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Theorem efgred 19710
Description: The reduced word that forms the base of the sequence in efgsval 19693 is uniquely determined, given the terminal point. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
efgval.r ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
efgred.d 𝐷 = (π‘Š βˆ– βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘₯))
efgred.s 𝑆 = (π‘š ∈ {𝑑 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∣ ((π‘‘β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜π‘‘))(π‘‘β€˜π‘˜) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))} ↦ (π‘šβ€˜((β™―β€˜π‘š) βˆ’ 1)))
Assertion
Ref Expression
efgred ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ dom 𝑆 ∧ (π‘†β€˜π΄) = (π‘†β€˜π΅)) β†’ (π΄β€˜0) = (π΅β€˜0))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑑,𝑛,𝑣,𝑀,𝑦,𝑧,π‘š,π‘₯   π‘š,𝑀   π‘₯,𝑛,𝑀,𝑑,𝑣,𝑀   π‘˜,π‘š,𝑑,π‘₯,𝑇   π‘˜,𝑛,𝑣,𝑀,𝑦,𝑧,π‘Š,π‘š,𝑑,π‘₯   ∼ ,π‘š,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘š,𝐼,𝑛,𝑑,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐷,π‘š,𝑑
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝐡(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,π‘˜,𝑛)   ∼ (𝑀,𝑣,π‘˜,𝑛)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   𝐼(π‘˜)   𝑀(𝑦,𝑧,π‘˜)

Proof of Theorem efgred
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . . . 8 π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
2 fviss 6980 . . . . . . . 8 ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) βŠ† Word (𝐼 Γ— 2o)
31, 2eqsstri 4016 . . . . . . 7 π‘Š βŠ† Word (𝐼 Γ— 2o)
4 efgval.r . . . . . . . . . . 11 ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
5 efgval2.m . . . . . . . . . . 11 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
6 efgval2.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
7 efgred.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (π‘Š βˆ– βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘₯))
8 efgred.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (π‘š ∈ {𝑑 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∣ ((π‘‘β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜π‘‘))(π‘‘β€˜π‘˜) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))} ↦ (π‘šβ€˜((β™―β€˜π‘š) βˆ’ 1)))
91, 4, 5, 6, 7, 8efgsf 19691 . . . . . . . . . 10 𝑆:{𝑑 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∣ ((π‘‘β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜π‘‘))(π‘‘β€˜π‘˜) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))}βŸΆπ‘Š
109fdmi 6739 . . . . . . . . . . 11 dom 𝑆 = {𝑑 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∣ ((π‘‘β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜π‘‘))(π‘‘β€˜π‘˜) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))}
1110feq2i 6719 . . . . . . . . . 10 (𝑆:dom π‘†βŸΆπ‘Š ↔ 𝑆:{𝑑 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∣ ((π‘‘β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜π‘‘))(π‘‘β€˜π‘˜) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))}βŸΆπ‘Š)
129, 11mpbir 230 . . . . . . . . 9 𝑆:dom π‘†βŸΆπ‘Š
1312ffvelcdmi 7098 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom 𝑆 β†’ (π‘†β€˜π΄) ∈ π‘Š)
1413adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ dom 𝑆) β†’ (π‘†β€˜π΄) ∈ π‘Š)
153, 14sselid 3980 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ dom 𝑆) β†’ (π‘†β€˜π΄) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
16 lencl 14523 . . . . . 6 ((π‘†β€˜π΄) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ (β™―β€˜(π‘†β€˜π΄)) ∈ β„•0)
1715, 16syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ dom 𝑆) β†’ (β™―β€˜(π‘†β€˜π΄)) ∈ β„•0)
18 peano2nn0 12550 . . . . 5 ((β™―β€˜(π‘†β€˜π΄)) ∈ β„•0 β†’ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π΄)) + 1) ∈ β„•0)
1917, 18syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ dom 𝑆) β†’ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π΄)) + 1) ∈ β„•0)
20 breq2 5156 . . . . . . 7 (𝑐 = 0 β†’ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑐 ↔ (β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 0))
2120imbi1d 340 . . . . . 6 (𝑐 = 0 β†’ (((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑐 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) ↔ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 0 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0)))))
22212ralbidv 3216 . . . . 5 (𝑐 = 0 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑐 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 0 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0)))))
23 breq2 5156 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑖 β†’ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑐 ↔ (β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑖))
2423imbi1d 340 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑖 β†’ (((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑐 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) ↔ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0)))))
25242ralbidv 3216 . . . . 5 (𝑐 = 𝑖 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑐 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0)))))
26 breq2 5156 . . . . . . 7 (𝑐 = (𝑖 + 1) β†’ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑐 ↔ (β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < (𝑖 + 1)))
2726imbi1d 340 . . . . . 6 (𝑐 = (𝑖 + 1) β†’ (((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑐 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) ↔ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < (𝑖 + 1) β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0)))))
28272ralbidv 3216 . . . . 5 (𝑐 = (𝑖 + 1) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑐 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < (𝑖 + 1) β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0)))))
29 breq2 5156 . . . . . . 7 (𝑐 = ((β™―β€˜(π‘†β€˜π΄)) + 1) β†’ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑐 ↔ (β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < ((β™―β€˜(π‘†β€˜π΄)) + 1)))
3029imbi1d 340 . . . . . 6 (𝑐 = ((β™―β€˜(π‘†β€˜π΄)) + 1) β†’ (((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑐 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) ↔ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < ((β™―β€˜(π‘†β€˜π΄)) + 1) β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0)))))
31302ralbidv 3216 . . . . 5 (𝑐 = ((β™―β€˜(π‘†β€˜π΄)) + 1) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑐 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < ((β™―β€˜(π‘†β€˜π΄)) + 1) β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0)))))
3212ffvelcdmi 7098 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž ∈ dom 𝑆 β†’ (π‘†β€˜π‘Ž) ∈ π‘Š)
333, 32sselid 3980 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ dom 𝑆 β†’ (π‘†β€˜π‘Ž) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
34 lencl 14523 . . . . . . . . . 10 ((π‘†β€˜π‘Ž) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ (β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) ∈ β„•0)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ dom 𝑆 β†’ (β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) ∈ β„•0)
36 nn0nlt0 12536 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) ∈ β„•0 β†’ Β¬ (β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 0)
3735, 36syl 17 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ dom 𝑆 β†’ Β¬ (β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 0)
3837pm2.21d 121 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ dom 𝑆 β†’ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 0 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))))
3938adantr 479 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝑆) β†’ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 0 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))))
4039rgen2 3195 . . . . 5 βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 0 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0)))
41 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . . 14 (((βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ dom 𝑆) ∧ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘)) = 𝑖 ∧ (π‘†β€˜π‘) = (π‘†β€˜π‘‘))) ∧ Β¬ (π‘β€˜0) = (π‘‘β€˜0)) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))))
42 simpl3l 1225 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ dom 𝑆) ∧ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘)) = 𝑖 ∧ (π‘†β€˜π‘) = (π‘†β€˜π‘‘))) ∧ Β¬ (π‘β€˜0) = (π‘‘β€˜0)) β†’ (β™―β€˜(π‘†β€˜π‘)) = 𝑖)
43 breq2 5156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘)) = 𝑖 β†’ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < (β™―β€˜(π‘†β€˜π‘)) ↔ (β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑖))
4443imbi1d 340 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘)) = 𝑖 β†’ (((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < (β™―β€˜(π‘†β€˜π‘)) β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) ↔ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0)))))
45442ralbidv 3216 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘)) = 𝑖 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < (β™―β€˜(π‘†β€˜π‘)) β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0)))))
4642, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ dom 𝑆) ∧ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘)) = 𝑖 ∧ (π‘†β€˜π‘) = (π‘†β€˜π‘‘))) ∧ Β¬ (π‘β€˜0) = (π‘‘β€˜0)) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < (β™―β€˜(π‘†β€˜π‘)) β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0)))))
4741, 46mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 (((βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ dom 𝑆) ∧ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘)) = 𝑖 ∧ (π‘†β€˜π‘) = (π‘†β€˜π‘‘))) ∧ Β¬ (π‘β€˜0) = (π‘‘β€˜0)) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < (β™―β€˜(π‘†β€˜π‘)) β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))))
48 simpl2l 1223 . . . . . . . . . . . . 13 (((βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ dom 𝑆) ∧ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘)) = 𝑖 ∧ (π‘†β€˜π‘) = (π‘†β€˜π‘‘))) ∧ Β¬ (π‘β€˜0) = (π‘‘β€˜0)) β†’ 𝑐 ∈ dom 𝑆)
49 simpl2r 1224 . . . . . . . . . . . . 13 (((βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ dom 𝑆) ∧ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘)) = 𝑖 ∧ (π‘†β€˜π‘) = (π‘†β€˜π‘‘))) ∧ Β¬ (π‘β€˜0) = (π‘‘β€˜0)) β†’ 𝑑 ∈ dom 𝑆)
50 simpl3r 1226 . . . . . . . . . . . . 13 (((βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ dom 𝑆) ∧ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘)) = 𝑖 ∧ (π‘†β€˜π‘) = (π‘†β€˜π‘‘))) ∧ Β¬ (π‘β€˜0) = (π‘‘β€˜0)) β†’ (π‘†β€˜π‘) = (π‘†β€˜π‘‘))
51 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ dom 𝑆) ∧ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘)) = 𝑖 ∧ (π‘†β€˜π‘) = (π‘†β€˜π‘‘))) ∧ Β¬ (π‘β€˜0) = (π‘‘β€˜0)) β†’ Β¬ (π‘β€˜0) = (π‘‘β€˜0))
521, 4, 5, 6, 7, 8, 47, 48, 49, 50, 51efgredlem 19709 . . . . . . . . . . . 12 Β¬ ((βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ dom 𝑆) ∧ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘)) = 𝑖 ∧ (π‘†β€˜π‘) = (π‘†β€˜π‘‘))) ∧ Β¬ (π‘β€˜0) = (π‘‘β€˜0))
53 iman 400 . . . . . . . . . . . 12 (((βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ dom 𝑆) ∧ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘)) = 𝑖 ∧ (π‘†β€˜π‘) = (π‘†β€˜π‘‘))) β†’ (π‘β€˜0) = (π‘‘β€˜0)) ↔ Β¬ ((βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ dom 𝑆) ∧ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘)) = 𝑖 ∧ (π‘†β€˜π‘) = (π‘†β€˜π‘‘))) ∧ Β¬ (π‘β€˜0) = (π‘‘β€˜0)))
5452, 53mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ dom 𝑆) ∧ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘)) = 𝑖 ∧ (π‘†β€˜π‘) = (π‘†β€˜π‘‘))) β†’ (π‘β€˜0) = (π‘‘β€˜0))
55543expia 1118 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ dom 𝑆)) β†’ (((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘)) = 𝑖 ∧ (π‘†β€˜π‘) = (π‘†β€˜π‘‘)) β†’ (π‘β€˜0) = (π‘‘β€˜0)))
5655expd 414 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ dom 𝑆)) β†’ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘)) = 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘) = (π‘†β€˜π‘‘) β†’ (π‘β€˜0) = (π‘‘β€˜0))))
5756ralrimivva 3198 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) β†’ βˆ€π‘ ∈ dom π‘†βˆ€π‘‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘)) = 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘) = (π‘†β€˜π‘‘) β†’ (π‘β€˜0) = (π‘‘β€˜0))))
58 2fveq3 6907 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = π‘Ž β†’ (β™―β€˜(π‘†β€˜π‘)) = (β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)))
5958eqeq1d 2730 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = π‘Ž β†’ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘)) = 𝑖 ↔ (β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) = 𝑖))
60 fveqeq2 6911 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = π‘Ž β†’ ((π‘†β€˜π‘) = (π‘†β€˜π‘‘) ↔ (π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘‘)))
61 fveq1 6901 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = π‘Ž β†’ (π‘β€˜0) = (π‘Žβ€˜0))
6261eqeq1d 2730 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = π‘Ž β†’ ((π‘β€˜0) = (π‘‘β€˜0) ↔ (π‘Žβ€˜0) = (π‘‘β€˜0)))
6360, 62imbi12d 343 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = π‘Ž β†’ (((π‘†β€˜π‘) = (π‘†β€˜π‘‘) β†’ (π‘β€˜0) = (π‘‘β€˜0)) ↔ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘‘β€˜0))))
6459, 63imbi12d 343 . . . . . . . . 9 (𝑐 = π‘Ž β†’ (((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘)) = 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘) = (π‘†β€˜π‘‘) β†’ (π‘β€˜0) = (π‘‘β€˜0))) ↔ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) = 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘‘β€˜0)))))
65 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = 𝑏 β†’ (π‘†β€˜π‘‘) = (π‘†β€˜π‘))
6665eqeq2d 2739 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑏 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘‘) ↔ (π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘)))
67 fveq1 6901 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = 𝑏 β†’ (π‘‘β€˜0) = (π‘β€˜0))
6867eqeq2d 2739 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑏 β†’ ((π‘Žβ€˜0) = (π‘‘β€˜0) ↔ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0)))
6966, 68imbi12d 343 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑏 β†’ (((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘‘β€˜0)) ↔ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))))
7069imbi2d 339 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑏 β†’ (((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) = 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘‘β€˜0))) ↔ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) = 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0)))))
7164, 70cbvral2vw 3236 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘ ∈ dom π‘†βˆ€π‘‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘)) = 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘) = (π‘†β€˜π‘‘) β†’ (π‘β€˜0) = (π‘‘β€˜0))) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) = 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))))
7257, 71sylib 217 . . . . . . 7 (βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) = 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))))
7372ancli 547 . . . . . 6 (βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) = 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0)))))
7435adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Ž ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝑆) β†’ (β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) ∈ β„•0)
75 nn0leltp1 12659 . . . . . . . . . . . . 13 (((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) ∈ β„•0 ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) ≀ 𝑖 ↔ (β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < (𝑖 + 1)))
76 nn0re 12519 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) ∈ ℝ)
77 nn0re 12519 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
78 leloe 11338 . . . . . . . . . . . . . 14 (((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) β†’ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) ≀ 𝑖 ↔ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑖 ∨ (β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) = 𝑖)))
7976, 77, 78syl2an 594 . . . . . . . . . . . . 13 (((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) ∈ β„•0 ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) ≀ 𝑖 ↔ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑖 ∨ (β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) = 𝑖)))
8075, 79bitr3d 280 . . . . . . . . . . . 12 (((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) ∈ β„•0 ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < (𝑖 + 1) ↔ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑖 ∨ (β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) = 𝑖)))
8180ancoms 457 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) ∈ β„•0) β†’ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < (𝑖 + 1) ↔ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑖 ∨ (β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) = 𝑖)))
8274, 81sylan2 591 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝑆)) β†’ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < (𝑖 + 1) ↔ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑖 ∨ (β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) = 𝑖)))
8382imbi1d 340 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝑆)) β†’ (((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < (𝑖 + 1) β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) ↔ (((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑖 ∨ (β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) = 𝑖) β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0)))))
84 jaob 959 . . . . . . . . 9 ((((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑖 ∨ (β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) = 𝑖) β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) ↔ (((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) ∧ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) = 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0)))))
8583, 84bitrdi 286 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝑆)) β†’ (((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < (𝑖 + 1) β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) ↔ (((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) ∧ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) = 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))))))
86852ralbidva 3214 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < (𝑖 + 1) β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆(((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) ∧ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) = 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))))))
87 r19.26-2 3135 . . . . . . 7 (βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆(((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) ∧ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) = 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0)))) ↔ (βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) = 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0)))))
8886, 87bitrdi 286 . . . . . 6 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < (𝑖 + 1) β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) ↔ (βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) = 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))))))
8973, 88imbitrrid 245 . . . . 5 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < 𝑖 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < (𝑖 + 1) β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0)))))
9022, 25, 28, 31, 40, 89nn0ind 12695 . . . 4 (((β™―β€˜(π‘†β€˜π΄)) + 1) ∈ β„•0 β†’ βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < ((β™―β€˜(π‘†β€˜π΄)) + 1) β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))))
9119, 90syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ dom 𝑆) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < ((β™―β€˜(π‘†β€˜π΄)) + 1) β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))))
9217nn0red 12571 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ dom 𝑆) β†’ (β™―β€˜(π‘†β€˜π΄)) ∈ ℝ)
9392ltp1d 12182 . . 3 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ dom 𝑆) β†’ (β™―β€˜(π‘†β€˜π΄)) < ((β™―β€˜(π‘†β€˜π΄)) + 1))
94 2fveq3 6907 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) = (β™―β€˜(π‘†β€˜π΄)))
9594breq1d 5162 . . . . 5 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < ((β™―β€˜(π‘†β€˜π΄)) + 1) ↔ (β™―β€˜(π‘†β€˜π΄)) < ((β™―β€˜(π‘†β€˜π΄)) + 1)))
96 fveqeq2 6911 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) ↔ (π‘†β€˜π΄) = (π‘†β€˜π‘)))
97 fveq1 6901 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π΄β€˜0))
9897eqeq1d 2730 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0) ↔ (π΄β€˜0) = (π‘β€˜0)))
9996, 98imbi12d 343 . . . . 5 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0)) ↔ ((π‘†β€˜π΄) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π΄β€˜0) = (π‘β€˜0))))
10095, 99imbi12d 343 . . . 4 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < ((β™―β€˜(π‘†β€˜π΄)) + 1) β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) ↔ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π΄)) < ((β™―β€˜(π‘†β€˜π΄)) + 1) β†’ ((π‘†β€˜π΄) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π΄β€˜0) = (π‘β€˜0)))))
101 fveq2 6902 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐡 β†’ (π‘†β€˜π‘) = (π‘†β€˜π΅))
102101eqeq2d 2739 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐡 β†’ ((π‘†β€˜π΄) = (π‘†β€˜π‘) ↔ (π‘†β€˜π΄) = (π‘†β€˜π΅)))
103 fveq1 6901 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐡 β†’ (π‘β€˜0) = (π΅β€˜0))
104103eqeq2d 2739 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐡 β†’ ((π΄β€˜0) = (π‘β€˜0) ↔ (π΄β€˜0) = (π΅β€˜0)))
105102, 104imbi12d 343 . . . . 5 (𝑏 = 𝐡 β†’ (((π‘†β€˜π΄) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π΄β€˜0) = (π‘β€˜0)) ↔ ((π‘†β€˜π΄) = (π‘†β€˜π΅) β†’ (π΄β€˜0) = (π΅β€˜0))))
106105imbi2d 339 . . . 4 (𝑏 = 𝐡 β†’ (((β™―β€˜(π‘†β€˜π΄)) < ((β™―β€˜(π‘†β€˜π΄)) + 1) β†’ ((π‘†β€˜π΄) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π΄β€˜0) = (π‘β€˜0))) ↔ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π΄)) < ((β™―β€˜(π‘†β€˜π΄)) + 1) β†’ ((π‘†β€˜π΄) = (π‘†β€˜π΅) β†’ (π΄β€˜0) = (π΅β€˜0)))))
107100, 106rspc2v 3622 . . 3 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ dom 𝑆) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ dom π‘†βˆ€π‘ ∈ dom 𝑆((β™―β€˜(π‘†β€˜π‘Ž)) < ((β™―β€˜(π‘†β€˜π΄)) + 1) β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘†β€˜π‘) β†’ (π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))) β†’ ((β™―β€˜(π‘†β€˜π΄)) < ((β™―β€˜(π‘†β€˜π΄)) + 1) β†’ ((π‘†β€˜π΄) = (π‘†β€˜π΅) β†’ (π΄β€˜0) = (π΅β€˜0)))))
10891, 93, 107mp2d 49 . 2 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ dom 𝑆) β†’ ((π‘†β€˜π΄) = (π‘†β€˜π΅) β†’ (π΄β€˜0) = (π΅β€˜0)))
1091083impia 1114 1 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ dom 𝑆 ∧ (π‘†β€˜π΄) = (π‘†β€˜π΅)) β†’ (π΄β€˜0) = (π΅β€˜0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  {crab 3430   βˆ– cdif 3946  βˆ…c0 4326  {csn 4632  βŸ¨cop 4638  βŸ¨cotp 4640  βˆͺ ciun 5000   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235   I cid 5579   Γ— cxp 5680  dom cdm 5682  ran crn 5683  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428  1oc1o 8486  2oc2o 8487  β„cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   < clt 11286   ≀ cle 11287   βˆ’ cmin 11482  β„•0cn0 12510  ...cfz 13524  ..^cfzo 13667  β™―chash 14329  Word cword 14504   splice csplice 14739  βŸ¨β€œcs2 14832   ~FG cefg 19668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-hash 14330  df-word 14505  df-concat 14561  df-s1 14586  df-substr 14631  df-pfx 14661  df-splice 14740  df-s2 14839
This theorem is referenced by:  efgrelexlemb  19712
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