Theorem elimasng 6060

Description: Membership in an image of a singleton. (Contributed by Raph Levien, 21-Oct-2006.) TODO: replace existing usages by usages of elimasng1 6058, remove, and relabel elimasng1 6058 to "elimasng".

Assertion

Ref	Expression
elimasng	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ 𝐴))

Proof of Theorem elimasng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elimasng1 6058	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) ↔ 𝐵𝐴𝐶))
2		df-br 5108	. 2 ⊢ (𝐵𝐴𝐶 ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ 𝐴)
3	1, 2	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 “ {𝐵}) ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  {csn 4589  ⟨cop 4595   class class class wbr 5107   “ cima 5641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5108  df-opab 5170  df-xp 5644  df-cnv 5646  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651

This theorem is referenced by:  elimasn  6061  inimasn  6129  dffv3  6854  fvimacnv  7025  fvrnressn  7133  elecg  8715  imasnopn  23577  imasncld  23578  imasncls  23579  ustelimasn  24110  blval2  24450  elbl4  24451  scutval  27712  iunsnima2  32547  1stpreimas  32629  opelco3  35762  funpartfv  35933  eltail  36362  elecALTV  38255  brtrclfv2  43716  frege77d  43735  dfafv23  47254