Theorem elbl4 24524

Description: Membership in a ball, alternative definition. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elbl4	⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐵(◡𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴))

Proof of Theorem elbl4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpxr 12929	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ*)
2		blcomps 24354	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐴 ∈ (𝐵(ball‘𝐷)𝑅)))
3	1, 2	sylanl2 682	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐴 ∈ (𝐵(ball‘𝐷)𝑅)))
4		simpll 767	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
5		simprr 773	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
6		simplr 769	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
7		blval2 24523	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝐵(ball‘𝐷)𝑅) = ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵}))
8	7	eleq2d 2823	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∈ (𝐵(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐴 ∈ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵})))
9	4, 5, 6, 8	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴 ∈ (𝐵(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐴 ∈ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵})))
10		elimasng 6058	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵}) ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ (◡𝐷 “ (0[,)𝑅))))
11		df-br 5101	. . . . 5 ⊢ (𝐵(◡𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ (◡𝐷 “ (0[,)𝑅)))
12	10, 11	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵}) ↔ 𝐵(◡𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴))
13	12	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵}) ↔ 𝐵(◡𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴))
14	13	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴 ∈ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵}) ↔ 𝐵(◡𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴))
15	3, 9, 14	3bitrd 305	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐵(◡𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114  {csn 4582  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100  ^◡ccnv 5633   “ cima 5637  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  0cc0 11040  ℝ^*cxr 11179  ℝ⁺crp 12919  [,)cico 13277  PsMetcpsmet 21310  ballcbl 21313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-po 5542  df-so 5543  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-er 8647  df-map 8779  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-2 12222  df-rp 12920  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ico 13281  df-psmet 21318  df-bl 21321

This theorem is referenced by:  metucn  24532