MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasncls Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem imasncls 23203
Description: If a relation graph is closed, then an image set of a singleton is also closed. Corollary of Proposition 4 of [BourbakiTop1] p. I.26. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
imasnopn.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
imasnopn.2 π‘Œ = βˆͺ 𝐾
Assertion
Ref Expression
imasncls (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝑅 β€œ {𝐴})) βŠ† (((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…) β€œ {𝐴}))
Proof of Theorem imasncls
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasnopn.2 . . . . . . 7 π‘Œ = βˆͺ 𝐾
21toptopon 22426 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
32biimpi 215 . . . . 5 (𝐾 ∈ Top β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
43ad2antlr 725 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
5 imasnopn.1 . . . . . . . 8 𝑋 = βˆͺ 𝐽
65toptopon 22426 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
76biimpi 215 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
87ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
9 simprr 771 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
104, 8, 9cnmptc 23173 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
114cnmptid 23172 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝑦) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
124, 10, 11cnmpt1t 23176 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) ∈ (𝐾 Cn (𝐽 Γ—t 𝐾)))
13 simprl 769 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ))
145, 1txuni 23103 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾))
1514adantr 481 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾))
1613, 15sseqtrd 4022 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾))
17 eqid 2732 . . . 4 βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾)
1817cncls2i 22781 . . 3 (((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) ∈ (𝐾 Cn (𝐽 Γ—t 𝐾)) ∧ 𝑅 βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾)) β†’ ((clsβ€˜πΎ)β€˜(β—‘(𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) β€œ 𝑅)) βŠ† (β—‘(𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) β€œ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…)))
1912, 16, 18syl2anc 584 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((clsβ€˜πΎ)β€˜(β—‘(𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) β€œ 𝑅)) βŠ† (β—‘(𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) β€œ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…)))
20 nfv 1917 . . . . 5 Ⅎ𝑦((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
21 nfcv 2903 . . . . 5 Ⅎ𝑦(𝑅 β€œ {𝐴})
22 nfrab1 3451 . . . . 5 Ⅎ𝑦{𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅}
23 imass1 6100 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) β†’ (𝑅 β€œ {𝐴}) βŠ† ((𝑋 Γ— π‘Œ) β€œ {𝐴}))
2413, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑅 β€œ {𝐴}) βŠ† ((𝑋 Γ— π‘Œ) β€œ {𝐴}))
25 xpimasn 6184 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((𝑋 Γ— π‘Œ) β€œ {𝐴}) = π‘Œ)
2625ad2antll 727 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑋 Γ— π‘Œ) β€œ {𝐴}) = π‘Œ)
2724, 26sseqtrd 4022 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑅 β€œ {𝐴}) βŠ† π‘Œ)
2827sseld 3981 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴}) β†’ 𝑦 ∈ π‘Œ))
2928pm4.71rd 563 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴}) ↔ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴}))))
30 elimasng 6087 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ V) β†’ (𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅))
3130elvd 3481 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅))
3231ad2antll 727 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅))
3332anbi2d 629 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴})) ↔ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅)))
3429, 33bitrd 278 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴}) ↔ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅)))
35 rabid 3452 . . . . . 6 (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅} ↔ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅))
3634, 35bitr4di 288 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴}) ↔ 𝑦 ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅}))
3720, 21, 22, 36eqrd 4001 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑅 β€œ {𝐴}) = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅})
38 eqid 2732 . . . . 5 (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©)
3938mptpreima 6237 . . . 4 (β—‘(𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) β€œ 𝑅) = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅}
4037, 39eqtr4di 2790 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑅 β€œ {𝐴}) = (β—‘(𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) β€œ 𝑅))
4140fveq2d 6895 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝑅 β€œ {𝐴})) = ((clsβ€˜πΎ)β€˜(β—‘(𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) β€œ 𝑅)))
42 nfcv 2903 . . . 4 Ⅎ𝑦(((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…) β€œ {𝐴})
43 nfrab1 3451 . . . 4 Ⅎ𝑦{𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…)}
44 txtop 23080 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ Top)
4544adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ Top)
4617clsss3 22570 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ Top ∧ 𝑅 βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾)) β†’ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…) βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾))
4745, 16, 46syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…) βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾))
4847, 15sseqtrrd 4023 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…) βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ))
49 imass1 6100 . . . . . . . . . 10 (((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…) βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) β†’ (((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…) β€œ {𝐴}) βŠ† ((𝑋 Γ— π‘Œ) β€œ {𝐴}))
5048, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…) β€œ {𝐴}) βŠ† ((𝑋 Γ— π‘Œ) β€œ {𝐴}))
5150, 26sseqtrd 4022 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…) β€œ {𝐴}) βŠ† π‘Œ)
5251sseld 3981 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ (((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…) β€œ {𝐴}) β†’ 𝑦 ∈ π‘Œ))
5352pm4.71rd 563 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ (((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…) β€œ {𝐴}) ↔ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑦 ∈ (((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…) β€œ {𝐴}))))
54 elimasng 6087 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ V) β†’ (𝑦 ∈ (((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…) β€œ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…)))
5554elvd 3481 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (𝑦 ∈ (((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…) β€œ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…)))
5655ad2antll 727 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ (((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…) β€œ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…)))
5756anbi2d 629 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑦 ∈ (((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…) β€œ {𝐴})) ↔ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…))))
5853, 57bitrd 278 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ (((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…) β€œ {𝐴}) ↔ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…))))
59 rabid 3452 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…)} ↔ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…)))
6058, 59bitr4di 288 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ (((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…) β€œ {𝐴}) ↔ 𝑦 ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…)}))
6120, 42, 43, 60eqrd 4001 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…) β€œ {𝐴}) = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…)})
6238mptpreima 6237 . . 3 (β—‘(𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) β€œ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…)) = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…)}
6361, 62eqtr4di 2790 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…) β€œ {𝐴}) = (β—‘(𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) β€œ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…)))
6419, 41, 633sstr4d 4029 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝑅 β€œ {𝐴})) βŠ† (((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…) β€œ {𝐴}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  {csn 4628  βŸ¨cop 4634  βˆͺ cuni 4908   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675   β€œ cima 5679  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Topctop 22402  TopOnctopon 22419  clsccl 22529   Cn ccn 22735   Γ—t ctx 23071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-map 8824  df-topgen 17391  df-top 22403  df-topon 22420  df-bases 22456  df-cld 22530  df-cls 22532  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-tx 23073
This theorem is referenced by:  utopreg  23764
  Copyright terms: Public domain W3C validator