘‘β€˜π‘˜) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))} ↦ (π‘šβ€˜((β™―β€˜π‘š) βˆ’ 1)))
efgrelexlem.1 𝐿 = {βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑖})βˆƒπ‘‘ ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑗})(π‘β€˜0) = (π‘‘β€˜0)}
Assertion
Ref Expression
efgrelexlema (𝐴𝐿𝐡 ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝐴})βˆƒπ‘ ∈ (◑𝑆 β€œ {𝐡})(π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑,𝑖,𝑗,𝐴   𝑦,π‘Ž,𝑧,𝑏   𝐿,π‘Ž,𝑏   𝑛,𝑐,𝑑,𝑣,𝑀,𝑦,𝑧   π‘š,π‘Ž,𝑛,𝑑,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑀,𝑏,𝑐,𝑖,𝑗   π‘˜,π‘Ž,𝑇,𝑏,𝑐,𝑖,𝑗,π‘š,𝑑,π‘₯   π‘Š,π‘Ž,𝑏,𝑐   π‘˜,𝑑,π‘š,𝑛,𝑑,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧,π‘Š,𝑖,𝑗   ∼ ,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑,𝑖,𝑗,π‘š,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐡,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑,𝑖,𝑗   𝑆,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑,𝑖,𝑗   𝐼,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑖,𝑗,π‘š,𝑛,𝑑,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐷,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑,𝑖,𝑗,π‘š,𝑑
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝐡(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,π‘˜,𝑛)   ∼ (𝑀,𝑣,π‘˜,𝑛)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛,𝑑)   𝐼(π‘˜,𝑑)   𝐿(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑛,𝑐,𝑑)   𝑀(𝑦,𝑧,π‘˜,𝑑)

Proof of Theorem efgrelexlema
StepHypRef Expression
1 efgrelexlem.1 . . 3 𝐿 = {βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑖})βˆƒπ‘‘ ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑗})(π‘β€˜0) = (π‘‘β€˜0)}
21bropaex12 5768 . 2 (𝐴𝐿𝐡 β†’ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V))
3 n0i 4334 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝐴}) β†’ Β¬ (◑𝑆 β€œ {𝐴}) = βˆ…)
4 snprc 4722 . . . . . . . 8 (Β¬ 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = βˆ…)
5 imaeq2 6056 . . . . . . . 8 ({𝐴} = βˆ… β†’ (◑𝑆 β€œ {𝐴}) = (◑𝑆 β€œ βˆ…))
64, 5sylbi 216 . . . . . . 7 (Β¬ 𝐴 ∈ V β†’ (◑𝑆 β€œ {𝐴}) = (◑𝑆 β€œ βˆ…))
7 ima0 6077 . . . . . . 7 (◑𝑆 β€œ βˆ…) = βˆ…
86, 7eqtrdi 2787 . . . . . 6 (Β¬ 𝐴 ∈ V β†’ (◑𝑆 β€œ {𝐴}) = βˆ…)
93, 8nsyl2 141 . . . . 5 (π‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝐴}) β†’ 𝐴 ∈ V)
10 n0i 4334 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (◑𝑆 β€œ {𝐡}) β†’ Β¬ (◑𝑆 β€œ {𝐡}) = βˆ…)
11 snprc 4722 . . . . . . . 8 (Β¬ 𝐡 ∈ V ↔ {𝐡} = βˆ…)
12 imaeq2 6056 . . . . . . . 8 ({𝐡} = βˆ… β†’ (◑𝑆 β€œ {𝐡}) = (◑𝑆 β€œ βˆ…))
1311, 12sylbi 216 . . . . . . 7 (Β¬ 𝐡 ∈ V β†’ (◑𝑆 β€œ {𝐡}) = (◑𝑆 β€œ βˆ…))
1413, 7eqtrdi 2787 . . . . . 6 (Β¬ 𝐡 ∈ V β†’ (◑𝑆 β€œ {𝐡}) = βˆ…)
1510, 14nsyl2 141 . . . . 5 (𝑏 ∈ (◑𝑆 β€œ {𝐡}) β†’ 𝐡 ∈ V)
169, 15anim12i 612 . . . 4 ((π‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝐴}) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝑆 β€œ {𝐡})) β†’ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V))
1716a1d 25 . . 3 ((π‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝐴}) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝑆 β€œ {𝐡})) β†’ ((π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0) β†’ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V)))
1817rexlimivv 3198 . 2 (βˆƒπ‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝐴})βˆƒπ‘ ∈ (◑𝑆 β€œ {𝐡})(π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0) β†’ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V))
19 fveq1 6891 . . . . . 6 (𝑐 = π‘Ž β†’ (π‘β€˜0) = (π‘Žβ€˜0))
2019eqeq1d 2733 . . . . 5 (𝑐 = π‘Ž β†’ ((π‘β€˜0) = (π‘‘β€˜0) ↔ (π‘Žβ€˜0) = (π‘‘β€˜0)))
21 fveq1 6891 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑏 β†’ (π‘‘β€˜0) = (π‘β€˜0))
2221eqeq2d 2742 . . . . 5 (𝑑 = 𝑏 β†’ ((π‘Žβ€˜0) = (π‘‘β€˜0) ↔ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0)))
2320, 22cbvrex2vw 3238 . . . 4 (βˆƒπ‘ ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑖})βˆƒπ‘‘ ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑗})(π‘β€˜0) = (π‘‘β€˜0) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑖})βˆƒπ‘ ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑗})(π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))
24 sneq 4639 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐴 β†’ {𝑖} = {𝐴})
2524imaeq2d 6060 . . . . 5 (𝑖 = 𝐴 β†’ (◑𝑆 β€œ {𝑖}) = (◑𝑆 β€œ {𝐴}))
2625rexeqdv 3325 . . . 4 (𝑖 = 𝐴 β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑖})βˆƒπ‘ ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑗})(π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝐴})βˆƒπ‘ ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑗})(π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0)))
2723, 26bitrid 282 . . 3 (𝑖 = 𝐴 β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑖})βˆƒπ‘‘ ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑗})(π‘β€˜0) = (π‘‘β€˜0) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝐴})βˆƒπ‘ ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑗})(π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0)))
28 sneq 4639 . . . . . 6 (𝑗 = 𝐡 β†’ {𝑗} = {𝐡})
2928imaeq2d 6060 . . . . 5 (𝑗 = 𝐡 β†’ (◑𝑆 β€œ {𝑗}) = (◑𝑆 β€œ {𝐡}))
3029rexeqdv 3325 . . . 4 (𝑗 = 𝐡 β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑗})(π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0) ↔ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝑆 β€œ {𝐡})(π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0)))
3130rexbidv 3177 . . 3 (𝑗 = 𝐡 β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝐴})βˆƒπ‘ ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑗})(π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝐴})βˆƒπ‘ ∈ (◑𝑆 β€œ {𝐡})(π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0)))
3227, 31, 1brabg 5540 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V) β†’ (𝐴𝐿𝐡 ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝐴})βˆƒπ‘ ∈ (◑𝑆 β€œ {𝐡})(π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0)))
332, 18, 32pm5.21nii 378 1 (𝐴𝐿𝐡 ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝐴})βˆƒπ‘ ∈ (◑𝑆 β€œ {𝐡})(π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  {crab 3431  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3946  βˆ…c0 4323  {csn 4629  βŸ¨cop 4635  βŸ¨cotp 4637  βˆͺ ciun 4998   class class class wbr 5149  {copab 5211   ↦ cmpt 5232   I cid 5574   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  ran crn 5678   β€œ cima 5680  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  1oc1o 8462  2oc2o 8463  0cc0 11113  1c1 11114   βˆ’ cmin 11449  ...cfz 13489  ..^cfzo 13632  β™―chash 14295  Word cword 14469   splice csplice 14704  βŸ¨β€œcs2 14797   ~FG cefg 19616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-cnv 5685  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fv 6552
This theorem is referenced by:  efgrelexlemb  19660  efgrelex  19661
  Copyright terms: Public domain W3C validator