Theorem eltail 36572

Description: An element of a tail. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
tailfval.1	⊢ 𝑋 = dom 𝐷

Assertion

Ref	Expression
eltail	⊢ ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐵 ∈ ((tail‘𝐷)‘𝐴) ↔ 𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem eltail

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tailfval.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = dom 𝐷
2	1	tailval 36571	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((tail‘𝐷)‘𝐴) = (𝐷 “ {𝐴}))
3	2	eleq2d 2823	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐵 ∈ ((tail‘𝐷)‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ (𝐷 “ {𝐴})))
4	3	3adant3 1133	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐵 ∈ ((tail‘𝐷)‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ (𝐷 “ {𝐴})))
5		elimasng 6048	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐵 ∈ (𝐷 “ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐷))
6		df-br 5087	. . . 4 ⊢ (𝐴𝐷𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐷)
7	5, 6	bitr4di 289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐵 ∈ (𝐷 “ {𝐴}) ↔ 𝐴𝐷𝐵))
8	7	3adant1 1131	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐵 ∈ (𝐷 “ {𝐴}) ↔ 𝐴𝐷𝐵))
9	4, 8	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐷 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐵 ∈ ((tail‘𝐷)‘𝐴) ↔ 𝐴𝐷𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4568  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086  dom cdm 5624   “ cima 5627  ‘cfv 6492  DirRelcdir 18551  tailctail 18552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-dir 18553  df-tail 18554

This theorem is referenced by:  tailini  36574  tailfb  36575  filnetlem4  36579