MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imaeq2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imaeq2 6013
Description: Equality theorem for image. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
imaeq2 (𝐴 = 𝐵 → (𝐶𝐴) = (𝐶𝐵))

Proof of Theorem imaeq2
StepHypRef Expression
1 reseq2 5936 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (𝐶𝐴) = (𝐶𝐵))
21rneqd 5897 . 2 (𝐴 = 𝐵 → ran (𝐶𝐴) = ran (𝐶𝐵))
3 df-ima 5650 . 2 (𝐶𝐴) = ran (𝐶𝐴)
4 df-ima 5650 . 2 (𝐶𝐵) = ran (𝐶𝐵)
52, 3, 43eqtr4g 2798 1 (𝐴 = 𝐵 → (𝐶𝐴) = (𝐶𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  ran crn 5638  cres 5639  cima 5640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-rab 3407  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-br 5110  df-opab 5172  df-xp 5643  df-cnv 5645  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650
This theorem is referenced by:  imaeq2i  6015  imaeq2d  6017  relimasn  6040  cnvimassrndm  6108  funimaexgOLD  6592  fimadmfo  6769  ssimaex  6930  ssimaexg  6931  isoselem  7290  isowe2  7299  f1opw2  7612  fnse  8069  supp0cosupp0  8143  tz7.49  8395  ecexr  8659  fopwdom  9030  sbthlem2  9034  sbth  9043  ssenen  9101  imafi  9125  sbthfi  9152  domunfican  9270  fodomfi  9275  f1opwfi  9306  fipreima  9308  marypha1lem  9377  ordtypelem2  9463  ordtypelem3  9464  ordtypelem9  9470  dfac12lem2  10088  dfac12r  10090  ackbij2lem2  10184  ackbij2lem3  10185  r1om  10188  enfin2i  10265  zorn2lem6  10445  zorn2lem7  10446  isacs5lem  18442  acsdrscl  18443  gicsubgen  19076  efgrelexlema  19539  tgcn  22626  subbascn  22628  iscnp4  22637  cnpnei  22638  cnima  22639  iscncl  22643  cncls  22648  cnconst2  22657  cnrest2  22660  cnprest  22663  cnindis  22666  cncmp  22766  cmpfi  22782  2ndcomap  22832  ptbasfi  22955  xkoopn  22963  xkoccn  22993  txcnp  22994  ptcnplem  22995  txcnmpt  22998  ptrescn  23013  xkoco1cn  23031  xkoco2cn  23032  xkococn  23034  xkoinjcn  23061  elqtop  23071  qtopomap  23092  qtopcmap  23093  ordthmeolem  23175  fbasrn  23258  elfm  23321  elfm2  23322  elfm3  23324  imaelfm  23325  rnelfmlem  23326  rnelfm  23327  fmfnfmlem2  23329  fmfnfmlem3  23330  fmfnfmlem4  23331  fmco  23335  flffbas  23369  lmflf  23379  fcfneii  23411  ptcmplem3  23428  ptcmplem5  23430  ptcmpg  23431  cnextcn  23441  symgtgp  23480  ghmcnp  23489  eltsms  23507  tsmsf1o  23519  fmucnd  23667  ucnextcn  23679  metcnp3  23919  mbfdm  25013  ismbf  25015  mbfima  25017  ismbfd  25026  mbfimaopnlem  25042  mbfimaopn2  25044  i1fd  25068  ellimc2  25264  limcflf  25268  xrlimcnp  26341  oldval  27213  ubthlem1  29861  disjpreima  31555  imadifxp  31572  preimane  31639  fnpreimac  31640  ghmquskerlem1  32250  ghmquskerco  32251  qtophaus  32481  rhmpreimacnlem  32529  rrhre  32666  mbfmcnvima  32919  imambfm  32926  eulerpartgbij  33036  erdszelem1  33849  erdsze  33860  erdsze2lem2  33862  cvmscbv  33916  cvmsi  33923  cvmsval  33924  cvmliftlem15  33956  opelco3  34412  brimageg  34565  fnimage  34567  imageval  34568  fvimage  34569  filnetlem4  34906  bj-imdirval3  35705  bj-imdirco  35711  ptrest  36127  ismtyhmeolem  36313  ismtybndlem  36315  heibor1lem  36318  lmhmfgima  41458  brtrclfv2  42091  csbfv12gALTVD  43273  icccncfext  44218  sge0f1o  44713  smfresal  45119  smfpimbor1lem1  45129  smfpimbor1lem2  45130  smfco  45133  f1cof1b  45399  fnfocofob  45401  imaelsetpreimafv  45677  fundcmpsurinjlem3  45682  imasetpreimafvbijlemfo  45687  fundcmpsurbijinjpreimafv  45689  isomushgr  46108  isomuspgrlem1  46109  isomuspgrlem2a  46110  isomuspgrlem2b  46111  isomuspgrlem2c  46112  isomuspgrlem2d  46113  isomuspgr  46116  isomgrsym  46118
  Copyright terms: Public domain W3C validator