Theorem elbl4 24001

Description: Membership in a ball, alternative definition. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elbl4	⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐵(◡𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴))

Proof of Theorem elbl4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpxr 12965	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ*)
2		blcomps 23828	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐴 ∈ (𝐵(ball‘𝐷)𝑅)))
3	1, 2	sylanl2 679	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐴 ∈ (𝐵(ball‘𝐷)𝑅)))
4		simpll 765	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
5		simprr 771	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
6		simplr 767	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
7		blval2 24000	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝐵(ball‘𝐷)𝑅) = ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵}))
8	7	eleq2d 2818	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∈ (𝐵(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐴 ∈ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵})))
9	4, 5, 6, 8	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴 ∈ (𝐵(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐴 ∈ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵})))
10		elimasng 6076	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵}) ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ (◡𝐷 “ (0[,)𝑅))))
11		df-br 5142	. . . . 5 ⊢ (𝐵(◡𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ (◡𝐷 “ (0[,)𝑅)))
12	10, 11	bitr4di 288	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵}) ↔ 𝐵(◡𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴))
13	12	ancoms 459	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵}) ↔ 𝐵(◡𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴))
14	13	adantl 482	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴 ∈ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵}) ↔ 𝐵(◡𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴))
15	3, 9, 14	3bitrd 304	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐵(◡𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106  {csn 4622  ⟨cop 4628   class class class wbr 5141  ^◡ccnv 5668   “ cima 5672  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393  0cc0 11092  ℝ^*cxr 11229  ℝ⁺crp 12956  [,)cico 13308  PsMetcpsmet 20862  ballcbl 20865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-er 8686  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-2 12257  df-rp 12957  df-xneg 13074  df-xadd 13075  df-xmul 13076  df-ico 13312  df-psmet 20870  df-bl 20873

This theorem is referenced by:  metucn  24009