Theorem eltail 37353

Description: An element of a tail. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
tailfval.1	⊢ 𝑋 = dom 𝐷

Assertion

Ref	Expression
eltail	⊢ ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐵 ∈ ((tail‘𝐷)‘𝐴) ↔ 𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem eltail

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tailfval.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = dom 𝐷
2	1	tailval 37352	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((tail‘𝐷)‘𝐴) = (𝐷 “ {𝐴}))
3	2	eleq2d 2850	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐵 ∈ ((tail‘𝐷)‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ (𝐷 “ {𝐴})))
4	3	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐵 ∈ ((tail‘𝐷)‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ (𝐷 “ {𝐴})))
5		elimasng 6100	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐵 ∈ (𝐷 “ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐷))
6		df-br 5107	. . . 4 ⊢ (𝐴𝐷𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐷)
7	5, 6	bitr4di 292	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐵 ∈ (𝐷 “ {𝐴}) ↔ 𝐴𝐷𝐵))
8	7	3adant1 1148	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐵 ∈ (𝐷 “ {𝐴}) ↔ 𝐴𝐷𝐵))
9	4, 8	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐵 ∈ ((tail‘𝐷)‘𝐴) ↔ 𝐴𝐷𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {csn 4588  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106  dom cdm 5656   “ cima 5659  ‘cfv 6561  DirRelcdir 18800  tailctail 18801

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-dir 18802  df-tail 18803

This theorem is used by:  tailini  37355  tailfb  37356  filnetlem4  37360