Theorem eltail 36926

Description: An element of a tail. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
tailfval.1	⊢ 𝑋 = dom 𝐷

Assertion

Ref	Expression
eltail	⊢ ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐵 ∈ ((tail‘𝐷)‘𝐴) ↔ 𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem eltail

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tailfval.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = dom 𝐷
2	1	tailval 36925	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((tail‘𝐷)‘𝐴) = (𝐷 “ {𝐴}))
3	2	eleq2d 2852	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐵 ∈ ((tail‘𝐷)‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ (𝐷 “ {𝐴})))
4	3	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐵 ∈ ((tail‘𝐷)‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ (𝐷 “ {𝐴})))
5		elimasng 6096	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐵 ∈ (𝐷 “ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐷))
6		df-br 5115	. . . 4 ⊢ (𝐴𝐷𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐷)
7	5, 6	bitr4di 292	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐵 ∈ (𝐷 “ {𝐴}) ↔ 𝐴𝐷𝐵))
8	7	3adant1 1148	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐵 ∈ (𝐷 “ {𝐴}) ↔ 𝐴𝐷𝐵))
9	4, 8	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐵 ∈ ((tail‘𝐷)‘𝐴) ↔ 𝐴𝐷𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {csn 4594  ⟨cop 4600   class class class wbr 5114  dom cdm 5666   “ cima 5669  ‘cfv 6543  DirRelcdir 18675  tailctail 18676

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-dir 18677  df-tail 18678

This theorem is used by:  tailini  36928  tailfb  36929  filnetlem4  36933