Theorem eltail 36866

Description: An element of a tail. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
tailfval.1	⊢ 𝑋 = dom 𝐷

Assertion

Ref	Expression
eltail	⊢ ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐵 ∈ ((tail‘𝐷)‘𝐴) ↔ 𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem eltail

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tailfval.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = dom 𝐷
2	1	tailval 36865	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((tail‘𝐷)‘𝐴) = (𝐷 “ {𝐴}))
3	2	eleq2d 2849	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐵 ∈ ((tail‘𝐷)‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ (𝐷 “ {𝐴})))
4	3	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐵 ∈ ((tail‘𝐷)‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ (𝐷 “ {𝐴})))
5		elimasng 6093	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐵 ∈ (𝐷 “ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐷))
6		df-br 5111	. . . 4 ⊢ (𝐴𝐷𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐷)
7	5, 6	bitr4di 292	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐵 ∈ (𝐷 “ {𝐴}) ↔ 𝐴𝐷𝐵))
8	7	3adant1 1148	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐵 ∈ (𝐷 “ {𝐴}) ↔ 𝐴𝐷𝐵))
9	4, 8	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐵 ∈ ((tail‘𝐷)‘𝐴) ↔ 𝐴𝐷𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {csn 4590  ⟨cop 4596   class class class wbr 5110  dom cdm 5663   “ cima 5666  ‘cfv 6538  DirRelcdir 18651  tailctail 18652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-dir 18653  df-tail 18654

This theorem is referenced by:  tailini  36868  tailfb  36869  filnetlem4  36873