Theorem elbl4 24520

Description: Membership in a ball, alternative definition. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elbl4	⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐵(◡𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴))

Proof of Theorem elbl4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpxr 13026	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ*)
2		blcomps 24348	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐴 ∈ (𝐵(ball‘𝐷)𝑅)))
3	1, 2	sylanl2 681	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐴 ∈ (𝐵(ball‘𝐷)𝑅)))
4		simpll 766	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
5		simprr 772	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
6		simplr 768	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
7		blval2 24519	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝐵(ball‘𝐷)𝑅) = ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵}))
8	7	eleq2d 2819	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∈ (𝐵(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐴 ∈ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵})))
9	4, 5, 6, 8	syl3anc 1372	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴 ∈ (𝐵(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐴 ∈ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵})))
10		elimasng 6087	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵}) ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ (◡𝐷 “ (0[,)𝑅))))
11		df-br 5124	. . . . 5 ⊢ (𝐵(◡𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ (◡𝐷 “ (0[,)𝑅)))
12	10, 11	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵}) ↔ 𝐵(◡𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴))
13	12	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵}) ↔ 𝐵(◡𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴))
14	13	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴 ∈ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵}) ↔ 𝐵(◡𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴))
15	3, 9, 14	3bitrd 305	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐵(◡𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2107  {csn 4606  ⟨cop 4612   class class class wbr 5123  ^◡ccnv 5664   “ cima 5668  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  0cc0 11137  ℝ^*cxr 11276  ℝ⁺crp 13016  [,)cico 13371  PsMetcpsmet 21310  ballcbl 21313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-er 8727  df-map 8850  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-2 12311  df-rp 13017  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ico 13375  df-psmet 21318  df-bl 21321

This theorem is referenced by:  metucn  24528