Theorem elimasng 6063

Description: Membership in an image of a singleton. (Contributed by Raph Levien, 21-Oct-2006.) TODO: replace existing usages by usages of elimasng1 6061, remove, and relabel elimasng1 6061 to "elimasng".

Assertion

Ref	Expression
elimasng	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ 𝐴))

Proof of Theorem elimasng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elimasng1 6061	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) ↔ 𝐵𝐴𝐶))
2		df-br 5111	. 2 ⊢ (𝐵𝐴𝐶 ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ 𝐴)
3	1, 2	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  {csn 4592  ⟨cop 4598   class class class wbr 5110   “ cima 5644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-br 5111  df-opab 5173  df-xp 5647  df-cnv 5649  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654

This theorem is referenced by:  elimasn  6064  inimasn  6132  dffv3  6857  fvimacnv  7028  fvrnressn  7136  elecg  8718  imasnopn  23584  imasncld  23585  imasncls  23586  ustelimasn  24117  blval2  24457  elbl4  24458  scutval  27719  iunsnima2  32554  1stpreimas  32636  opelco3  35769  funpartfv  35940  eltail  36369  elecALTV  38262  brtrclfv2  43723  frege77d  43742  dfafv23  47258