Theorem elbl4 24542

Description: Membership in a ball, alternative definition. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elbl4	⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐵(◡𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴))

Proof of Theorem elbl4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpxr 12947	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ*)
2		blcomps 24372	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐴 ∈ (𝐵(ball‘𝐷)𝑅)))
3	1, 2	sylanl2 682	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐴 ∈ (𝐵(ball‘𝐷)𝑅)))
4		simpll 767	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
5		simprr 773	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
6		simplr 769	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
7		blval2 24541	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝐵(ball‘𝐷)𝑅) = ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵}))
8	7	eleq2d 2823	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∈ (𝐵(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐴 ∈ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵})))
9	4, 5, 6, 8	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴 ∈ (𝐵(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐴 ∈ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵})))
10		elimasng 6050	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵}) ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ (◡𝐷 “ (0[,)𝑅))))
11		df-br 5087	. . . . 5 ⊢ (𝐵(◡𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ (◡𝐷 “ (0[,)𝑅)))
12	10, 11	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵}) ↔ 𝐵(◡𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴))
13	12	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵}) ↔ 𝐵(◡𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴))
14	13	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴 ∈ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵}) ↔ 𝐵(◡𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴))
15	3, 9, 14	3bitrd 305	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐵(◡𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114  {csn 4568  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086  ^◡ccnv 5625   “ cima 5629  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  0cc0 11033  ℝ^*cxr 11173  ℝ⁺crp 12937  [,)cico 13295  PsMetcpsmet 21332  ballcbl 21335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-po 5534  df-so 5535  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-2 12239  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-ico 13299  df-psmet 21340  df-bl 21343

This theorem is referenced by:  metucn  24550