Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elbl4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elbl4 22745
 Description: Membership in a ball, alternative definition. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
elbl4 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐵(𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴))

Proof of Theorem elbl4
StepHypRef Expression
1 rpxr 12130 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ*)
2 blcomps 22575 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐴 ∈ (𝐵(ball‘𝐷)𝑅)))
31, 2sylanl2 671 . 2 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐴 ∈ (𝐵(ball‘𝐷)𝑅)))
4 simpll 783 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
5 simprr 789 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐵𝑋)
6 simplr 785 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
7 blval2 22744 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋𝑅 ∈ ℝ+) → (𝐵(ball‘𝐷)𝑅) = ((𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵}))
87eleq2d 2892 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋𝑅 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∈ (𝐵(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐴 ∈ ((𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵})))
94, 5, 6, 8syl3anc 1494 . 2 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴 ∈ (𝐵(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐴 ∈ ((𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵})))
10 elimasng 5736 . . . . 5 ((𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐴 ∈ ((𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵}) ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑅))))
11 df-br 4876 . . . . 5 (𝐵(𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑅)))
1210, 11syl6bbr 281 . . . 4 ((𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐴 ∈ ((𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵}) ↔ 𝐵(𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴))
1312ancoms 452 . . 3 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 ∈ ((𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵}) ↔ 𝐵(𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴))
1413adantl 475 . 2 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴 ∈ ((𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵}) ↔ 𝐵(𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴))
153, 9, 143bitrd 297 1 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐵(𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   ∈ wcel 2164  {csn 4399  ⟨cop 4405   class class class wbr 4875  ◡ccnv 5345   “ cima 5349  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  0cc0 10259  ℝ*cxr 10397  ℝ+crp 12119  [,)cico 12472  PsMetcpsmet 20097  ballcbl 20100 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-po 5265  df-so 5266  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-2 11421  df-rp 12120  df-xneg 12239  df-xadd 12240  df-xmul 12241  df-ico 12476  df-psmet 20105  df-bl 20108 This theorem is referenced by:  metucn  22753
 Copyright terms: Public domain W3C validator