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Theorem efgred 18994
Description: The reduced word that forms the base of the sequence in efgsval 18977 is uniquely determined, given the terminal point. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
Assertion
Ref Expression
efgred ((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆 ∧ (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵)) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgred
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . . . 8 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2 fviss 6747 . . . . . . . 8 ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ⊆ Word (𝐼 × 2o)
31, 2eqsstri 3911 . . . . . . 7 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2o)
4 efgval.r . . . . . . . . . . 11 = ( ~FG𝐼)
5 efgval2.m . . . . . . . . . . 11 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
6 efgval2.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
7 efgred.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
8 efgred.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
91, 4, 5, 6, 7, 8efgsf 18975 . . . . . . . . . 10 𝑆:{𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))}⟶𝑊
109fdmi 6516 . . . . . . . . . . 11 dom 𝑆 = {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))}
1110feq2i 6496 . . . . . . . . . 10 (𝑆:dom 𝑆𝑊𝑆:{𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))}⟶𝑊)
129, 11mpbir 234 . . . . . . . . 9 𝑆:dom 𝑆𝑊
1312ffvelrni 6862 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝐴) ∈ 𝑊)
1413adantr 484 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) → (𝑆𝐴) ∈ 𝑊)
153, 14sseldi 3875 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) → (𝑆𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o))
16 lencl 13976 . . . . . 6 ((𝑆𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o) → (♯‘(𝑆𝐴)) ∈ ℕ0)
1715, 16syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) → (♯‘(𝑆𝐴)) ∈ ℕ0)
18 peano2nn0 12018 . . . . 5 ((♯‘(𝑆𝐴)) ∈ ℕ0 → ((♯‘(𝑆𝐴)) + 1) ∈ ℕ0)
1917, 18syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) → ((♯‘(𝑆𝐴)) + 1) ∈ ℕ0)
20 breq2 5034 . . . . . . 7 (𝑐 = 0 → ((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑐 ↔ (♯‘(𝑆𝑎)) < 0))
2120imbi1d 345 . . . . . 6 (𝑐 = 0 → (((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑐 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((♯‘(𝑆𝑎)) < 0 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
22212ralbidv 3111 . . . . 5 (𝑐 = 0 → (∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑐 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 0 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
23 breq2 5034 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑖 → ((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑐 ↔ (♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖))
2423imbi1d 345 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑖 → (((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑐 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
25242ralbidv 3111 . . . . 5 (𝑐 = 𝑖 → (∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑐 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
26 breq2 5034 . . . . . . 7 (𝑐 = (𝑖 + 1) → ((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑐 ↔ (♯‘(𝑆𝑎)) < (𝑖 + 1)))
2726imbi1d 345 . . . . . 6 (𝑐 = (𝑖 + 1) → (((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑐 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((♯‘(𝑆𝑎)) < (𝑖 + 1) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
28272ralbidv 3111 . . . . 5 (𝑐 = (𝑖 + 1) → (∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑐 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (𝑖 + 1) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
29 breq2 5034 . . . . . . 7 (𝑐 = ((♯‘(𝑆𝐴)) + 1) → ((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑐 ↔ (♯‘(𝑆𝑎)) < ((♯‘(𝑆𝐴)) + 1)))
3029imbi1d 345 . . . . . 6 (𝑐 = ((♯‘(𝑆𝐴)) + 1) → (((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑐 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((♯‘(𝑆𝑎)) < ((♯‘(𝑆𝐴)) + 1) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
31302ralbidv 3111 . . . . 5 (𝑐 = ((♯‘(𝑆𝐴)) + 1) → (∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑐 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < ((♯‘(𝑆𝐴)) + 1) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
3212ffvelrni 6862 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝑎) ∈ 𝑊)
333, 32sseldi 3875 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝑎) ∈ Word (𝐼 × 2o))
34 lencl 13976 . . . . . . . . . 10 ((𝑆𝑎) ∈ Word (𝐼 × 2o) → (♯‘(𝑆𝑎)) ∈ ℕ0)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ dom 𝑆 → (♯‘(𝑆𝑎)) ∈ ℕ0)
36 nn0nlt0 12004 . . . . . . . . 9 ((♯‘(𝑆𝑎)) ∈ ℕ0 → ¬ (♯‘(𝑆𝑎)) < 0)
3735, 36syl 17 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ dom 𝑆 → ¬ (♯‘(𝑆𝑎)) < 0)
3837pm2.21d 121 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘(𝑆𝑎)) < 0 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
3938adantr 484 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆) → ((♯‘(𝑆𝑎)) < 0 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
4039rgen2 3115 . . . . 5 𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 0 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))
41 simpl1 1192 . . . . . . . . . . . . . 14 (((∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆𝑑 ∈ dom 𝑆) ∧ ((♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖 ∧ (𝑆𝑐) = (𝑆𝑑))) ∧ ¬ (𝑐‘0) = (𝑑‘0)) → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
42 simpl3l 1229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆𝑑 ∈ dom 𝑆) ∧ ((♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖 ∧ (𝑆𝑐) = (𝑆𝑑))) ∧ ¬ (𝑐‘0) = (𝑑‘0)) → (♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖)
43 breq2 5034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖 → ((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝑐)) ↔ (♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖))
4443imbi1d 345 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖 → (((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝑐)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
45442ralbidv 3111 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖 → (∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝑐)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
4642, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆𝑑 ∈ dom 𝑆) ∧ ((♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖 ∧ (𝑆𝑐) = (𝑆𝑑))) ∧ ¬ (𝑐‘0) = (𝑑‘0)) → (∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝑐)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
4741, 46mpbird 260 . . . . . . . . . . . . 13 (((∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆𝑑 ∈ dom 𝑆) ∧ ((♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖 ∧ (𝑆𝑐) = (𝑆𝑑))) ∧ ¬ (𝑐‘0) = (𝑑‘0)) → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝑐)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
48 simpl2l 1227 . . . . . . . . . . . . 13 (((∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆𝑑 ∈ dom 𝑆) ∧ ((♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖 ∧ (𝑆𝑐) = (𝑆𝑑))) ∧ ¬ (𝑐‘0) = (𝑑‘0)) → 𝑐 ∈ dom 𝑆)
49 simpl2r 1228 . . . . . . . . . . . . 13 (((∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆𝑑 ∈ dom 𝑆) ∧ ((♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖 ∧ (𝑆𝑐) = (𝑆𝑑))) ∧ ¬ (𝑐‘0) = (𝑑‘0)) → 𝑑 ∈ dom 𝑆)
50 simpl3r 1230 . . . . . . . . . . . . 13 (((∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆𝑑 ∈ dom 𝑆) ∧ ((♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖 ∧ (𝑆𝑐) = (𝑆𝑑))) ∧ ¬ (𝑐‘0) = (𝑑‘0)) → (𝑆𝑐) = (𝑆𝑑))
51 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆𝑑 ∈ dom 𝑆) ∧ ((♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖 ∧ (𝑆𝑐) = (𝑆𝑑))) ∧ ¬ (𝑐‘0) = (𝑑‘0)) → ¬ (𝑐‘0) = (𝑑‘0))
521, 4, 5, 6, 7, 8, 47, 48, 49, 50, 51efgredlem 18993 . . . . . . . . . . . 12 ¬ ((∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆𝑑 ∈ dom 𝑆) ∧ ((♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖 ∧ (𝑆𝑐) = (𝑆𝑑))) ∧ ¬ (𝑐‘0) = (𝑑‘0))
53 iman 405 . . . . . . . . . . . 12 (((∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆𝑑 ∈ dom 𝑆) ∧ ((♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖 ∧ (𝑆𝑐) = (𝑆𝑑))) → (𝑐‘0) = (𝑑‘0)) ↔ ¬ ((∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆𝑑 ∈ dom 𝑆) ∧ ((♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖 ∧ (𝑆𝑐) = (𝑆𝑑))) ∧ ¬ (𝑐‘0) = (𝑑‘0)))
5452, 53mpbir 234 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆𝑑 ∈ dom 𝑆) ∧ ((♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖 ∧ (𝑆𝑐) = (𝑆𝑑))) → (𝑐‘0) = (𝑑‘0))
55543expia 1122 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆𝑑 ∈ dom 𝑆)) → (((♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖 ∧ (𝑆𝑐) = (𝑆𝑑)) → (𝑐‘0) = (𝑑‘0)))
5655expd 419 . . . . . . . . 9 ((∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆𝑑 ∈ dom 𝑆)) → ((♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖 → ((𝑆𝑐) = (𝑆𝑑) → (𝑐‘0) = (𝑑‘0))))
5756ralrimivva 3103 . . . . . . . 8 (∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) → ∀𝑐 ∈ dom 𝑆𝑑 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖 → ((𝑆𝑐) = (𝑆𝑑) → (𝑐‘0) = (𝑑‘0))))
58 2fveq3 6681 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑎 → (♯‘(𝑆𝑐)) = (♯‘(𝑆𝑎)))
5958eqeq1d 2740 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑎 → ((♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖 ↔ (♯‘(𝑆𝑎)) = 𝑖))
60 fveqeq2 6685 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑎 → ((𝑆𝑐) = (𝑆𝑑) ↔ (𝑆𝑎) = (𝑆𝑑)))
61 fveq1 6675 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝑎 → (𝑐‘0) = (𝑎‘0))
6261eqeq1d 2740 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑎 → ((𝑐‘0) = (𝑑‘0) ↔ (𝑎‘0) = (𝑑‘0)))
6360, 62imbi12d 348 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑎 → (((𝑆𝑐) = (𝑆𝑑) → (𝑐‘0) = (𝑑‘0)) ↔ ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑑) → (𝑎‘0) = (𝑑‘0))))
6459, 63imbi12d 348 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑎 → (((♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖 → ((𝑆𝑐) = (𝑆𝑑) → (𝑐‘0) = (𝑑‘0))) ↔ ((♯‘(𝑆𝑎)) = 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑑) → (𝑎‘0) = (𝑑‘0)))))
65 fveq2 6676 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = 𝑏 → (𝑆𝑑) = (𝑆𝑏))
6665eqeq2d 2749 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑏 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑑) ↔ (𝑆𝑎) = (𝑆𝑏)))
67 fveq1 6675 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = 𝑏 → (𝑑‘0) = (𝑏‘0))
6867eqeq2d 2749 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑏 → ((𝑎‘0) = (𝑑‘0) ↔ (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))
6966, 68imbi12d 348 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑏 → (((𝑆𝑎) = (𝑆𝑑) → (𝑎‘0) = (𝑑‘0)) ↔ ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
7069imbi2d 344 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑏 → (((♯‘(𝑆𝑎)) = 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑑) → (𝑎‘0) = (𝑑‘0))) ↔ ((♯‘(𝑆𝑎)) = 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
7164, 70cbvral2vw 3362 . . . . . . . 8 (∀𝑐 ∈ dom 𝑆𝑑 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑐)) = 𝑖 → ((𝑆𝑐) = (𝑆𝑑) → (𝑐‘0) = (𝑑‘0))) ↔ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) = 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
7257, 71sylib 221 . . . . . . 7 (∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) = 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
7372ancli 552 . . . . . 6 (∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) → (∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ∧ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) = 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
7435adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆) → (♯‘(𝑆𝑎)) ∈ ℕ0)
75 nn0leltp1 12124 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘(𝑆𝑎)) ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0) → ((♯‘(𝑆𝑎)) ≤ 𝑖 ↔ (♯‘(𝑆𝑎)) < (𝑖 + 1)))
76 nn0re 11987 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘(𝑆𝑎)) ∈ ℕ0 → (♯‘(𝑆𝑎)) ∈ ℝ)
77 nn0re 11987 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℝ)
78 leloe 10807 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘(𝑆𝑎)) ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → ((♯‘(𝑆𝑎)) ≤ 𝑖 ↔ ((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 ∨ (♯‘(𝑆𝑎)) = 𝑖)))
7976, 77, 78syl2an 599 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘(𝑆𝑎)) ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0) → ((♯‘(𝑆𝑎)) ≤ 𝑖 ↔ ((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 ∨ (♯‘(𝑆𝑎)) = 𝑖)))
8075, 79bitr3d 284 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘(𝑆𝑎)) ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0) → ((♯‘(𝑆𝑎)) < (𝑖 + 1) ↔ ((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 ∨ (♯‘(𝑆𝑎)) = 𝑖)))
8180ancoms 462 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(𝑆𝑎)) ∈ ℕ0) → ((♯‘(𝑆𝑎)) < (𝑖 + 1) ↔ ((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 ∨ (♯‘(𝑆𝑎)) = 𝑖)))
8274, 81sylan2 596 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆)) → ((♯‘(𝑆𝑎)) < (𝑖 + 1) ↔ ((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 ∨ (♯‘(𝑆𝑎)) = 𝑖)))
8382imbi1d 345 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆)) → (((♯‘(𝑆𝑎)) < (𝑖 + 1) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ (((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 ∨ (♯‘(𝑆𝑎)) = 𝑖) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
84 jaob 961 . . . . . . . . 9 ((((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 ∨ (♯‘(𝑆𝑎)) = 𝑖) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ (((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ∧ ((♯‘(𝑆𝑎)) = 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
8583, 84bitrdi 290 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆)) → (((♯‘(𝑆𝑎)) < (𝑖 + 1) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ (((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ∧ ((♯‘(𝑆𝑎)) = 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))))
86852ralbidva 3110 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℕ0 → (∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (𝑖 + 1) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆(((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ∧ ((♯‘(𝑆𝑎)) = 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))))
87 r19.26-2 3085 . . . . . . 7 (∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆(((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ∧ ((♯‘(𝑆𝑎)) = 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))) ↔ (∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ∧ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) = 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
8886, 87bitrdi 290 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℕ0 → (∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (𝑖 + 1) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ (∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ∧ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) = 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))))
8973, 88syl5ibr 249 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℕ0 → (∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < 𝑖 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (𝑖 + 1) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
9022, 25, 28, 31, 40, 89nn0ind 12160 . . . 4 (((♯‘(𝑆𝐴)) + 1) ∈ ℕ0 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < ((♯‘(𝑆𝐴)) + 1) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
9119, 90syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < ((♯‘(𝑆𝐴)) + 1) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
9217nn0red 12039 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) → (♯‘(𝑆𝐴)) ∈ ℝ)
9392ltp1d 11650 . . 3 ((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) → (♯‘(𝑆𝐴)) < ((♯‘(𝑆𝐴)) + 1))
94 2fveq3 6681 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → (♯‘(𝑆𝑎)) = (♯‘(𝑆𝐴)))
9594breq1d 5040 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → ((♯‘(𝑆𝑎)) < ((♯‘(𝑆𝐴)) + 1) ↔ (♯‘(𝑆𝐴)) < ((♯‘(𝑆𝐴)) + 1)))
96 fveqeq2 6685 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) ↔ (𝑆𝐴) = (𝑆𝑏)))
97 fveq1 6675 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎‘0) = (𝐴‘0))
9897eqeq1d 2740 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎‘0) = (𝑏‘0) ↔ (𝐴‘0) = (𝑏‘0)))
9996, 98imbi12d 348 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)) ↔ ((𝑆𝐴) = (𝑆𝑏) → (𝐴‘0) = (𝑏‘0))))
10095, 99imbi12d 348 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → (((♯‘(𝑆𝑎)) < ((♯‘(𝑆𝐴)) + 1) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((♯‘(𝑆𝐴)) < ((♯‘(𝑆𝐴)) + 1) → ((𝑆𝐴) = (𝑆𝑏) → (𝐴‘0) = (𝑏‘0)))))
101 fveq2 6676 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (𝑆𝑏) = (𝑆𝐵))
102101eqeq2d 2749 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → ((𝑆𝐴) = (𝑆𝑏) ↔ (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵)))
103 fveq1 6675 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (𝑏‘0) = (𝐵‘0))
104103eqeq2d 2749 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴‘0) = (𝑏‘0) ↔ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))
105102, 104imbi12d 348 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → (((𝑆𝐴) = (𝑆𝑏) → (𝐴‘0) = (𝑏‘0)) ↔ ((𝑆𝐴) = (𝑆𝐵) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))))
106105imbi2d 344 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → (((♯‘(𝑆𝐴)) < ((♯‘(𝑆𝐴)) + 1) → ((𝑆𝐴) = (𝑆𝑏) → (𝐴‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((♯‘(𝑆𝐴)) < ((♯‘(𝑆𝐴)) + 1) → ((𝑆𝐴) = (𝑆𝐵) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))))
107100, 106rspc2v 3536 . . 3 ((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) → (∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < ((♯‘(𝑆𝐴)) + 1) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) → ((♯‘(𝑆𝐴)) < ((♯‘(𝑆𝐴)) + 1) → ((𝑆𝐴) = (𝑆𝐵) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))))
10891, 93, 107mp2d 49 . 2 ((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆) → ((𝑆𝐴) = (𝑆𝐵) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))
1091083impia 1118 1 ((𝐴 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ dom 𝑆 ∧ (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵)) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3053  {crab 3057  cdif 3840  c0 4211  {csn 4516  cop 4522  cotp 4524   ciun 4881   class class class wbr 5030  cmpt 5110   I cid 5428   × cxp 5523  dom cdm 5525  ran crn 5526  wf 6335  cfv 6339  (class class class)co 7172  cmpo 7174  1oc1o 8126  2oc2o 8127  cr 10616  0cc0 10617  1c1 10618   + caddc 10620   < clt 10755  cle 10756  cmin 10950  0cn0 11978  ...cfz 12983  ..^cfzo 13126  chash 13784  Word cword 13957   splice csplice 14202  ⟨“cs2 14294   ~FG cefg 18952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-ot 4525  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-om 7602  df-1st 7716  df-2nd 7717  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-1o 8133  df-2o 8134  df-er 8322  df-map 8441  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-fin 8561  df-card 9443  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-nn 11719  df-2 11781  df-n0 11979  df-xnn0 12051  df-z 12065  df-uz 12327  df-rp 12475  df-fz 12984  df-fzo 13127  df-hash 13785  df-word 13958  df-concat 14014  df-s1 14041  df-substr 14094  df-pfx 14124  df-splice 14203  df-s2 14301
This theorem is referenced by:  efgrelexlemb  18996
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