MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elbl4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elbl4 23485
Description: Membership in a ball, alternative definition. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
elbl4 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐵(𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴))

Proof of Theorem elbl4
StepHypRef Expression
1 rpxr 12619 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ*)
2 blcomps 23315 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐴 ∈ (𝐵(ball‘𝐷)𝑅)))
31, 2sylanl2 681 . 2 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐴 ∈ (𝐵(ball‘𝐷)𝑅)))
4 simpll 767 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
5 simprr 773 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐵𝑋)
6 simplr 769 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
7 blval2 23484 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋𝑅 ∈ ℝ+) → (𝐵(ball‘𝐷)𝑅) = ((𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵}))
87eleq2d 2824 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋𝑅 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∈ (𝐵(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐴 ∈ ((𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵})))
94, 5, 6, 8syl3anc 1373 . 2 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴 ∈ (𝐵(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐴 ∈ ((𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵})))
10 elimasng 5970 . . . . 5 ((𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐴 ∈ ((𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵}) ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑅))))
11 df-br 5068 . . . . 5 (𝐵(𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑅)))
1210, 11bitr4di 292 . . . 4 ((𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐴 ∈ ((𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵}) ↔ 𝐵(𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴))
1312ancoms 462 . . 3 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 ∈ ((𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵}) ↔ 𝐵(𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴))
1413adantl 485 . 2 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴 ∈ ((𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵}) ↔ 𝐵(𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴))
153, 9, 143bitrd 308 1 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐵(𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089  wcel 2111  {csn 4555  cop 4561   class class class wbr 5067  ccnv 5564  cima 5568  cfv 6397  (class class class)co 7231  0cc0 10753  *cxr 10890  +crp 12610  [,)cico 12961  PsMetcpsmet 20371  ballcbl 20374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5272  ax-pr 5336  ax-un 7541  ax-cnex 10809  ax-resscn 10810  ax-1cn 10811  ax-icn 10812  ax-addcl 10813  ax-addrcl 10814  ax-mulcl 10815  ax-mulrcl 10816  ax-mulcom 10817  ax-addass 10818  ax-mulass 10819  ax-distr 10820  ax-i2m1 10821  ax-1ne0 10822  ax-1rid 10823  ax-rnegex 10824  ax-rrecex 10825  ax-cnre 10826  ax-pre-lttri 10827  ax-pre-lttrn 10828  ax-pre-ltadd 10829  ax-pre-mulgt0 10830
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3422  df-sbc 3709  df-csb 3826  df-dif 3883  df-un 3885  df-in 3887  df-ss 3897  df-nul 4252  df-if 4454  df-pw 4529  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4834  df-iun 4920  df-br 5068  df-opab 5130  df-mpt 5150  df-id 5469  df-po 5482  df-so 5483  df-xp 5571  df-rel 5572  df-cnv 5573  df-co 5574  df-dm 5575  df-rn 5576  df-res 5577  df-ima 5578  df-iota 6355  df-fun 6399  df-fn 6400  df-f 6401  df-f1 6402  df-fo 6403  df-f1o 6404  df-fv 6405  df-riota 7188  df-ov 7234  df-oprab 7235  df-mpo 7236  df-1st 7779  df-2nd 7780  df-er 8411  df-map 8530  df-en 8647  df-dom 8648  df-sdom 8649  df-pnf 10893  df-mnf 10894  df-xr 10895  df-ltxr 10896  df-le 10897  df-sub 11088  df-neg 11089  df-div 11514  df-2 11917  df-rp 12611  df-xneg 12728  df-xadd 12729  df-xmul 12730  df-ico 12965  df-psmet 20379  df-bl 20382
This theorem is referenced by:  metucn  23493
  Copyright terms: Public domain W3C validator