Theorem elimasng 6085

Description: Membership in an image of a singleton. (Contributed by Raph Levien, 21-Oct-2006.) TODO: replace existing usages by usages of elimasng1 6083, remove, and relabel elimasng1 6083 to "elimasng".

Assertion

Ref	Expression
elimasng	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ 𝐴))

Proof of Theorem elimasng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elimasng1 6083	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) ↔ 𝐵𝐴𝐶))
2		df-br 5104	. 2 ⊢ (𝐵𝐴𝐶 ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ 𝐴)
3	1, 2	bitrdi 290	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  {csn 4584  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103   “ cima 5658

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5661  df-cnv 5663  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668

This theorem is used by:  elimasn  6086  inimasn  6147  dffv3  6875  fvimacnv  7046  fvrnressn  7159  elecg  8742  imasnopn  23917  imasncld  23918  imasncls  23919  ustelimasn  24450  blval2  24789  elbl4  24790  cutsval  28046  iunsnima2  33093  1stpreimas  33179  opelco3  36355  funpartfv  36525  eltail  36994  elecALTV  39020  brtrclfv2  44568  frege77d  44587  dfafv23  48142