Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eltail Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eltail 35562
Description: An element of a tail. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
tailfval.1 𝑋 = dom 𝐷
Assertion
Ref Expression
eltail ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝐢) β†’ (𝐡 ∈ ((tailβ€˜π·)β€˜π΄) ↔ 𝐴𝐷𝐡))

Proof of Theorem eltail
StepHypRef Expression
1 tailfval.1 . . . . 5 𝑋 = dom 𝐷
21tailval 35561 . . . 4 ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((tailβ€˜π·)β€˜π΄) = (𝐷 β€œ {𝐴}))
32eleq2d 2817 . . 3 ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡 ∈ ((tailβ€˜π·)β€˜π΄) ↔ 𝐡 ∈ (𝐷 β€œ {𝐴})))
433adant3 1130 . 2 ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝐢) β†’ (𝐡 ∈ ((tailβ€˜π·)β€˜π΄) ↔ 𝐡 ∈ (𝐷 β€œ {𝐴})))
5 elimasng 6086 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝐢) β†’ (𝐡 ∈ (𝐷 β€œ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ 𝐷))
6 df-br 5148 . . . 4 (𝐴𝐷𝐡 ↔ ⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ 𝐷)
75, 6bitr4di 288 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝐢) β†’ (𝐡 ∈ (𝐷 β€œ {𝐴}) ↔ 𝐴𝐷𝐡))
873adant1 1128 . 2 ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝐢) β†’ (𝐡 ∈ (𝐷 β€œ {𝐴}) ↔ 𝐴𝐷𝐡))
94, 8bitrd 278 1 ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝐢) β†’ (𝐡 ∈ ((tailβ€˜π·)β€˜π΄) ↔ 𝐴𝐷𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {csn 4627  βŸ¨cop 4633   class class class wbr 5147  dom cdm 5675   β€œ cima 5678  β€˜cfv 6542  DirRelcdir 18551  tailctail 18552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-dir 18553  df-tail 18554
This theorem is referenced by:  tailini  35564  tailfb  35565  filnetlem4  35569
  Copyright terms: Public domain W3C validator