MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasncls Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem imasncls 23196
Description: If a relation graph is closed, then an image set of a singleton is also closed. Corollary of Proposition 4 of [BourbakiTop1] p. I.26. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
imasnopn.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
imasnopn.2 π‘Œ = βˆͺ 𝐾
Assertion
Ref Expression
imasncls (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝑅 β€œ {𝐴})) βŠ† (((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…) β€œ {𝐴}))
Proof of Theorem imasncls
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasnopn.2 . . . . . . 7 π‘Œ = βˆͺ 𝐾
21toptopon 22419 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
32biimpi 215 . . . . 5 (𝐾 ∈ Top β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
43ad2antlr 726 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
5 imasnopn.1 . . . . . . . 8 𝑋 = βˆͺ 𝐽
65toptopon 22419 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
76biimpi 215 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
87ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
9 simprr 772 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
104, 8, 9cnmptc 23166 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
114cnmptid 23165 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝑦) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
124, 10, 11cnmpt1t 23169 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) ∈ (𝐾 Cn (𝐽 Γ—t 𝐾)))
13 simprl 770 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ))
145, 1txuni 23096 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾))
1514adantr 482 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾))
1613, 15sseqtrd 4023 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾))
17 eqid 2733 . . . 4 βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾)
1817cncls2i 22774 . . 3 (((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) ∈ (𝐾 Cn (𝐽 Γ—t 𝐾)) ∧ 𝑅 βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾)) β†’ ((clsβ€˜πΎ)β€˜(β—‘(𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) β€œ 𝑅)) βŠ† (β—‘(𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) β€œ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…)))
1912, 16, 18syl2anc 585 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((clsβ€˜πΎ)β€˜(β—‘(𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) β€œ 𝑅)) βŠ† (β—‘(𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) β€œ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…)))
20 nfv 1918 . . . . 5 Ⅎ𝑦((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
21 nfcv 2904 . . . . 5 Ⅎ𝑦(𝑅 β€œ {𝐴})
22 nfrab1 3452 . . . . 5 Ⅎ𝑦{𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅}
23 imass1 6101 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) β†’ (𝑅 β€œ {𝐴}) βŠ† ((𝑋 Γ— π‘Œ) β€œ {𝐴}))
2413, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑅 β€œ {𝐴}) βŠ† ((𝑋 Γ— π‘Œ) β€œ {𝐴}))
25 xpimasn 6185 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((𝑋 Γ— π‘Œ) β€œ {𝐴}) = π‘Œ)
2625ad2antll 728 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑋 Γ— π‘Œ) β€œ {𝐴}) = π‘Œ)
2724, 26sseqtrd 4023 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑅 β€œ {𝐴}) βŠ† π‘Œ)
2827sseld 3982 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴}) β†’ 𝑦 ∈ π‘Œ))
2928pm4.71rd 564 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴}) ↔ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴}))))
30 elimasng 6088 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ V) β†’ (𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅))
3130elvd 3482 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅))
3231ad2antll 728 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅))
3332anbi2d 630 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴})) ↔ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅)))
3429, 33bitrd 279 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴}) ↔ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅)))
35 rabid 3453 . . . . . 6 (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅} ↔ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅))
3634, 35bitr4di 289 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴}) ↔ 𝑦 ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅}))
3720, 21, 22, 36eqrd 4002 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑅 β€œ {𝐴}) = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅})
38 eqid 2733 . . . . 5 (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©)
3938mptpreima 6238 . . . 4 (β—‘(𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) β€œ 𝑅) = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅}
4037, 39eqtr4di 2791 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑅 β€œ {𝐴}) = (β—‘(𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) β€œ 𝑅))
4140fveq2d 6896 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝑅 β€œ {𝐴})) = ((clsβ€˜πΎ)β€˜(β—‘(𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) β€œ 𝑅)))
42 nfcv 2904 . . . 4 Ⅎ𝑦(((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…) β€œ {𝐴})
43 nfrab1 3452 . . . 4 Ⅎ𝑦{𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…)}
44 txtop 23073 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ Top)
4544adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ Top)
4617clsss3 22563 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ Top ∧ 𝑅 βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾)) β†’ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…) βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾))
4745, 16, 46syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…) βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾))
4847, 15sseqtrrd 4024 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…) βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ))
49 imass1 6101 . . . . . . . . . 10 (((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…) βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) β†’ (((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…) β€œ {𝐴}) βŠ† ((𝑋 Γ— π‘Œ) β€œ {𝐴}))
5048, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…) β€œ {𝐴}) βŠ† ((𝑋 Γ— π‘Œ) β€œ {𝐴}))
5150, 26sseqtrd 4023 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…) β€œ {𝐴}) βŠ† π‘Œ)
5251sseld 3982 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ (((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…) β€œ {𝐴}) β†’ 𝑦 ∈ π‘Œ))
5352pm4.71rd 564 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ (((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…) β€œ {𝐴}) ↔ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑦 ∈ (((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…) β€œ {𝐴}))))
54 elimasng 6088 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ V) β†’ (𝑦 ∈ (((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…) β€œ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…)))
5554elvd 3482 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (𝑦 ∈ (((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…) β€œ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…)))
5655ad2antll 728 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ (((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…) β€œ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…)))
5756anbi2d 630 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑦 ∈ (((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…) β€œ {𝐴})) ↔ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…))))
5853, 57bitrd 279 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ (((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…) β€œ {𝐴}) ↔ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…))))
59 rabid 3453 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…)} ↔ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…)))
6058, 59bitr4di 289 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ (((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…) β€œ {𝐴}) ↔ 𝑦 ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…)}))
6120, 42, 43, 60eqrd 4002 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…) β€œ {𝐴}) = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…)})
6238mptpreima 6238 . . 3 (β—‘(𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) β€œ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…)) = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…)}
6361, 62eqtr4di 2791 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…) β€œ {𝐴}) = (β—‘(𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) β€œ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…)))
6419, 41, 633sstr4d 4030 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((clsβ€˜πΎ)β€˜(𝑅 β€œ {𝐴})) βŠ† (((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜π‘…) β€œ {𝐴}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  {csn 4629  βŸ¨cop 4635  βˆͺ cuni 4909   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676   β€œ cima 5680  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Topctop 22395  TopOnctopon 22412  clsccl 22522   Cn ccn 22728   Γ—t ctx 23064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-map 8822  df-topgen 17389  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cld 22523  df-cls 22525  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-tx 23066
This theorem is referenced by:  utopreg  23757
  Copyright terms: Public domain W3C validator