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Theorem efgred 19664
Description: The reduced word that forms the base of the sequence in efgsval 19647 is uniquely determined, given the terminal point. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
Assertion
Ref Expression
efgred ((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆 ∧ (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵)) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgred
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . . . 8 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2 fviss 6968 . . . . . . . 8 ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ⊆ Word (𝐼 × 2o)
31, 2eqsstri 4016 . . . . . . 7 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2o)
4 efgval.r . . . . . . . . . . 11 = ( ~FG𝐼)
5 efgval2.m . . . . . . . . . . 11 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
6 efgval2.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
7 efgred.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
8 efgred.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
91, 4, 5, 6, 7, 8efgsf 19645 . . . . . . . . . 10 𝑆:{𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))}⟶𝑊
109fdmi 6729 . . . . . . . . . . 11 dom 𝑆 = {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))}
1110feq2i 6709 . . . . . . . . . 10 (𝑆:dom 𝑆𝑊𝑆:{𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))}⟶𝑊)
129, 11mpbir 230 . . . . . . . . 9 𝑆:dom 𝑆𝑊
1312ffvelcdmi 7085 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝐴) ∈ 𝑊)
1413adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) → (𝑆𝐴) ∈ 𝑊)
153, 14sselid 3980 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) → (𝑆𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o))
16 lencl 14490 . . . . . 6 ((𝑆𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o) → (♯‘(𝑆𝐴)) ∈ ℕ0)
1715, 16syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) → (♯‘(𝑆𝐴)) ∈ ℕ0)
18 peano2nn0 12519 . . . . 5 ((♯‘(𝑆𝐴)) ∈ ℕ0 → ((♯‘(𝑆𝐴)) + 1) ∈ ℕ0)
1917, 18syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) → ((♯‘(𝑆𝐴)) + 1) ∈ ℕ0)
20 breq2 5152 . . . . . . 7 (𝑐 = 0 → ((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑐 ↔ (♯‘(𝑆𝑎)) < 0))
2120imbi1d 341 . . . . . 6 (𝑐 = 0 → (((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑐 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((♯‘(𝑆𝑎)) < 0 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
22212ralbidv 3217 . . . . 5 (𝑐 = 0 → (∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑐 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 0 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
23 breq2 5152 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑖 → ((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑐 ↔ (♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖))
2423imbi1d 341 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑖 → (((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑐 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
25242ralbidv 3217 . . . . 5 (𝑐 = 𝑖 → (∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑐 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
26 breq2 5152 . . . . . . 7 (𝑐 = (𝑖 + 1) → ((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑐 ↔ (♯‘(𝑆𝑎)) < (𝑖 + 1)))
2726imbi1d 341 . . . . . 6 (𝑐 = (𝑖 + 1) → (((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑐 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((♯‘(𝑆𝑎)) < (𝑖 + 1) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
28272ralbidv 3217 . . . . 5 (𝑐 = (𝑖 + 1) → (∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑐 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (𝑖 + 1) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
29 breq2 5152 . . . . . . 7 (𝑐 = ((♯‘(𝑆𝐴)) + 1) → ((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑐 ↔ (♯‘(𝑆𝑎)) < ((♯‘(𝑆𝐴)) + 1)))
3029imbi1d 341 . . . . . 6 (𝑐 = ((♯‘(𝑆𝐴)) + 1) → (((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑐 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((♯‘(𝑆𝑎)) < ((♯‘(𝑆𝐴)) + 1) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
31302ralbidv 3217 . . . . 5 (𝑐 = ((♯‘(𝑆𝐴)) + 1) → (∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑐 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < ((♯‘(𝑆𝐴)) + 1) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
3212ffvelcdmi 7085 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝑎) ∈ 𝑊)
333, 32sselid 3980 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝑎) ∈ Word (𝐼 × 2o))
34 lencl 14490 . . . . . . . . . 10 ((𝑆𝑎) ∈ Word (𝐼 × 2o) → (♯‘(𝑆𝑎)) ∈ ℕ0)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ dom 𝑆 → (♯‘(𝑆𝑎)) ∈ ℕ0)
36 nn0nlt0 12505 . . . . . . . . 9 ((♯‘(𝑆𝑎)) ∈ ℕ0 → ¬ (♯‘(𝑆𝑎)) < 0)
3735, 36syl 17 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ dom 𝑆 → ¬ (♯‘(𝑆𝑎)) < 0)
3837pm2.21d 121 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘(𝑆𝑎)) < 0 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
3938adantr 480 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆) → ((♯‘(𝑆𝑎)) < 0 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
4039rgen2 3196 . . . . 5 𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 0 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))
41 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . . . 14 (((∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆𝑑 ∈ dom 𝑆) ∧ ((♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖 ∧ (𝑆𝑐) = (𝑆𝑑))) ∧ ¬ (𝑐‘0) = (𝑑‘0)) → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
42 simpl3l 1227 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆𝑑 ∈ dom 𝑆) ∧ ((♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖 ∧ (𝑆𝑐) = (𝑆𝑑))) ∧ ¬ (𝑐‘0) = (𝑑‘0)) → (♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖)
43 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖 → ((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝑐)) ↔ (♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖))
4443imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖 → (((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝑐)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
45442ralbidv 3217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖 → (∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝑐)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
4642, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆𝑑 ∈ dom 𝑆) ∧ ((♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖 ∧ (𝑆𝑐) = (𝑆𝑑))) ∧ ¬ (𝑐‘0) = (𝑑‘0)) → (∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝑐)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
4741, 46mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (((∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆𝑑 ∈ dom 𝑆) ∧ ((♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖 ∧ (𝑆𝑐) = (𝑆𝑑))) ∧ ¬ (𝑐‘0) = (𝑑‘0)) → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝑐)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
48 simpl2l 1225 . . . . . . . . . . . . 13 (((∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆𝑑 ∈ dom 𝑆) ∧ ((♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖 ∧ (𝑆𝑐) = (𝑆𝑑))) ∧ ¬ (𝑐‘0) = (𝑑‘0)) → 𝑐 ∈ dom 𝑆)
49 simpl2r 1226 . . . . . . . . . . . . 13 (((∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆𝑑 ∈ dom 𝑆) ∧ ((♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖 ∧ (𝑆𝑐) = (𝑆𝑑))) ∧ ¬ (𝑐‘0) = (𝑑‘0)) → 𝑑 ∈ dom 𝑆)
50 simpl3r 1228 . . . . . . . . . . . . 13 (((∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆𝑑 ∈ dom 𝑆) ∧ ((♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖 ∧ (𝑆𝑐) = (𝑆𝑑))) ∧ ¬ (𝑐‘0) = (𝑑‘0)) → (𝑆𝑐) = (𝑆𝑑))
51 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆𝑑 ∈ dom 𝑆) ∧ ((♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖 ∧ (𝑆𝑐) = (𝑆𝑑))) ∧ ¬ (𝑐‘0) = (𝑑‘0)) → ¬ (𝑐‘0) = (𝑑‘0))
521, 4, 5, 6, 7, 8, 47, 48, 49, 50, 51efgredlem 19663 . . . . . . . . . . . 12 ¬ ((∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆𝑑 ∈ dom 𝑆) ∧ ((♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖 ∧ (𝑆𝑐) = (𝑆𝑑))) ∧ ¬ (𝑐‘0) = (𝑑‘0))
53 iman 401 . . . . . . . . . . . 12 (((∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆𝑑 ∈ dom 𝑆) ∧ ((♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖 ∧ (𝑆𝑐) = (𝑆𝑑))) → (𝑐‘0) = (𝑑‘0)) ↔ ¬ ((∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆𝑑 ∈ dom 𝑆) ∧ ((♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖 ∧ (𝑆𝑐) = (𝑆𝑑))) ∧ ¬ (𝑐‘0) = (𝑑‘0)))
5452, 53mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆𝑑 ∈ dom 𝑆) ∧ ((♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖 ∧ (𝑆𝑐) = (𝑆𝑑))) → (𝑐‘0) = (𝑑‘0))
55543expia 1120 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆𝑑 ∈ dom 𝑆)) → (((♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖 ∧ (𝑆𝑐) = (𝑆𝑑)) → (𝑐‘0) = (𝑑‘0)))
5655expd 415 . . . . . . . . 9 ((∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆𝑑 ∈ dom 𝑆)) → ((♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖 → ((𝑆𝑐) = (𝑆𝑑) → (𝑐‘0) = (𝑑‘0))))
5756ralrimivva 3199 . . . . . . . 8 (∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) → ∀𝑐 ∈ dom 𝑆𝑑 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖 → ((𝑆𝑐) = (𝑆𝑑) → (𝑐‘0) = (𝑑‘0))))
58 2fveq3 6896 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑎 → (♯‘(𝑆𝑐)) = (♯‘(𝑆𝑎)))
5958eqeq1d 2733 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑎 → ((♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖 ↔ (♯‘(𝑆𝑎)) = 𝑖))
60 fveqeq2 6900 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑎 → ((𝑆𝑐) = (𝑆𝑑) ↔ (𝑆𝑎) = (𝑆𝑑)))
61 fveq1 6890 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝑎 → (𝑐‘0) = (𝑎‘0))
6261eqeq1d 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑎 → ((𝑐‘0) = (𝑑‘0) ↔ (𝑎‘0) = (𝑑‘0)))
6360, 62imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑎 → (((𝑆𝑐) = (𝑆𝑑) → (𝑐‘0) = (𝑑‘0)) ↔ ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑑) → (𝑎‘0) = (𝑑‘0))))
6459, 63imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑎 → (((♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖 → ((𝑆𝑐) = (𝑆𝑑) → (𝑐‘0) = (𝑑‘0))) ↔ ((♯‘(𝑆𝑎)) = 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑑) → (𝑎‘0) = (𝑑‘0)))))
65 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = 𝑏 → (𝑆𝑑) = (𝑆𝑏))
6665eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑏 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑑) ↔ (𝑆𝑎) = (𝑆𝑏)))
67 fveq1 6890 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = 𝑏 → (𝑑‘0) = (𝑏‘0))
6867eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑏 → ((𝑎‘0) = (𝑑‘0) ↔ (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))
6966, 68imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑏 → (((𝑆𝑎) = (𝑆𝑑) → (𝑎‘0) = (𝑑‘0)) ↔ ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
7069imbi2d 340 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑏 → (((♯‘(𝑆𝑎)) = 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑑) → (𝑎‘0) = (𝑑‘0))) ↔ ((♯‘(𝑆𝑎)) = 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
7164, 70cbvral2vw 3237 . . . . . . . 8 (∀𝑐 ∈ dom 𝑆𝑑 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖 → ((𝑆𝑐) = (𝑆𝑑) → (𝑐‘0) = (𝑑‘0))) ↔ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) = 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
7257, 71sylib 217 . . . . . . 7 (∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) = 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
7372ancli 548 . . . . . 6 (∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) → (∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ∧ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) = 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
7435adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆) → (♯‘(𝑆𝑎)) ∈ ℕ0)
75 nn0leltp1 12628 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘(𝑆𝑎)) ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0) → ((♯‘(𝑆𝑎)) ≤ 𝑖 ↔ (♯‘(𝑆𝑎)) < (𝑖 + 1)))
76 nn0re 12488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘(𝑆𝑎)) ∈ ℕ0 → (♯‘(𝑆𝑎)) ∈ ℝ)
77 nn0re 12488 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℝ)
78 leloe 11307 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘(𝑆𝑎)) ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → ((♯‘(𝑆𝑎)) ≤ 𝑖 ↔ ((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 ∨ (♯‘(𝑆𝑎)) = 𝑖)))
7976, 77, 78syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘(𝑆𝑎)) ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0) → ((♯‘(𝑆𝑎)) ≤ 𝑖 ↔ ((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 ∨ (♯‘(𝑆𝑎)) = 𝑖)))
8075, 79bitr3d 281 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘(𝑆𝑎)) ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0) → ((♯‘(𝑆𝑎)) < (𝑖 + 1) ↔ ((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 ∨ (♯‘(𝑆𝑎)) = 𝑖)))
8180ancoms 458 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(𝑆𝑎)) ∈ ℕ0) → ((♯‘(𝑆𝑎)) < (𝑖 + 1) ↔ ((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 ∨ (♯‘(𝑆𝑎)) = 𝑖)))
8274, 81sylan2 592 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆)) → ((♯‘(𝑆𝑎)) < (𝑖 + 1) ↔ ((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 ∨ (♯‘(𝑆𝑎)) = 𝑖)))
8382imbi1d 341 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆)) → (((♯‘(𝑆𝑎)) < (𝑖 + 1) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ (((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 ∨ (♯‘(𝑆𝑎)) = 𝑖) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
84 jaob 959 . . . . . . . . 9 ((((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 ∨ (♯‘(𝑆𝑎)) = 𝑖) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ (((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ∧ ((♯‘(𝑆𝑎)) = 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
8583, 84bitrdi 287 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆)) → (((♯‘(𝑆𝑎)) < (𝑖 + 1) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ (((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ∧ ((♯‘(𝑆𝑎)) = 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))))
86852ralbidva 3215 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℕ0 → (∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (𝑖 + 1) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆(((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ∧ ((♯‘(𝑆𝑎)) = 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))))
87 r19.26-2 3137 . . . . . . 7 (∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆(((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ∧ ((♯‘(𝑆𝑎)) = 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))) ↔ (∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ∧ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) = 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
8886, 87bitrdi 287 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℕ0 → (∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (𝑖 + 1) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ (∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ∧ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) = 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))))
8973, 88imbitrrid 245 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℕ0 → (∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (𝑖 + 1) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
9022, 25, 28, 31, 40, 89nn0ind 12664 . . . 4 (((♯‘(𝑆𝐴)) + 1) ∈ ℕ0 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < ((♯‘(𝑆𝐴)) + 1) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
9119, 90syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < ((♯‘(𝑆𝐴)) + 1) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
9217nn0red 12540 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) → (♯‘(𝑆𝐴)) ∈ ℝ)
9392ltp1d 12151 . . 3 ((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) → (♯‘(𝑆𝐴)) < ((♯‘(𝑆𝐴)) + 1))
94 2fveq3 6896 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → (♯‘(𝑆𝑎)) = (♯‘(𝑆𝐴)))
9594breq1d 5158 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → ((♯‘(𝑆𝑎)) < ((♯‘(𝑆𝐴)) + 1) ↔ (♯‘(𝑆𝐴)) < ((♯‘(𝑆𝐴)) + 1)))
96 fveqeq2 6900 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) ↔ (𝑆𝐴) = (𝑆𝑏)))
97 fveq1 6890 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎‘0) = (𝐴‘0))
9897eqeq1d 2733 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎‘0) = (𝑏‘0) ↔ (𝐴‘0) = (𝑏‘0)))
9996, 98imbi12d 344 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)) ↔ ((𝑆𝐴) = (𝑆𝑏) → (𝐴‘0) = (𝑏‘0))))
10095, 99imbi12d 344 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → (((♯‘(𝑆𝑎)) < ((♯‘(𝑆𝐴)) + 1) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((♯‘(𝑆𝐴)) < ((♯‘(𝑆𝐴)) + 1) → ((𝑆𝐴) = (𝑆𝑏) → (𝐴‘0) = (𝑏‘0)))))
101 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (𝑆𝑏) = (𝑆𝐵))
102101eqeq2d 2742 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → ((𝑆𝐴) = (𝑆𝑏) ↔ (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵)))
103 fveq1 6890 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (𝑏‘0) = (𝐵‘0))
104103eqeq2d 2742 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴‘0) = (𝑏‘0) ↔ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))
105102, 104imbi12d 344 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → (((𝑆𝐴) = (𝑆𝑏) → (𝐴‘0) = (𝑏‘0)) ↔ ((𝑆𝐴) = (𝑆𝐵) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))))
106105imbi2d 340 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → (((♯‘(𝑆𝐴)) < ((♯‘(𝑆𝐴)) + 1) → ((𝑆𝐴) = (𝑆𝑏) → (𝐴‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((♯‘(𝑆𝐴)) < ((♯‘(𝑆𝐴)) + 1) → ((𝑆𝐴) = (𝑆𝐵) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))))
107100, 106rspc2v 3622 . . 3 ((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) → (∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < ((♯‘(𝑆𝐴)) + 1) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) → ((♯‘(𝑆𝐴)) < ((♯‘(𝑆𝐴)) + 1) → ((𝑆𝐴) = (𝑆𝐵) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))))
10891, 93, 107mp2d 49 . 2 ((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) → ((𝑆𝐴) = (𝑆𝐵) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))
1091083impia 1116 1 ((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆 ∧ (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵)) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  {crab 3431  cdif 3945  c0 4322  {csn 4628  cop 4634  cotp 4636   ciun 4997   class class class wbr 5148  cmpt 5231   I cid 5573   × cxp 5674  dom cdm 5676  ran crn 5677  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  cmpo 7414  1oc1o 8465  2oc2o 8466  cr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   < clt 11255  cle 11256  cmin 11451  0cn0 12479  ...cfz 13491  ..^cfzo 13634  chash 14297  Word cword 14471   splice csplice 14706  ⟨“cs2 14799   ~FG cefg 19622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-n0 12480  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-hash 14298  df-word 14472  df-concat 14528  df-s1 14553  df-substr 14598  df-pfx 14628  df-splice 14707  df-s2 14806
This theorem is referenced by:  efgrelexlemb  19666
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